《二次根式、一元二次方程与反比例函数》精选压轴题—浙江省八（下）数学期末复习
一、二次根式
1．（2024八下·嘉善期末）非零实数，满足，则 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：
两边同时乘以，
可得：，
整理得：
∴
∴
把代入得：
原式
故答案为：
【分析】等式两边同乘，运用平方差公式可得，整理得与的关系式；代入，通分化简即可．
二、一元二次方程
2．（2024八下·江北期末）已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
设，则，
则，
的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式将已知方程变形成，然后直接开平方可以得到，进而利用拆项得到，设，则，然后用含a的式子表示出x+y后再利用配方法配成，然后结合偶数次幂的非负性即可写出x+y的最大值，从而可以得到M的最大值．
3．（2024八下·拱墅期末）已知一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个正根和方程x2+bx+a＝0的一个正根相等，若ax2+bx+1＝0的另一个根为4，则x2+bx+a＝0的两个根分别为（ ）
A．﹣4，4 B．﹣4，1 C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）的一个正根和方程x2＋bx＋a＝0的一个正根相等，
∴ax2＋bx＋1＝x2＋bx＋a，
解得x2＝1，
∴正根为1，
∵ax2＋bx＋1＝0的另一个根为4，
∴，
∴，
∵方程x2＋bx＋a＝0有一个正根为1，设另一个根为m，
∴则1×m＝a＝，
∴m＝，
∴另一个根为，
∴x2＋bx＋a＝0的两个根分别为1，．
故选：D．
【分析】先根据“一元二次方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）的一个正根和方程x2＋bx＋a＝0的一个正根相等”求出方程的正根，再求出，再结合“方程x2＋bx＋a＝0有一个正根为1”设另一个根为m，利用根与系数的关系可得1×m＝a＝，求出m的值即可.
4．（2024八下·上虞期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设原方程为，两个根为和；则新的方程为，两个根为2和．
∴，，
得，
∵两个方程不同，
∴a≠c，
∴，
∴，
∴．
①当时，代入新方程可得：，
解得：，
则，，
则．
②当时，代入新方程可得：，
解得：，
则，，
则．
综上，原方程两根的平方和是．
故答案为：D．
【分析】设原方程为，两个根为和．则新的方程为，两个根为2和．把根代入方程可得，，将①②联立可解得．分别把β=1和β=﹣1代入新方程，得到a、b、c之间的关系，再由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值．
5．（2024八下·诸暨期末）已知关于的方程（为常数，且），下列①～④选项中，哪两个一定不是方程的实数解（ ）
①；②；③；④
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】A
【知识点】判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：①：将代入原方程，得，
整理得：，即，
∴原方程无解，
∴不是方程的解．故①符合题意；
②：将代入原方程，得，
整理得：，即
此方程有解，
∴可能是方程的解．故②不符合题意；
③：将代入原方程，得
整理得：
此方程有解，
∴可能是方程的解．故③不符合题意；
④将代入原方程，得，
整理得：，即
此方程无解．
∴一定不是方程的解．故④符合题意，
综上所述：①④一定不是方程的实数解，
故答案为：A．
【分析】根据题意依次将各选项中的值代入方程，即可得到一个关于、b的二元二次方程，判断此方程解的情况，若此方程有解，则的值为方程的解，反之，则的值一定不是方程的解．
6．（2024八下·宁波期末）设实数，，满足，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
=
=
=
=
=
=
∵
∴≤
∴的最大值为
故答案为：．
【分析】先用x，y表示出z，再代入M中，然后利用配方法配方，最后利用平方的非负性求解．
三、反比例函数
7．（2024八下·拱墅月考）如图，已知正方形的面积为9．它的两个顶点，是反比例函数（，）的图象上两点，若点的坐标是，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为9，
∴，
∵点的坐标是，
∴点的坐标是，
∵点，是反比例函数（，）的图象上两点，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据正方形的面积得到，设点的坐标是，表示点B的坐标，然后代入反比例函数的解析式即可解题．
8．（2024八下·吴兴期末） 如图， 将含 的三角尺放在平面直角坐标系 中， 点 在 轴上， 轴， 点 为斜边 的中点. 若反比例函数 的图象经过 两点， 反比例函数 的图象经过点 ， 则 与 满足的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：设，则依题得
