浙教版九年级上 第4章 相似三角形 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．已知、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长为
A． B． C． D．
【分析】根据成比例线段的定义列出算式，求出解即可．
【解答】解：，，，是成比例的线段，
，
又，，，
，
．
故选：．
2．若线段是3和6的比例中项，则的值为
A． B． C． D．
【分析】根据线段比例中项的概念，可得，依此即可求解．
【解答】解：线段的长是3和6的比例中项，
，
线段是正数，
．
故选：．
3．已知，则下列式子正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据，设，，计算判断即可．
【解答】解：，
设，，
、，原计算错误，不符合题意；
、，原计算错误，不符合题意；
、，正确，符合题意；
、，原计算错误，不符合题意，
故选：．
4．如图，在△中，，，若，则
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】先求出，再证明△△，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：，
，
，
△△，
，
又，
，
，
故选：．
5．点是线段的黄金分割点，且，若，则长度是
A． B． C． D．1
【分析】根据黄金分割的定义得，则，再设，根据得，由此可得，解此方程求出可得的长．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，如图所示：
，
，
设，
，
，
，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
．
故选：．
6．如图，在中，是的中点，交于，已知，连接交于，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意知，垂直平分，则可判断①；过作于，交于，利用等腰三角形的性质、外角与内角关系可判断②；设，利用，，则可得，从而证明，则可判断③；由，即可判断④．
【解答】解：是的中点，，
垂直平分，
，
故①正确；
如图，过作于，交于，
，
，；
，，
，
，；
，，
，；
；
，，
，
故②正确；
设，
，
，，
，，
，
，
即；
，，
，
，
故③正确；
由，
即不成立，
故④错误．
故正确的有①②③三个；
故选：．
7．凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的
A． B． C． D．
【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几．
【解答】解：，，，
四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
物体被缩小到原来的．
故答案为：．
8．如图，已知，是的中点，连接，相交于点，，若，则的长是
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】判定△△，△△，推出，由线段的中点定义得到，即可求出的长．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
△△，△△，
，，
，
是的中点，
，
，
．
故选：．
9．如图，，分别是的边，上的点，且，交于点．，则的值为
A． B．
C． D．以上答案都不对
【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：，
，
．
故选：．
10．如图，点是△的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交、于点、，则的值为
A． B． C． D．2
【分析】取中点，连接，由三角形重心的性质得到，是中点，由三角形中位线定理推出，，判定△△，推出，得到，求出，即可得到的值．
【解答】解：取中点，连接，
点是△的重心，
，是中点，
是△的中位线，
，，
，
，
，
△△，
，
，
，
．
故选：．
11．如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为
A． B． C．2 D．
【分析】连接，由，得，由矩形的性质昨，则，所以△△，得，，所以，，可证明△△，由，得，所以，则，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
△△，
，，
，，
，
△△，
，，
，
，
，
故选：．
12．如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：①，②，③，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤．其中正确的结论有
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】①正确．证明，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
②正确．利用四点共圆证明即可．
③正确．设，求出，即可解决问题．
④错误，通过计算正方形的面积为48．
⑤正确．利用相似三角形的性质证明即可．
【解答】解：如图，连接．
由题意可得：，，
，
，
，
由题意可得：
，故①正确，
连接．
，
，
，，，四点共圆，
，
，
，故②正确，
设，则，，
，即，故③正确，
由题意可得：
，
，，
，，
，△△，
，，
，
，故④错误，
，，
△△，
，
，
，故⑤正确，
故选：．
二．填空题（共5小题）
13．如图，在中，，则 ．
【分析】根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：，
，，
又，
，
故答案为：，．
14．已知，则 ．
【分析】设，，分别代入即可．
【解答】解：，
设，，
．
故答案为：．
15．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高 5 ．
【分析】根据题意可知：△△，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到的长．
【解答】解：由题意可得，
，，，，
△△，
，
即
解得，
树高，
故答案为：5．
16．如图，在△中，，，，平分，交于点，点为边上一点，连接，交于点，当时，的长为 ．
【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，先利用角平分线的性质和三角形面积公式求得，再证明△△，求得，最后利用△△即可解答．
【解答】解：如图，过点作交于点，过点作交的延长线于点，
在直角三角形中，，，，
由勾股定理得：，
平分，，
，
根据三角形面积公式可得，
即，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
△△，
，
，
