专题：二次函数不同情境下的应用题（含解析）

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二次函数应用题
例1.用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为米，窗户的透光面积为平方米（铝合金条宽度不计）．
（1）与之间的函数关系式为　　，自变量的取值范围为　　；
（2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
例2 船位于船正东处，现在、两船同时出发，船以每小时的速度朝正北方向行驶，船以每小时的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？
例3 冰糖心苹果是阿克苏的特色农产品，它色泽光亮自然，水分足，果肉脆，口味甜，深受市民喜爱．上市时，王经理按市场价格6元千克收购了2000千克苹果放入冷库中．据预测，苹果的市场价格每天每千克将上涨0.2元，但冷库存放这批苹果每天需要支出各种费用160元，而且苹果在冷库中最多可以保存50天，同时，每天有10千克的苹果损坏不能出售．
（1）若存放天后，将这批苹果一次性出售，设这批苹果的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式；
（2）王经理想获得3850元的利润，需将这批苹果存放多少天后出售？（利润销售总金额收购成本各种费用）
（3）王经理将这批苹果存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
例3变式：某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元件，已知销售价不低于成本价，市场调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元件）之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润（元与销售单价（元件）之间的函数关系式，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
例4 某校科技小组制作了一个小球发射器，使用该发射器可以从地面竖直向上发射小球．在一次发射过程中，小组成员记录了小球离地面的高度（单位：与小球的运动时间（单位：之间的部分对应数据如表：
小球的运动时间 0 0.4 1 1.4 2.6 3 3.6 4
小球离地面的高度 0 7.2 15 18.2 18.2 15 7.2 0
小组成员在直角坐标系中，根据表中各对数值描点，发现与满足我们学过的二次函数关系，且．
（1）画出函数图象，并求与之间的函数关系式；
（2）小球的高度能否达到？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
例5 一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球距离地面，球门高为．按如图所示建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）通过计算判断小明此次射门能否射入球门内；
（3）守门员扑救的最大高度为，如果守门员正对足球，在足球下降阶段能够封堵住这次射门，那么他出击离球门不能超过多少米？
例6 如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为8m，两侧距底面4m高处各有一盏灯，
两灯间的水平距离为6m，求这个隧道入口的最大高度．
例7 某位同学做实验考查电流变化情况时，可以选择若干定值电阻进行并联，（假设可以选择任何数值的电阻），已知电源电压U为3V．（注：公式I，其中I是电流强度，U是电压，R是电阻）
（1）若只选择一个电阻，测得电流强度I为0.1A，求该电阻R的值．
（2）若所选的两个电阻分别为R1，R2，且R1+R2＝20Ω，恰好使总电流强度I最小，求对应电阻R1，R2的值．（注：并联时总电阻R）（在求对应R1，R2的值时，用数学的方法书写过程）
二次函数应用题配套练习
练习：1.如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：，与墙平行的一边长为（单位：，面积为（单位：．
（1）直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写的取值范围）；
（2）当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？
2.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．设△PQD的面积为S，点移动的时间为x（x＞0）
（1）求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）经过多少时间，△PQD的面积最小？
3.网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行线上销售一种食品若干千克，成本价为每千克30元，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的，经试销发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元千克）符合一次函数关系，且．时，；时，，
求：
（1）与之间的表达式；
（2）当销售单价定为多少时，每日获得利润最大？最大利润为多少元？
4.如图，这是一位篮球运动员在进行投篮训练，篮球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．以为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知投篮处到地面的距离，最高点的坐标为，篮筐中心距离地面的竖直高度是．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当篮球运动员距篮筐中心的水平距离为时，这次投篮训练是否成功？请判断并说明理由．
5.乒乓球是一项集力量、速度、灵敏度、协调性和判断力于一体的综合性运动，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国队包揽了全部5块金牌．运动员常使用乒乓球发球机进行日常训练，如图所示，点在球台中轴线上，发球机的出球口在点正上方处，以球台的中轴线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，把球看成点，球从点射出，其运行的高度与运行的水平距离满足函数关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为，球台边界距点的水平距离为．
（1）求与的函数关系式．
（2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
（3）保持发球角度、速度不变情况下，将发球机调低后（抛物线形状不变），球从点射出，球越过球网且没有出界，求此时球的落点与点的水平距离．
6．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围．
7.被推出的铅球的运动路径可看作抛物线的一部分，如图，以地面水平方向为轴，出手点到地面的垂线为轴，建立平面直角坐标系．小明第一次推铅球时，铅球出手时离地面的高度为，铅球落地时，离出手点的水平距离是，铅球运行的水平距离为时达到最大高度．
（1）求小明第一次推铅球时该铅球运行路径对应的函数表达式．
（2）小明第二次推铅球时，铅球运行路径对应的表达式为．
①第二次推铅球的成绩是否比第一次更好，请说明理由；
