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第5章 特殊平行四边形 单元巩固提升卷
一、单选题
1．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的动点，且EF=4，G是EF的中点，下列结论正确的是（ ）
A． B．AG长度的最小值是
C． D．面积的最大值是2
2．下列命题中，假命题的是（ ）
A．有四条边相等，并且有一个角是的四边形是正方形
B．一组邻边相等的四边形是菱形
C．有三个角是90°的四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
3．如图，在矩形中，，垂足为E，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形的边长为6，点E，F分别在上，，连接与相交于点G，连接，取的中点H，连接，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．
5．如图，在四边形中，，，于点，如果四边形的面积为8，那么的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，并且∠DAC=60°，∠ADB=15°．点E是AD边上一动点，延长EO交BC于点F．当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是（ ）
A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
7．如图， 中， 平分 ， 交 于 ， 交 于 ，若 ，则四边形 的周长是（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
8．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列所添加条件错误的是（ ）
A．AB=AC B．AB=BC C．BE平分∠ABC D．EF=CF
9．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AO=4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
10．如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
二、填空题
11．如图，在矩形中，平分，，那么的度数为 ．
12．如图，四边形ABCD中，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，∠ABC=120°，点E是对角线BD上的一个动点，过点E分别作AB，BC，CD，AD的垂线，垂足分别为点F，H，I，G，连结FG和HI，则FG+HI的最小值为 .
13．如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为，若则的值为
14．将图1中周长为28的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为38的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为
15．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD．则根据作图过程判定四边形ABCD是菱形的依据是 ．
16．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，AD=4，P是AB边上的一点，E，F分别是DP ，BP的中点，则线段EF的长为
三、综合题
17．中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位，经测量， ，是一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．求其中一个停车位矩形的周长．（结果精确到．参考数据 ）
18．如图，在 ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）求证：四边形EFGH是菱形．
19．如图，点E是矩形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，G是AF的中点，再连接DG、DE，且DE=DG.
（1）求证：∠DEA=2∠AEB；
（2）若BC=2AB，求∠AED的度数。
20．如图
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=5 cm，BD=8 cm.则AC= cm；
（2）在宽为8 cm 的长方形纸带上，用图1中的四边形设计如图2所示的图案.
①如果用7个图1中的四边形设计图案，那么至少需要 cm长的纸带；
②设图1中的四边形有x个，所需的纸带长为y cm，求y与x之间的函数表达式；
③在长为40
cm的纸带上，按照这种方法，最多能设计多少个图1中的四边形？
21．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.
（1）理解：
在你所学过四边形中，满足等补四边形定义的四边形是 ；
（2）画图：
如图1，在正方形网格中，线段 的端点在格点上(小正方形的顶点)，请你画出 个以格点为顶点， 为边的等补四边形 ；
（3）探究：
如图2，在等补四边形 中， ，连接 是否平分 ？请说明理由.
22．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C.
（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形.
23．如图，在 ABCD中，点E、F分别是BC，AD上的点，且BE=DF，对角线AC⊥AB．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）①当E为BC的中点时，求证：四边形AECF是菱形；
（3）②若AB=6，BC=10，当BE长为 时，四边形AECF是矩形．
③四边形AECF有可能成为正方形吗？答： ．（填“有”或“没有”）
24．如图1，四边形ABCD为正方形，点M是对角线BD上的一点(0（1）求证：AM=MN．
（2）如图2，以MA，MN为邻边作矩形AMNP，连接PD．
①求证：BM= PD；
②若正方形ABCD的边长为，PD=4，求AM的长．
25．如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从A出发沿射线AG以1cm/s的速度与运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s).
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D是，求证△ADE≌△CDF；
（2）填空题：
当t为 s时，四边形ACFE是菱形；
当t为 s时，以A，C，F，E为顶点的四边形为平行四边形.
