第四章 方法与技能

第四章 方法与技能
一、字母表示数。
1、书写规则：
a) 字母与数字、字母与字母相乘时，省略乘号。并把数写在字母前 n×3=3n
b) 含字母的除法当中，把“÷”改为分数线
c) 有带分数和字母运算时，把带分数该为假分数或小数
d) -1或1和字母相乘时，省略1，不省略符号 -1×b=-b 1×a×b=ab
e) 用字母表示的和式，并后有单位，加括号 （3-n）元
2、用字母表示数学规律
分清是否有前提条件，如果有，则写成“若……，则……”，字母可任选
例1：任何一个负数的绝对值大于它本身。
解析：前提条件为“负数”，结论为“绝对值大于它本身”，字母选用a，那么负数可表示为a＜0，绝对值可表示为|a|，大于它本身可表示为＞a，连起来就表示为“若a＜0，则|a|＞a”。
常见字母表示数：a表示全体实数，—a表示a的相反数，|a|表示a的绝对值，a＜0表示a是负数，a＞0 表示a是正数，a=0表示a是0，表示a等于0，表示a的倒数，
表示a的算术平方根……
二、代数式
1、分类
，
，
代数式：含字母的表达式，代数式可由字母，数字和运算符组成，单独的一个数和字母也叫代数式，代数式是式子，而不是等式和不等式。整式、分式和根式都属于代数式。
例2：下列哪些是代数式（答案②④⑤⑥）
①x+1=0 ② ③a-b＞5 ④x-y-4 ⑤ ⑥abcd
解析：①③不是代数式，它们是等式和不等式，②⑤是代数式，但不是整数。
2、列代数式
把文字叙述的一句话或计算关系式用数字或字母表示出其中的关系，列成代数式。列代数式时，字母可以任意取，但同一问题中同一字母表示相同的量。
列代数式的关键在于仔细审题，弄清楚题中的的“大、小、多、少、倍、几分之几”等词的意义和“和、差、积、商”之间的关系;还要弄清楚运算顺序，一般先读的先写。
3、代数式的值
用数字代替代数式里的字母，计算后的结果叫代数式的值。
注意点：①书写格式“当…时，原式=…”②代入的数是负数或分数时，要加上括号③如果代数式中省略乘号，代入后需添上乘号.
a) 已知若干字母的值，求代数式的值。
①若多项式已经不能再化简，直接将字母用数字代替；
例3： 求a= -3时，代数式 的值。
解析：因为 已经没有括号，没有同类项，不能再化简，所有直接将a=﹣3代入原代数式中，注意加上括号，所有的a用﹣3代替，得 ，计算得7.
解：当a= -3时，原式= =7
②若多项式可再化简，先化简再代入求值
例4：求当x=﹣1时，代数式 的值
解析：题中所给代数式，既有括号，又有同类项，所以应先进行整式的运算，有括号先去括号，再合并同类项，得到一个最简单的代数式，再进行代入计算。书写时，先进行整式的加减计算，然后写“当…时，原式=…”，代入应代到计算后的代数式中。
解：
当x=﹣1时，原式=﹣2x=﹣2×（﹣1）=2
b) 已知若干多项式、单项式的值，求代数式的值
该种题型利用到了整体数学思想，将多项式或单项式整个用数字代替，并计算。该题型着重要求观察式与式之间的关系，即找出所给条件的代数式和所求结论的代数式的共同点
例5：已知m+n=8，则2+2m+2n的值为多少？
解析：观察m+n与2+2m+2n两个式子发现都有m+n，所求值的代数式2+2m+2n，可利用逆用分配律得2+2(m+n)，由此2+2(m+n)中的m+n就用8代替并计算
解：2+2m+2n=2+2(m+n)
∴当m+n=8，原式=2+2(m+n)=2+2×8=18
三、整式
区别方法 次数 系数
整式 单项式 式子中无加号和减号 所有字母的指数和（加出来的） 数字因数（去掉字母和字母的指数后的数字）
多项式 式子中有加号或减号 次数最高的项的次数（比出来的） 项的系数：每一项的数字因数
注：π是数字，不是字母。
多项式的名称：以多项式的次数和项数命名，如 的次数为2次，项数为3项，所以称为，两次三项式。名称中一般用中文数字。
多项式的项：多项式中的每个单项式就叫做多项式的项。其中不含字母的叫常数项，次数为1次的项叫一次项，一次项的数字因数叫一次项系数；次数2次的项叫二次项，……以此类推。如 的常数项是1，一次项是a，一次项系数为1，二次项是a2，二次项系数为1.
a) 利用单项式或多项式的次数求字母的值
例6： 是关于x、y的3次单项式，求n的值
解析：关于x、y的单项式，意味着在这个式子中只有x、y是字母，其余都是数字，该题中n是可求出的数。因为x、y字母，单项式的次数是所有字母指数和，所有该单项式的次数为1+n-1，注意x的指数为1。所以1+n-1=3，解得n=3.