为的中点
反比例函数（）的图象经过两点
化简得
，
．
故答案为：A．
【分析】设，则依题得，，，由反比例函数（）的图象经过两点得出，化简得，再用表示出即可得到答案．
9．（2024八下·新昌期末）如图，是反比例函数图象上一点，且A点的横坐标为．是轴负半轴上一点，且点的纵坐标为．连接，延长至点，使得，且点恰好落在反比例函数的图象上．已知，则的值为（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：作轴，作轴，
根据题意：，，，
∴，
∴，
∵点A的横坐标为a，且在反比例函数图象上，
∴点B的横坐标为，，
∴
∴点B的纵坐标为：，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴．
故选：C．
【分析】作轴，作轴，可以证明，即可得到、，得到点B的坐标，然后代入计算求出k值即可．
10．（2024八下·湖州期末）如图，将含的三角尺放在平面直角坐标系中，点在轴上，轴，点M为斜边AB的中点．若反比例函数（）的图象经过两点，反比例函数（）的图象经过点，则与满足的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，则依题得
为的中点
反比例函数（）的图象经过两点
化简得
，
．
故答案为：A．
【分析】设，得到点A、M的坐标代入反比例函数（）求出b解题即可．
11．（2024八下·金东期末）已知正比例函数与反比例函数.对于实数m，当时，；当时，，则m的取值范围为（ ）.
A．或 B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：联立方程组，
解得或，
∵当时，；当时，，
∴或，
解得或，
故答案为：C
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题联立方程组即可得到，，进而结合题意题意即可得到或，解不等式组即可得到m的取值范围。
12．（2024八下·嘉善期末）如图，点A，B在反比例函数的图象上，以为邻边作平行四边形，点C恰好落在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是6，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过A作AE⊥x轴于E，过B作BF//x轴交直线AE于点F，连接OB，AC，相交于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，且面积是6，
∴.
∵点A在反比例函数的图象上，
∴.
∵点B在反比例函数的图象上，设，
∴.
∴.
∵
，
∴，
整理得：，即，
∵，
∴，则，
∴，
∵四边形平行四边形，
∴AC与OB互相平分，相交于点G，
∴，
∴，
∵点C恰好落在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：A．
【分析】过A作AE⊥x轴于E，过B作BF//x轴交直线AE于点F，连接OB，AC，相交于点G，根据坐标与图形以及平行四边形的性质推导出，，设，，可得，用两种方式表示出梯形OEFB的面积，利用等面积法得，整理并求解得到，利用中点坐标公式得到，进而求得，代入求解k值即．
13．（2024八下·拱墅期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数的图象交于点若，则的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
14．（2024八下·北仑期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图象经过上的点、，且，的面积为12，则的值为 ．
【答案】-8
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接BD，在矩形ABCD中，OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠EAO，
∴∠EAD=∠OAD，
∴∠EAD=∠ADO，
∴AE∥BD，
∴S△AEB=S△AEO=12，
设A（a，），
∵AF=EF，
∴F（2a，），E（3a，0），
∴S△AEO=OE·yA=×（-3a）×=12，
∴k=-8，
故答案为：-8．
【分析】连接BD，由AD平分∠EAO得∠DAE=∠OAD，由矩形ABCD的性质得到∠OAD=∠ODA，从而得到∠EAD=∠ADO，则AE∥BD，再由平行线的性质及等底同高可得S△ABE=S△AOE=12，可设点A的坐标（a，），由AF=EF则F（2a，），E（3a，0），根据S△AEO=OE·yA=12即可求解．
15．（2024·杭州模拟）如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是2，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设，则，
∵矩形的顶点在反比例函数的图象上，
∴，
∵的面积是2，
∴，即，
∵，
，
∴，