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第5章 特殊平行四边形 单元巩固提升卷
一、单选题
1．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的动点，且EF=4，G是EF的中点，下列结论正确的是（ ）
A． B．AG长度的最小值是
C． D．面积的最大值是2
【答案】B
2．下列命题中，假命题的是（ ）
A．有四条边相等，并且有一个角是的四边形是正方形
B．一组邻边相等的四边形是菱形
C．有三个角是90°的四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】B
3．如图，在矩形中，，垂足为E，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BO=AO，∠BAD=90°，
∴∠EBA=∠CAB，
∵，
∴∠EAB=67.5°，
∵，
∴∠CAB=∠EBA=22.5°，
∴∠EAC=45°，
故答案为：C
【分析】先根据矩形的性质得到BO=AO，∠BAD=90°，进而得到∠EBA=∠CAB，再结合题意得到∠EAB=67.5°，从而结合题意进行运算即可求解。
4．如图，正方形的边长为6，点E，F分别在上，，连接与相交于点G，连接，取的中点H，连接，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
5．如图，在四边形中，，，于点，如果四边形的面积为8，那么的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥BE于点F，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=∠BFC=∠CFE=90°，∠A+∠ABE=90°，
∵∠ADC=∠CFE=∠FED=90°，
∴四边形CFED是矩形，
∴DE=CF，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠A=∠FBC，
在△ABE和△BCF中
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，BE=CF=DE，S△ABE=S△BCF，
∵S四边形ABCD=2S△ABE+S矩形DEFC=8，
∴
解之：.
故答案为：C.
【分析】过点C作CF⊥BE于点F，利用垂直的定义可证得∠AEB=∠BFC=∠CFE=90°，∠A+∠ABE=90°，结合已知条件可证得四边形CFED是矩形，利用矩形的性质可推出DE=CF，利用余角的性质可证得∠A=∠FBC；再利用AAS证明△ABE≌△BCF，利用全等三角形的性质可得到AE=BF，BE=CF=DE，S△ABE=S△BCF，根据S四边形ABCD=2S△ABE+S矩形DEFC，可求出BE的长.
6．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，并且∠DAC=60°，∠ADB=15°．点E是AD边上一动点，延长EO交BC于点F．当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是（ ）
A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
【答案】B
【解析】【解答】解：点E从D点向A点移动过程中，当∠EOD＜15°时，四边形AFCE为平行四边形，
当∠EOD=15°时，AC⊥EF，四边形AFCE为菱形，
当15°＜∠EOD＜30°时，四边形AFCE为平行四边形，
当∠EOD=75°时，∠AEF=90°，四边形AFCE为矩形，
当30°＜∠EOD＜105°时，四边形AFCE为平行四边形．
故选B．
【分析】根据图形结合平行四边形、矩形、菱形的判定逐个阶段进行判断即可．
7．如图， 中， 平分 ， 交 于 ， 交 于 ，若 ，则四边形 的周长是（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
【答案】A
【解析】【解答】∵DE // AC， DF // AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠BAD=∠ADF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ADF，
∴DF=AF=6，
∴平行四边形AEDF是菱形，
∴菱形AEDF的周长为：6×4=24，
故答案为：A.
【分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形，继而根据AD平分∠BAC，可推导得出DF=AF=6，从而得平行四边形AEDF是菱形，由此即可 求得答案.
8．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列所添加条件错误的是（ ）
A．AB=AC B．AB=BC C．BE平分∠ABC D．EF=CF
【答案】A
【解析】【解答】解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形；
理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE= BC，EF= AB，
∴DE=EF，
∴四边形DBFE是菱形．
故B不符合题意，
当BE平分∠ABC时，∴∠ABE=∠EBC
∵DE∥BC，
∴∠CBE=∠DEB
∴∠ABE =∠DEB
∴BD=DE
∴四边形DBFE是菱形，
故C不符合题意，
当EF=FC，
∵BF=FC
∴EF=BF，
∴四边形DBFE是菱形，
故D不符合题意，
故答案为：A．
【分析】当AB=BC时，四边形DBFE是菱形．根据三角形中位线定理证明即可；当BE平分∠ABC时，可证BD=DE，可得四边形DBFE是菱形，当EF=FC，可证EF=BF，可得四边形DBFE是菱形，由此即可判断；
9．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AO=4，则AB的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，BO=OD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4，
故选：A．
【分析】根据矩形性质得出AO=OC，BO=OD，AC=BD，推出OA=OB，得出△AOB是等边三角形，推出AB=AO=4即可．
10．如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（ ）
A．10 B．10 C．5 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，，
在和中
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴四边形的周长，
故答案为：A．
【分析】证明，，可得，，如图，作关于的对称点，连接交于，此时最小，即四边形周长最小，作于，求出此时四边形的周长即可.