解：由题意得，1+n-1=3，解得n=3
b) 利用单项式或多项式的系数求字母的值
例7： (n-1)xy是关于x、y的2次单项式，且系数为5，求n的值
解析：该题中只有项，x，y是字母，n是数字，所以该单项式的系数是（n-1），由此得到（n-1）=5，解该方程就能得到n的值。
解：∵系数为5，∴n-1=5，解得n=6
例8： 是关于x的多项式，且不含x3和x2项，求a和b
解析：不含x3和x2项，或者说不含二次项和三次项，只要项的系数为0，将不会再含有项，所以只要令x3 和x2前的系数为0就可以了。
解：由题意得，不含x3和x2项，所以（a+1）=0，（b-2）=0，解得a=﹣1，b=2
四、整式的加减
1、合并同类项
①同类项（2相同2无关，所有常数项都是同类项）
字母相同，每个字母的指数相同，与字母的顺序无关，与字母前的系数无关
利用同类项指数相同求字母的值
例9：已知 是同类项，试求（m-2）（n+2）的值
解析：这两项是同类项，则每个字母对应的指数应该相等，即前一项的x的指数应该和后一项的x的指数相等，m-2=1，同理3=n+2，分别求出m，n，再将值代入多项式求即可。
解：有题意得：m-2=1，3=n+2
∴（m-2）（n+2）=1×3=3
②合并同类项（两项或多项合成一项，依据是逆用分配律）
把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
合并同类项时，先找到同类项，即字母和字母指数相同的项，接着将同类项前的系数进行运算，带上符号运算，字母和字母的指数不变，直接抄下。同类项的系数为相反数，则这两项结果为0.
如 找：找同类项
移：把同类项放在一起，包括符号
合：同类项系数运算，字母和指数不变
2、去括号（利用分配律，先去小括号，再中括号，最后大括号）
去括号法则：括号外“+”，去“+”和括号，其余不变 +（a+2b-c）= a+2b-c
括号外“-”，去“-”和括号，括号内每一项都改变符号 -（a+2b-c）= -a-2b+c
括号前数字因数时：应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号

（2跟括号内每一项都要乘）
（-2和每项乘时，要注意符号）
3、整式的加减
①方法 列代数式
去括号
合并同类项
有括号先去括号，之后再合并同类项，最后在式子应当不再含有同类项，常数项也要合并，即化成最简
②注意点：Ⅰ、以文字出现的整式加减问题，整个整式应加上括号
例10：求多项式的差
解：
Ⅱ、用字母代替整式进行的运算，整个整式也加上括号
例11：A=，B=，计算3A-2B
解：3A-2B=3（）-2（）
=
③化简求值
无论题目是否要求先化简再求值，一般情况下，化简后的多项式相对来说简单了，再将数据代入求，题目计算量相对减小了。所以应先化简再求值。
例12： (t＋3t2－3＋3t3 )－(－t＋4t3 )，其中t＝－1
解：原式= t＋3t2－3＋3t3+t-4t3=2t3+2t-3
当t＝－1时，原式=-2-2-3=-7
4、综合应用
①有这样一道题：“当a=2007，b=—2008时，求多项式
HYPERLINK "http:///" EMBED Equation.DSMT4 +2008的值．”小明说：本题中a=2007，b=—2008是多余的条件；小强马上反对说：这不可能，多项式中含有和，不给出的值怎么能求出多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由．
②已知，先化简，再求值：
③如果关于x的多项式 不含x 的一次项和二次项，求的值。
④已知多项式 ，当时，该多项式的值是72，则当 时，
它的值是多少？
整式
分式：分母含有字母的代数式
根式：根号内含有字母的代数式
单项式
多项式
代数式