即，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【分析】先设，得出，根据反比例函数的几何意义求出k=ab，根据的面积是2，得出，最后根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似以及相似三角形的对应边之比相等得出，即，求得的值即可．
16．（2024八下·江北期末）如图，点是反比例函数图象上的两点，直线交轴正半轴于点C，连接并延长交反比例函数图象的另一支于点，过点作的角平分线的垂线，垂足为点，若点是线段的中点且，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB，OE，过点A作轴垂线，垂足为M，过点B作轴垂线，垂足为N，
是直角三角形．
，D是关于原点对称，
．
在中，
又平分
∴
∴
∴
设，，
，即．
故答案为：-8．
【分析】连接OB，OE，过点A作x轴垂线，垂足为M，过点B作x轴垂线，垂足为N，根据反比例函数的对称性可得点A与点D关于点O对称，进而根据直角三角形斜边中线性质得AO=DO=EO，由等边对等角及角平分线定义推出∠CAE=∠OEA，由内错角相等两直线平行得AB∥EO，由平行线间的距离相等及同底等高三角形面积相等得S△ABO=S△ABE=6，由割补法及反比例函数k的几何意义推出S梯形AMNB=S△ABO=6，然后根据中点坐标公式设，，，然后根据梯形面积公式和反比例函数性质建立方程组求解即可．
17．（2024八下·东阳期末）以平行四边形的顶点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，为边上一点，，已知反比例函数的图象经过两点．
（1）若为的中点，则点坐标 ．
（2）当为的等分点，时，则值 ．（用含的代数式表示）
【答案】；
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）过点作轴的垂线交于点，
∵，，
∴，，
∴，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，则；
∵四边形是平行四边形，
∴，即轴，
∴点B的纵坐标为，
∵点D为为的中点，
∴点D的纵坐标为，
将代入中，则，
∴点D坐标为，
故正确答案为：；
（2）过点作轴的垂线交于点，
，
设，则，
，
，则，
，
，
，，
∴点D的纵坐标为，代入反比例函数中，得点D的横坐标为，
，
．
故答案为：．
【分析】（1）过点作轴的垂线交于点，根据含30°锐角的直角三角形的性质，即可得出点，进而得出反比例函数关系式为；再根据BC平行x轴，即可得出点B的纵坐标为，再根据点D是AB的中点，即可得出点D的纵坐标为，把y=，代入中，即可得出点D的坐标；
（2）过点作轴的垂线交于点，设，则，根据含30°锐角的直角三角形的性质，即可得出点，进而得出，同（1）的方法可得出点D（，），即OF=，进而得出，故而得出的值 。
18．（2024八下·嵊州期末）如图，平面直角坐标系中有一个由个边长为的正方形所组成的图形，反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点，若线段把该图形分成面积为的两部分，则的值为 ．
【答案】或
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：如图：
∵线段把该图形分成面积为的两部分，且图形的总面积是，
∴线段把该图形分成面积为和的两部分，
根据题意可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∵反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点，
故，，
则，，，
故梯形的面积为：，
即或，
解得：或．
故答案为：或．
【分析】根据题意可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，然后代入解析式得到点和点的坐标，求出梯形的面积，列出关于的方程解题即可．
19．（2024八下·德清期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点是轴正半轴上一点，点是反比例函数图象上的一个动点，连结AB，以AB为一边作正方形ABCD，使点在第一象限且落在反比例函数的图象上，设点的横坐标为，点的横坐标为，则 .
【答案】2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，
由题意将x=m代入反比例函数中可得：，
∴点B的坐标为（m，），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，
∴∠AFD=90°=∠BEA，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
在△ABE和△DAF中
∴△ABE≌△DAF（AAS）
∴BE=AF=-m，AE=DF=k-，
∴OF=OA -AF =k-(-m)=k+m，
∴点D的坐标为（k-，k+m），
∵点D在反比例函数顶点图象上，
∴点D的坐标为（n，），
∴k-=n，k+m=，
整理可得：kn+km-k=k，
∴m+n=2.