二、填空题
11．如图，在矩形中，平分，，那么的度数为 ．
【答案】
12．如图，四边形ABCD中，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，∠ABC=120°，点E是对角线BD上的一个动点，过点E分别作AB，BC，CD，AD的垂线，垂足分别为点F，H，I，G，连结FG和HI，则FG+HI的最小值为 .
【答案】
【解析】【解答】解： AB=BC=3，∠A=∠C=90°，
由过点E分别作AB，BC，CD，AD的垂线，垂足分别为点F，H，I，G，
四边形 四边形 为矩形，
当 最小，则 最小，
四边形 为矩形，
所以：当 时， 最小，
所以： 的最小值是：
所以： 的最小值是：
故答案为：
【分析】先证明 得到 再证明： 四边形 四边形 为矩形，得到 ，所以只要求 的最小值即可，当 时， 最小，再利用锐角三角函数可得答案.
13．如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处，折痕为，若则的值为
【答案】
14．将图1中周长为28的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为38的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为
【答案】31
【解析】【解答】解：设1号正方形的边长为x，3号正方形的边长为y，
2号正方形的边长为y-x，4号正方形的边长为y+x，
2(y-x+y+y+y+x)=28
2y=7，
由图2可知，阴影部分周长为：38-2y=31.
故答案为：31.
【分析】设1号正方形的边长为x，3号正方形的边长为y，通过图1中1号、2号、3号、4号正方形的边长关系得到2号正方形的边长为y-x，4号正方形的边长为y+x，再由图1的长方形周长计算得2y=7，进而求得图2中阴影部分的周长.
15．如图，点B，C分别是锐角∠A两边上的点，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD．则根据作图过程判定四边形ABCD是菱形的依据是 ．
【答案】四边相等的四边形是菱形
【解析】【解答】解：根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是：四边相等的四边形是菱形，
理由如下：
根据题意得：AB＝AC＝BD＝DC，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：四边相等的四边形是菱形．
【分析】利用四边都相等的证明方法即可得到答案。
16．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，AD=4，P是AB边上的一点，E，F分别是DP ，BP的中点，则线段EF的长为
【答案】2
【解析】【解答】如图连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=4，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=4，
∵PE=ED，PF=FB，
∴EF= BD=2.
故答案是：2.
【分析】如图连接BD.首先证明△ADB是等边三角形，可得BD=4，再根据三角形的中位线定理即可解决问题.
三、综合题
17．中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位，经测量， ，是一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．求其中一个停车位矩形的周长．（结果精确到．参考数据 ）
【答案】一个停车位矩形的周长约为．
18．如图，在 ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）求证：四边形EFGH是菱形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
∴在△AEH与△CGF中， ，
∴△AEH≌△CGF（SAS）
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D．
∵AE=CG，AH=CF，
∴EB=DG，HD=BF．
∴△BEF≌△DGH．
∴EF=HG．
又∵△AEH≌△CGF，
∴EH=GF．
∴四边形HEFG为平行四边形．
∴EH∥FG，
∴∠HEG=∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG=∠FEG，
∴∠FGE=∠FEG，
∴EF=GF，
∴四边形EFGH是菱形
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）欲证明四边形EFGH是菱形，只需推知四边形EFGH是平行四边形，然后证得该平行四边形的邻边相等即可．
19．如图，点E是矩形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，G是AF的中点，再连接DG、DE，且DE=DG.