②铅球两次运行过程中，将离出手点的水平距离相同时，铅球所在位置的高度差记为△，求△的最大值及此时铅球运行的水平距离．
8．如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，整个图形是轴对称图形矩形的长为，宽为，抛物线的顶点到地面的距离为．
（1）请建立平面直角坐标系，并求抛物线对应的函数解析式．
（2）一辆货运卡车高，宽，它能通过该隧道吗？请说明理由．
（3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有宽的隔离带，那么这辆货运卡车还能通过该隧道吗？请说明理由．
9．综合与实践
学习主题：探究电流最值
课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，某数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以“探究电流最值”为主题展开项目式学习．
学习素材：
名称 内容 备注
素材1 用总长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积（单位：随矩形一边长（单位：的变化而变化 课本例题
素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大．，，，，，， 课本数学活动
素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和：．并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和：．电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系． 物理学知识
研究步骤：
1．画出电路图．在如图1所示的电路中，，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中．2．根据电路图连接实验器材，图略．
3．闭合开关，在滑片从端滑到端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据．
解决问题：
（1）在素材1中，当　　 时，场地的面积最大．
（2）推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由．
（3）①若设，总电阻为，则当为何值时，有最大值？并出求这个最大值．
②在①的条件下，电流表的值为　　．
例1（1）根据题意，得窗框的高为米，则长为，所以．
因为，，所以．故答案为、．
（2）
，当时，有最大值，
即窗框的高为1米，宽为1.5米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是1.5平方米．
答：窗框的高为1米，宽为1.5米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是1.5平方米．
例2 解：设时两船相距为，则，，
由题意可知，
故当时即时两船相距最近，最近距离是．
解：（1）由题意与之间的函数关系式为：，且为整数）；（2）由题意得：，解方程得：，（不合题意，舍去），
王经理想获得3850元的利润，需将这批苹果存放35天后出售；
（3）设利润为，由题意得：，
，抛物线开口方向向下，时，，，符合题意，
王经理将这批苹果存放45天后出售可获得最大利润，最大利润是4050元．
例3变式：解：（1）设，将，代入，，解得：，
所以；
（2）根据题意知，
，
，
当时，随的增大而增大，
当，时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为324，
答：每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大值为324．
例4 解：（1）设，过，，，解得：，
与之间的函数关系式为：；
（2）小球的高度不能达到．
理由：，当时，有最大值20，
，小球的高度不能达到．
例5 解：（1）设抛物线为，把代入得，
解得，抛物线表达式为：；
（2）当时，，球能进球门内；
（3）将代入抛物线解析式，得，解得或6，
因为足球在下降阶段，对称轴为，下降阶段，
所以取，所以他出击离球门不能超过．
例6 解：建立如图所示的平面直角坐标系．
由题意可知各点的坐标，，，．设抛物线的解析式为：，把，代入，得，解得，该抛物线的解析式为：，则．
∴这个隧道入口的最大高度为
例7 解：（1）根据题意知：，．．
（2）．并联时总电阻．．
总电流强度．
故当时，总电流强度取最小值，此时．
即：恰好使总电流强度最小，对应电阻，的值都为．
练习1：解：（1）由题意得：，，；
（2），，，
，，，对称轴为直线，当时，有最大值．
2.解：（1）根据题意得：，，
则，，
的面积矩形的面积的面积的面积的面积
，；
（2），，当时，最小；
即经过时，的面积最小．
3.解：（1）设表达式为，由题意可得：，，；
（2）这批食品每千克获利不得高于元，，，
，抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，，当时，元：
答：当销售单价定为48元时，每日获得利润最大，最大利润为576元．
4.解：（1）根据题意可得：抛物线过点，顶点的坐标为，设抛物线的解析式为，
将点代入可得：，解得：，所以抛物线的函数表达式．
（2）这次投篮训练能成功，理由如下：
令，则，，这次投篮训练能成功．
5.解：（1）根据题意，将点代入，得：，解得：，
；
（2）当时，，球能过网，
当时，，球不会出界，
球能越过球网，也不会出界；
（3）依题意，点，设，将代入，得：，
解得：，，
令，则，
解得：，（舍去），
球的落点与点的水平距离为．
6.解：（1）由题意知，抛物线顶点为，设抛物线的表达式为，将代入得：，
解得，，抛物线的表达式为；
（2）当时，，
解得或，
结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在轴上的横坐标的取值范围为．
7.解：（1）设表达式为，则，，，
将代入，得，解得，，故表达式为；
（2）①，当时，，解得，（舍去），
故第二次推铅球的成绩与第一次相同，
②△，
，当时，△取最大值，最大值为1.6，
答：△的最大值为，此时铅球运行的水平距离为．
8.解：（1）设的中点为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，
由题意得抛物线经过点、、．设抛物线的解析式为．
，，，，，，抛物线的解析式为．
（2）能，理由如下：
由（1）知抛物线的解析式为，
货运卡车的宽为2.4，当它在隧道正中央通过时，则轴一边各占，
当时，，
因为，
所以货运卡车能通过隧道．
（3）不能，理由如下：当隧道内设成双行道时，货车只能从轴的左侧或右侧通过，
由于隧道正中设有的隔离带，故轴的左右两侧各有的隔离带，
货运卡车的宽为2.4，当时，，因为，
所以货运卡车不能通过隧道．
9.解：（1）矩形一边，则另一边长为，，
当，场地的面积最大，最大为225平方米；故答案为：15．所以取50或51时，最大为2550；
（2）和的积最大，设其中一个因数为，则，且为正整数），
对称轴为，是正整数，且，取50或51时，最大为2550．
（3）设，则，，设总电流为，则，
若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，
设，
，则抛物线开口向下，且，
当时，取最大值为25，此时取最小值为，两支路电阻分别为和，两支路电阻相等，
当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为．
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