故答案为：2.
【分析】过点B作BE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，由题意用角角边可证△ABE≌△DAF，则BE=AF，AE=DF，于是可将B、D用含m、n、k的代数式表示出来，根据点D在反比例函数的图象上可得关于m、n、k的方程，整理即可求解.
20．（2024八下·镇海区期末）如图， 第二象限的点 在反比例函数 图象上， 延长 交 轴于点 ， 点 是 轴负半轴上的一点， ， 连结 ， 若 ， 则 的值是 .
【答案】-3
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】如图：作CG⊥x轴，垂足为点G，BH⊥y轴，垂足为点H
∵点B、C在反比例函数图象上，OB=OC∴点B，C关于直线y=-x对称设CG=m∵∠OEC=135°∴∠CEG=45°∴CG=EG=m，CE=∴BC=2CE=2∴OG=OE＋EG=2＋m∴点C的坐标为（-2-m，m），点B的坐标为（-m，2+m）∴∴2=∴m=1∴点C的坐标为（-3，1）∵点C在反比例函数 图象上∴k=-3.
【分析】
先通过点B、C在反比例函数图象上，OB=OC，得出：点B，C关于直线y=-x对称，设CG=m得出：CG=EG=m，CE=，则BC=2CE=2，点C的坐标为（-2-m，m），点B的坐标为（-m，2+m），再根据两点之间的坐标公式，计算出BC的长，列出方程解出m，即可求出点C的坐标，代入反比例函数即可求出k的值.
21．（2023八下·苍南期末）如图，点M在函数（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数（x＞0）的图像于点B、C，连接OB、OC，则△OBC的面积为 ．
【答案】2.1
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；多边形的面积
【解析】【解答】解：延长MC交x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示：
∵点M在函数（x＞0）的图像上，可设，
∵MB∥x轴，MC∥y轴，点B、C都在反比例函数（x＞0） 的图象上，
∴，，，，
∴.
∵，
∴
故答案为：2.1．
【分析】延长MC交x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，设，由题意可得，，，，由反比例函数的几何意义得，于是可得，再利用梯形的面积公式计算即可.
22．（2024八下·浦江期末）点是反比例函数图像上一点，过点作轴、轴的平行线，交反比例函数的图象于两点，连接，若，则 ．
【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意，设，则，，如图，
则，，，
由得
，
整理，得，又，
解得；
同理，如图，
由得
，
整理，得，又，
∴，
综上，满足条件的k值为或，
故答案为：或．
【分析】
设，则，，则由反比例函数比例系数k的几何意义知等于等于，等于6，可用含的代数式表示，再进行分类讨论，即当原点在外或在内时，分别利用图形之间的面积关系建立关于的一元二次方程并解方程即可，另由于，保留负数解即可．
23．（2024八下·慈溪期末）如图，正方形的顶点，分别在轴正半轴和轴正半轴上，过点的反比例函数的图象交正方形对角线于点．若正方形的面积为40，且点是的中点，则的值为 ．
【答案】16
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作轴于，设，
又由四边形为正方形，
，．
．
又，
，
．
又，
．
，．
∵，，
．
．
四边形为正方形，
对角线与互相平分．
为的中点，
为的中点．
，
又在反比例函数，
．
．
∵正方形的面积为，且，
．
．
．
．
故答案为：16．
【分析】作轴于，设，先证出．可得，，求出，再求出，将点E代入，求出，再利用勾股定理可得，求出即可．
1 / 1《二次根式、一元二次方程与反比例函数》精选压轴题—浙江省八（下）数学期末复习
一、二次根式
1．（2024八下·嘉善期末）非零实数，满足，则 ．
二、一元二次方程
2．（2024八下·江北期末）已知实数 满足 ，设 ，则 的最大值是 （ ）
A． B． C． D．1
3．（2024八下·拱墅期末）已知一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个正根和方程x2+bx+a＝0的一个正根相等，若ax2+bx+1＝0的另一个根为4，则x2+bx+a＝0的两个根分别为（ ）