（1）求证：∠DEA=2∠AEB；
（2）若BC=2AB，求∠AED的度数。
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADF=90 ，AD∥BC，
∵Rt△ADF中，G是AF中点，
∴GA=GD=GF，
∴∠DGF=2∠DAE，
∵AD∥BE，
∴∠AEB=∠DAE，
∵DG=DE，
∴∠DEA=∠DGF，
∴∠DEA=2∠AEB；
（2）解：过点作GH⊥DC于H，
∵AD∥GH，G是AF中点，
则GH= AD=AB=DC，
又∵DE=DG=GF，
∴Rt△GHF≌Rt△DCE(HL)，
∵∠DEA=2∠AEB，
∴∠DCE=∠GFH=3∠AEB=3∠DAE，
∵∠DAE+∠GFH=90°，
∴4∠DAE=90°，
∠DAE=22.5°，
∴∠DEA=2∠DAE=45°．
【解析】【分析】(1)根据直角三角形斜边中线的性质可求出AG=DG，所以∠DAG=∠ADG，再利用矩形的性质和三角形的外角和定理即可证明：∠DEA=2∠AEB；(2)过点作GH⊥DC于H，则∠DCE=∠GFH=3∠AEB=3∠DAE，所以∠DAE+∠GFH=90°，所以4∠DAE=90°，∠DAE=22.5°，进而得到∠DEA=2∠DAE=45°．
20．如图
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=5 cm，BD=8 cm.则AC= cm；
（2）在宽为8 cm 的长方形纸带上，用图1中的四边形设计如图2所示的图案.
①如果用7个图1中的四边形设计图案，那么至少需要 cm长的纸带；
②设图1中的四边形有x个，所需的纸带长为y cm，求y与x之间的函数表达式；
③在长为40
cm的纸带上，按照这种方法，最多能设计多少个图1中的四边形？
【答案】（1）6
（2）20；解：由①中规律可得： ；解：将y≤40代入②的表达式中，可得x≤ . 所以最多能设计12个四边形
【解析】【解答】(1)设AC与BD的交点为O，
∵AB=BC=CD=DA=5 cm，
∴四边形ABCD为菱形，
∴OD= ，AB⊥AC，
∴OC= .
∴AC=6.
( 2 )①由图可知：1个四边形需要2×3=6cm，2个四边形需要3×3=9cm，3个四边形需要4×3=20cm……，
所以7个四边形需要8×3=24cm长的纸带.
【分析】(1)由题意得，四边形为菱形，根据菱形的性质利用勾股定理解出即可.(2)①通过前三个四边形寻找规律即可解出.②利用①中的规律表示出来即可.③令y≤40解出x的范围，即可找到最大的值.
21．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.
（1）理解：
在你所学过四边形中，满足等补四边形定义的四边形是 ；
（2）画图：
如图1，在正方形网格中，线段 的端点在格点上(小正方形的顶点)，请你画出 个以格点为顶点， 为边的等补四边形 ；
（3）探究：
如图2，在等补四边形 中， ，连接 是否平分 ？请说明理由.
【答案】（1）正方形
（2）解：如图1，等补四边形 为所求图：
（3）解：AC平分∠BCD，理由如下：
如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，
则∠AEB=∠AFD=90 ，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠B+∠ADC=180 ，
又∠ADC+∠ADF=180 ，
∴∠B=∠ADF，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AE=AF，
又AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD.
【解析】【解答】解：（1）满足有一组邻边相等的四边形有菱形、正方形，满足对角互补的四边形有矩形、正方形，同时满足两个条件的只有正方形.
故答案为：正方形.
【分析】（1）根据等补四边形的定义，在梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中分别分析每个图形的性质，筛选符合定义的图形即可；
（2）在格点上找满足定义的点作为四边形顶点即可；
（3）过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，证△ABE≌△ADF，得到AE=AF，根据角平分线的判定可得出结论；
22．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C.
（1）作∠ABF的平分线交AE于点D（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
（2）根据（1）中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形.
【答案】（1）解：如图，射线BD即为所求.
（2）证明：∵AE BF，
∴∠DAC=∠ACB.