同理可得△△，
，
，
故答案为：．
17．如图，在正方形中，点，点分别在边，上（点不与点，重合），且．连接，交于点，连接，交于点．若，则 ．
【分析】证明△△，得，，再证明，推导出，则，，再推导出，再证明△△，得到，，设，利用勾股定理计算，得到问题的答案．
【解答】解：四边形是正方形，
，，，
，
△△，
，，
连接，则垂直平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
，，
设，则，
，，
，，
，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
18．已知，且．
（1）求、、的值；
（2）求的值．
【分析】（1）设，，，代入求出，即可求出答案；
（2）把、、的值代入，求出即可．
【解答】解：（1）设，，，
，
，
，
，，；
（2），，，
．
19．如图，在△中，为上的一点，过点作，，分别交，于点，．
（1）求证：△△．
（2）若，求的值．
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．
（2）根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质与判定即可求出答案．
【解答】解：（1），，
，，
△△；
（2），，
四边形是平行四边形，
，
△△，
．
20．如图，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接．
（1）求证：△△；
（2）若，求的长．
【分析】（1）由正方形的性质推导出，，则，由，，证明△△，得，则，所以，则，而，所以△△；
（2）因为，所以，求得，，则，由，求得，由相似三角形的性质得，所以．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，对角线、交于点，
，，，，且，
，，
，
点在上，于点，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
△△．
（2）解：正方形的边长为6，
，
，
，，
，
，
，
△△，
，
，
的长是．
21．已知：如图，在△中，，，分别为，中点，连结并延长，使．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）记，．
①求（用含，的代数式表示）；
②若，求证：．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，再利用斜边上的中线性质得到，然后利用对角线相等且互相平分的四边形为矩形得到结论；
（2）①根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，所以；
②由得到，再证明△△，根据相似三角形的性质得到，然后利用可得到结论．
【解答】（1）证明：，点为的中点，
，
，
点为的中点，
，
，
，
四边形为矩形；
（2）①解：，
，
，
；
②证明：，
，
四边形为矩形，
，
，，
△△，
，
，
而，
．
22．如图，点、分别在射线、上，且为锐角，内有一动点，使得．
（1）若，且．
①求证：；
②连接，若，求的值；
（2）若，，，求的长．
【分析】（1）①要证明，可通过三角形内角和定理得出，由，推出，即可得证；
②要求的值，易得是等腰直角三角形，进而得到，再根据①中结论，得出、和的关系，由勾股定理得出的长，即可求解；
（2）要求的长，可先通过作辅助线证明，根据相似比求出的长，利用含角的直角三角形的性质求出的长，再由已知角得到，利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）①证明：，
．
，，
，
，
；
②解：，
是等腰直角三角形，
，，
由（1）知，
，
，
，
，
在中，，
；
（2）解：如图，作交于点，连接，
则，
，
，
，，
，
，
，，
又，
，
在中，，，
，
，
，
在中，，
．
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一．选择题（共12小题）
1．已知、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长为
A． B． C． D．
2．若线段是3和6的比例中项，则的值为
A． B． C． D．
3．已知，则下列式子正确的是
A． B． C． D．
4．如图，在△中，，，若，则
A．6 B．8 C．10 D．12
5．点是线段的黄金分割点，且，若，则长度是
A． B． C． D．1
6．如图，在中，是的中点，交于，已知，连接交于，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的
A． B． C． D．
8．如图，已知，是的中点，连接，相交于点，，若，则的长是
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
9．如图，，分别是的边，上的点，且，交于点．，则的值为
A． B．
C． D．以上答案都不对
10．如图，点是△的重心，是边上一点，，连接，连接并延长分别交、于点、，则的值为
A． B． C． D．2
11．如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为
A． B． C．2 D．
12．如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：①，②，③，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤．其中正确的结论有
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共5小题）
13．如图，在中，，则 ．
14．已知，则 ．
15．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高 ．
16．如图，在△中，，，，平分，交于点，点为边上一点，连接，交于点，当时，的长为 ．
17．如图，在正方形中，点，点分别在边，上（点不与点，重合），且．连接，交于点，连接，交于点．若，则 ．
三．解答题（共5小题）
18．已知，且．
（1）求、、的值；
（2）求的值．
19．如图，在△中，为上的一点，过点作，，分别交，于点，．
（1）求证：△△．
（2）若，求的值．
20．如图，正方形的边长为6，点是对角线、的交点，点在上，过点作，垂足为，连接．
（1）求证：△△；
（2）若，求的长．
21．已知：如图，在△中，，，分别为，中点，连结并延长，使．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）记，．
①求（用含，的代数式表示）；
②若，求证：．
22．如图，点、分别在射线、上，且为锐角，内有一动点，使得．
（1）若，且．
①求证：；
②连接，若，求的值；
（2）若，，，求的长．
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