A．﹣4，4 B．﹣4，1 C． D．
4．（2024八下·上虞期末）在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八下·诸暨期末）已知关于的方程（为常数，且），下列①～④选项中，哪两个一定不是方程的实数解（ ）
①；②；③；④
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
6．（2024八下·宁波期末）设实数，，满足，则的最大值为 ．
三、反比例函数
7．（2024八下·拱墅月考）如图，已知正方形的面积为9．它的两个顶点，是反比例函数（，）的图象上两点，若点的坐标是，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
8．（2024八下·吴兴期末） 如图， 将含 的三角尺放在平面直角坐标系 中， 点 在 轴上， 轴， 点 为斜边 的中点. 若反比例函数 的图象经过 两点， 反比例函数 的图象经过点 ， 则 与 满足的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八下·新昌期末）如图，是反比例函数图象上一点，且A点的横坐标为．是轴负半轴上一点，且点的纵坐标为．连接，延长至点，使得，且点恰好落在反比例函数的图象上．已知，则的值为（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（2024八下·湖州期末）如图，将含的三角尺放在平面直角坐标系中，点在轴上，轴，点M为斜边AB的中点．若反比例函数（）的图象经过两点，反比例函数（）的图象经过点，则与满足的等量关系是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八下·金东期末）已知正比例函数与反比例函数.对于实数m，当时，；当时，，则m的取值范围为（ ）.
A．或 B．
C．或 D．或
12．（2024八下·嘉善期末）如图，点A，B在反比例函数的图象上，以为邻边作平行四边形，点C恰好落在反比例函数的图象上，若平行四边形的面积是6，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2024八下·拱墅期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数的图象交于点若，则的取值范围是 ．
14．（2024八下·北仑期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、，若平分，反比例函数的图象经过上的点、，且，的面积为12，则的值为 ．
15．（2024·杭州模拟）如图，矩形的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线的延长线交y轴于点E，连接，若的面积是2，则k的值为 ．
16．（2024八下·江北期末）如图，点是反比例函数图象上的两点，直线交轴正半轴于点C，连接并延长交反比例函数图象的另一支于点，过点作的角平分线的垂线，垂足为点，若点是线段的中点且，则 ．
17．（2024八下·东阳期末）以平行四边形的顶点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，为边上一点，，已知反比例函数的图象经过两点．
（1）若为的中点，则点坐标 ．
（2）当为的等分点，时，则值 ．（用含的代数式表示）
18．（2024八下·嵊州期末）如图，平面直角坐标系中有一个由个边长为的正方形所组成的图形，反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点，若线段把该图形分成面积为的两部分，则的值为 ．
19．（2024八下·德清期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点是轴正半轴上一点，点是反比例函数图象上的一个动点，连结AB，以AB为一边作正方形ABCD，使点在第一象限且落在反比例函数的图象上，设点的横坐标为，点的横坐标为，则 .
20．（2024八下·镇海区期末）如图， 第二象限的点 在反比例函数 图象上， 延长 交 轴于点 ， 点 是 轴负半轴上的一点， ， 连结 ， 若 ， 则 的值是 .