∵AC平分∠BAE，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴AB=BC.
同理可证，AB=AD，
∴AD=BC.
又∵AD BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出∠ABF的平分线交AE于点D.
（2）利用平行线的性质及角平分线的定义可证得∠ACB=∠BAC，利用等角对等边可证得AB=BC；同理可证得AB=AD，可推出AD=BC；然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论..
23．如图，在 ABCD中，点E、F分别是BC，AD上的点，且BE=DF，对角线AC⊥AB．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）①当E为BC的中点时，求证：四边形AECF是菱形；
（3）②若AB=6，BC=10，当BE长为 时，四边形AECF是矩形．
③四边形AECF有可能成为正方形吗？答： ．（填“有”或“没有”）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形
（2）证明：∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∵E为BC的中点，
∴AE=CE，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF为菱形
（3）3.6；没有
【解析】【解答】解：（3）②∵四边形AECF是矩形，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEB=90°=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA，
∴ = ，
∴BE= = =3.6，
故答案为：3.6；没有．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，等量代换得到AF=EC，于是得到结论；（2）①根据垂直的定义得到∠BAC=90°，根据菱形的判定定理即可得到结论；（3）②由四边形AECF是矩形，得到∠AEC=90°，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；③根据（2）的结论即可得到结果．
24．如图1，四边形ABCD为正方形，点M是对角线BD上的一点(0（1）求证：AM=MN．
（2）如图2，以MA，MN为邻边作矩形AMNP，连接PD．
①求证：BM= PD；
②若正方形ABCD的边长为，PD=4，求AM的长．
【答案】（1）证明：如图1，过点M分别作ME⊥CD于点E．MF． L AD于点F，则
∠DFM=∠MEN=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，DB平分∠ADC，
∴ME= MF．
∴∠EMF=360°-∠ DFM-∠MEN-∠ADC=90°，
∵AM⊥MN，
∴AMN=90°，
∴∠AMN=∠EMF．
∴∠AMF=∠ NME．
∴△AMF≌△NME．
∴AM= MN．
（2）解：①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD．∠BAD= 90°，
∵四边形AMNP是矩形，且AM= MN．
∴四边形AMNP是正方形，
∴AM=AP，∠MAP= 90° ，
∴∠BAD=∠MAP．
∴∠BAM=∠DAP，
∴△ABM≌△ADP，
∴BM=PD
②如图2．连接MP．∵正方形ABCD的边长为6，
∴∠ABM=∠ADM=45°．∠BAD=90°．AB=AD=6，
在Rt△ABD中．BD2=AB2+AD2．
∴BD= AB= 12．
∵PD=4．
∴DM= BD- BM=12-4=8．
由(2)①得△ABM≌△ADP．
．∠ADP=∠．ABM=45°，
．∠PDM= 2 ADP+∠ADM= 90°，
在Rt△PMD中，PM2= PD2+MD2=42+82=16+64=80．
∴PM=4．
由(2)①得∠MAP=90°．AM=AP．
在Rt△AMP中．MP2= AM2+AP2，
∴80= 2AM2
∴AM=40．AM=2．
【解析】【分析】（1）过点M分别作ME⊥CD于点E，MF⊥AD于点F，得四边形FMED是矩形，然后证明△AMF（ASA），即可解决问题；
（2）①先证明四边形AMNP是正方形，再证明（SAS），即可解决问题；
②连接MP，根据勾股定理即可解决问题
25．如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从A出发沿射线AG以1cm/s的速度与运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s).
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D是，求证△ADE≌△CDF；
（2）填空题：
当t为 s时，四边形ACFE是菱形；
当t为 s时，以A，C，F，E为顶点的四边形为平行四边形.
【答案】（1）解：证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
∵在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；
（2）6；2或6
【解析】【解答】（2）①解：若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，
则此时的时间t=6÷1=6（s）；
②当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BC-BF=6-2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=6-2t，
解得：t=2；
当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，
则CF=BF-BC=2t-6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=2t-6，
解得：t=6；
综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形.
【分析】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可；②分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案；
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