21．（2023八下·苍南期末）如图，点M在函数（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数（x＞0）的图像于点B、C，连接OB、OC，则△OBC的面积为 ．
22．（2024八下·浦江期末）点是反比例函数图像上一点，过点作轴、轴的平行线，交反比例函数的图象于两点，连接，若，则 ．
23．（2024八下·慈溪期末）如图，正方形的顶点，分别在轴正半轴和轴正半轴上，过点的反比例函数的图象交正方形对角线于点．若正方形的面积为40，且点是的中点，则的值为 ．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：
两边同时乘以，
可得：，
整理得：
∴
∴
把代入得：
原式
故答案为：
【分析】等式两边同乘，运用平方差公式可得，整理得与的关系式；代入，通分化简即可．
2．【答案】B
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
设，则，
则，
的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式将已知方程变形成，然后直接开平方可以得到，进而利用拆项得到，设，则，然后用含a的式子表示出x+y后再利用配方法配成，然后结合偶数次幂的非负性即可写出x+y的最大值，从而可以得到M的最大值．
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）的一个正根和方程x2＋bx＋a＝0的一个正根相等，
∴ax2＋bx＋1＝x2＋bx＋a，
解得x2＝1，
∴正根为1，
∵ax2＋bx＋1＝0的另一个根为4，
∴，
∴，
∵方程x2＋bx＋a＝0有一个正根为1，设另一个根为m，
∴则1×m＝a＝，
∴m＝，
∴另一个根为，
∴x2＋bx＋a＝0的两个根分别为1，．
故选：D．
【分析】先根据“一元二次方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）的一个正根和方程x2＋bx＋a＝0的一个正根相等”求出方程的正根，再求出，再结合“方程x2＋bx＋a＝0有一个正根为1”设另一个根为m，利用根与系数的关系可得1×m＝a＝，求出m的值即可.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设原方程为，两个根为和；则新的方程为，两个根为2和．
∴，，
得，
∵两个方程不同，
∴a≠c，
∴，
∴，
∴．
①当时，代入新方程可得：，
解得：，
则，，
则．
②当时，代入新方程可得：，
解得：，
则，，
则．
综上，原方程两根的平方和是．
故答案为：D．
【分析】设原方程为，两个根为和．则新的方程为，两个根为2和．把根代入方程可得，，将①②联立可解得．分别把β=1和β=﹣1代入新方程，得到a、b、c之间的关系，再由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值．
5．【答案】A
【知识点】判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：①：将代入原方程，得，
整理得：，即，
∴原方程无解，
∴不是方程的解．故①符合题意；
②：将代入原方程，得，
整理得：，即
此方程有解，
∴可能是方程的解．故②不符合题意；
③：将代入原方程，得
整理得：
此方程有解，
∴可能是方程的解．故③不符合题意；
④将代入原方程，得，
整理得：，即
此方程无解．
∴一定不是方程的解．故④符合题意，
综上所述：①④一定不是方程的实数解，
故答案为：A．
【分析】根据题意依次将各选项中的值代入方程，即可得到一个关于、b的二元二次方程，判断此方程解的情况，若此方程有解，则的值为方程的解，反之，则的值一定不是方程的解．
6．【答案】
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
=
=
=
=
=
=
∵
∴≤
∴的最大值为
故答案为：．
【分析】先用x，y表示出z，再代入M中，然后利用配方法配方，最后利用平方的非负性求解．
7．【答案】B
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为9，
∴，
∵点的坐标是，
∴点的坐标是，
∵点，是反比例函数（，）的图象上两点，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据正方形的面积得到，设点的坐标是，表示点B的坐标，然后代入反比例函数的解析式即可解题．
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：设，则依题得
为的中点
反比例函数（）的图象经过两点
化简得
，
．
故答案为：A．
【分析】设，则依题得，，，由反比例函数（）的图象经过两点得出，化简得，再用表示出即可得到答案．
9．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：作轴，作轴，
根据题意：，，，
∴，
∴，
∵点A的横坐标为a，且在反比例函数图象上，
∴点B的横坐标为，，
∴
∴点B的纵坐标为：，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴．
故选：C．
【分析】作轴，作轴，可以证明，即可得到、，得到点B的坐标，然后代入计算求出k值即可．
10．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，则依题得
为的中点
反比例函数（）的图象经过两点
化简得
，
．
故答案为：A．
【分析】设，得到点A、M的坐标代入反比例函数（）求出b解题即可．
11．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：联立方程组，
解得或，
∵当时，；当时，，
∴或，
解得或，
故答案为：C
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题联立方程组即可得到，，进而结合题意题意即可得到或，解不等式组即可得到m的取值范围。
12．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过A作AE⊥x轴于E，过B作BF//x轴交直线AE于点F，连接OB，AC，相交于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，且面积是6，
∴.
∵点A在反比例函数的图象上，
∴.
∵点B在反比例函数的图象上，设，
∴.
∴.
∵
，
∴，
整理得：，即，
∵，
∴，则，
∴，
∵四边形平行四边形，
∴AC与OB互相平分，相交于点G，
∴，
∴，
∵点C恰好落在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：A．
【分析】过A作AE⊥x轴于E，过B作BF//x轴交直线AE于点F，连接OB，AC，相交于点G，根据坐标与图形以及平行四边形的性质推导出，，设，，可得，用两种方式表示出梯形OEFB的面积，利用等面积法得，整理并求解得到，利用中点坐标公式得到，进而求得，代入求解k值即．
13．【答案】或
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
14．【答案】-8
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接BD，在矩形ABCD中，OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠EAO，
∴∠EAD=∠OAD，
∴∠EAD=∠ADO，
∴AE∥BD，
∴S△AEB=S△AEO=12，
设A（a，），
∵AF=EF，
∴F（2a，），E（3a，0），
∴S△AEO=OE·yA=×（-3a）×=12，
∴k=-8，
故答案为：-8．
【分析】连接BD，由AD平分∠EAO得∠DAE=∠OAD，由矩形ABCD的性质得到∠OAD=∠ODA，从而得到∠EAD=∠ADO，则AE∥BD，再由平行线的性质及等底同高可得S△ABE=S△AOE=12，可设点A的坐标（a，），由AF=EF则F（2a，），E（3a，0），根据S△AEO=OE·yA=12即可求解．
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设，则，
∵矩形的顶点在反比例函数的图象上，
∴，
∵的面积是2，
∴，即，
∵，
，
∴，
即，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【分析】先设，得出，根据反比例函数的几何意义求出k=ab，根据的面积是2，得出，最后根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似以及相似三角形的对应边之比相等得出，即，求得的值即可．
16．【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB，OE，过点A作轴垂线，垂足为M，过点B作轴垂线，垂足为N，
是直角三角形．
，D是关于原点对称，
．
在中，
又平分
∴
∴
∴
设，，
，即．
故答案为：-8．
【分析】连接OB，OE，过点A作x轴垂线，垂足为M，过点B作x轴垂线，垂足为N，根据反比例函数的对称性可得点A与点D关于点O对称，进而根据直角三角形斜边中线性质得AO=DO=EO，由等边对等角及角平分线定义推出∠CAE=∠OEA，由内错角相等两直线平行得AB∥EO，由平行线间的距离相等及同底等高三角形面积相等得S△ABO=S△ABE=6，由割补法及反比例函数k的几何意义推出S梯形AMNB=S△ABO=6，然后根据中点坐标公式设，，，然后根据梯形面积公式和反比例函数性质建立方程组求解即可．
17．【答案】；
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）过点作轴的垂线交于点，
∵，，
∴，，
∴，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，则；
∵四边形是平行四边形，
∴，即轴，
∴点B的纵坐标为，
∵点D为为的中点，
∴点D的纵坐标为，
将代入中，则，
∴点D坐标为，
故正确答案为：；
（2）过点作轴的垂线交于点，
，
设，则，
，
，则，
，
，
，，
∴点D的纵坐标为，代入反比例函数中，得点D的横坐标为，
，
．
故答案为：．
【分析】（1）过点作轴的垂线交于点，根据含30°锐角的直角三角形的性质，即可得出点，进而得出反比例函数关系式为；再根据BC平行x轴，即可得出点B的纵坐标为，再根据点D是AB的中点，即可得出点D的纵坐标为，把y=，代入中，即可得出点D的坐标；
（2）过点作轴的垂线交于点，设，则，根据含30°锐角的直角三角形的性质，即可得出点，进而得出，同（1）的方法可得出点D（，），即OF=，进而得出，故而得出的值 。
18．【答案】或
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：如图：
∵线段把该图形分成面积为的两部分，且图形的总面积是，
∴线段把该图形分成面积为和的两部分，
根据题意可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∵反比例函数的图象与图形外侧两个交点记为点，点，
故，，
则，，，
故梯形的面积为：，
即或，
解得：或．
故答案为：或．
【分析】根据题意可得点的纵坐标为，点的纵坐标为，然后代入解析式得到点和点的坐标，求出梯形的面积，列出关于的方程解题即可．
19．【答案】2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，
由题意将x=m代入反比例函数中可得：，
∴点B的坐标为（m，），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵BE⊥y轴，过点D作DF⊥y轴，
∴∠AFD=90°=∠BEA，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
在△ABE和△DAF中
∴△ABE≌△DAF（AAS）
∴BE=AF=-m，AE=DF=k-，
∴OF=OA -AF =k-(-m)=k+m，
∴点D的坐标为（k-，k+m），
∵点D在反比例函数顶点图象上，
∴点D的坐标为（n，），
∴k-=n，k+m=，
整理可得：kn+km-k=k，
∴m+n=2.
故答案为：2.
【分析】过点B作BE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，由题意用角角边可证△ABE≌△DAF，则BE=AF，AE=DF，于是可将B、D用含m、n、k的代数式表示出来，根据点D在反比例函数的图象上可得关于m、n、k的方程，整理即可求解.
20．【答案】-3
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】如图：作CG⊥x轴，垂足为点G，BH⊥y轴，垂足为点H
∵点B、C在反比例函数图象上，OB=OC∴点B，C关于直线y=-x对称设CG=m∵∠OEC=135°∴∠CEG=45°∴CG=EG=m，CE=∴BC=2CE=2∴OG=OE＋EG=2＋m∴点C的坐标为（-2-m，m），点B的坐标为（-m，2+m）∴∴2=∴m=1∴点C的坐标为（-3，1）∵点C在反比例函数 图象上∴k=-3.
【分析】
先通过点B、C在反比例函数图象上，OB=OC，得出：点B，C关于直线y=-x对称，设CG=m得出：CG=EG=m，CE=，则BC=2CE=2，点C的坐标为（-2-m，m），点B的坐标为（-m，2+m），再根据两点之间的坐标公式，计算出BC的长，列出方程解出m，即可求出点C的坐标，代入反比例函数即可求出k的值.
21．【答案】2.1
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；多边形的面积
【解析】【解答】解：延长MC交x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示：
∵点M在函数（x＞0）的图像上，可设，
∵MB∥x轴，MC∥y轴，点B、C都在反比例函数（x＞0） 的图象上，
∴，，，，
∴.
∵，
∴
故答案为：2.1．
【分析】延长MC交x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，设，由题意可得，，，，由反比例函数的几何意义得，于是可得，再利用梯形的面积公式计算即可.
22．【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数系数k的几何意义；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意，设，则，，如图，
则，，，
由得
，
整理，得，又，
解得；
同理，如图，
由得
，
整理，得，又，
∴，
综上，满足条件的k值为或，
故答案为：或．
【分析】
设，则，，则由反比例函数比例系数k的几何意义知等于等于，等于6，可用含的代数式表示，再进行分类讨论，即当原点在外或在内时，分别利用图形之间的面积关系建立关于的一元二次方程并解方程即可，另由于，保留负数解即可．
23．【答案】16
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作轴于，设，
又由四边形为正方形，
，．
．
又，
，
．
又，
．
，．
∵，，
．
．
四边形为正方形，
对角线与互相平分．
为的中点，
为的中点．
，
又在反比例函数，
．
．
∵正方形的面积为，且，
．
．
．
．
故答案为：16．
【分析】作轴于，设，先证出．可得，，求出，再求出，将点E代入，求出，再利用勾股定理可得，求出即可．
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