【精品解析】新定义型—浙江省八（下）数学期末复习

新定义型—浙江省八（下）数学期末复习
一、选择题
1．（2024八下·镇海区期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
2．（2025八下·诸暨期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是
①方程x2-3x+2=0是倍根方程；②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，则 4m2-5mn+n2=③若p、q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若关于x的方程ax2+b+c=0是倍根方程，则2b2=9ac．
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
二、填空题
3．（2024八下·越城期末） 定义运筫 “ *” 的运筫法则为： ， 其中 为非负实数， 且 ，则 　 　
4．（2024八下·金东期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个相等实数根，则k的值为　 　.
5．（2024八下·宁波期末）设表示不超过的最大整数．若，则的值是　 　．
6．（2024八下·德清期末）定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形中，，“筝形”的顶点是的中点，点分别在上，且，则对角线的长　 　．
7．（2024八下·宁波期中）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”的边长为是它的较短对角线，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上的动点，则的最小值为　 　．
三、解答题
8．（2024八下·杭州期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式．
（1）若与是关于6的美好二次根式，求的值：
（2）若与是关于的美好二次根式，求和的值．
9．（2024八下·镇海区期末）已知关于 的一元二次方程 ， 如果 满足 ， 我们就称这个一元二次方程为波浪方程.
（1） 判断方程 是否为波浪方程， 并说明理由.
（2）已知关于 的波浪方程 的一个根是 -1 ， 求这个波浪方程.
10．（2023八下·奉化期末）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形．
（1）矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）．
（2）如图在直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点．
①分别求出A、B两点的坐标．
②当四边形是平行四边形时，如图，请证明是勾股四边形．
（3）在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标．
11．（2024八下·嘉善期末）定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“幸运点”．例如：平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为，如图1，当最大时，若，则点P就是的“幸运点”．
【探究1】如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点P是的“幸运点”，请画出点P的位置；
【探究2】如图3，矩形中，对角线交于点O，，，若P是矩形上的一点，且点P是的“幸运点”，求的长；
【探究3】如图4，为等边三角形，过点A作的垂线，点D在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接．
①判断点A是否是的“幸运点”，并说明理由；
②若，，求的长．
12．（2024八下·西湖期末）在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且．
（1）四边形如图1所示，四边形是________（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；______（填“”或“”）；
（2）四边形如图2所示，且，四边形是_______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由．
（3）四边形如图3所示，若，，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得即，方程有两不相等的实根，则△>0，即1+8k>0，得
故答案为：A.
【分析】由新定义运算可得一元二次方程，有两个不相等的根，即可求出k的取值范围.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①解方程x2-3x+2=0
(x-2)(x-1)=0，
∴x-2=0或x-1=0，
解得，x1=2，x2=1，得，x1=2x2，
∴方程x2-3x+2=0是倍根方程，故①正确；
②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，x1=2，
因此x2=1或x2=4，
当x2=1时，m+n=0，
当x2=4时，4m+n=0，
∴4m2-5mn+n2=(m-n)(4m-n)≠0，故②错误；
③∵pq=2，则px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，
∴，x2=-q，
∴，
因此是倍根方程，故③正确；
④方程ax2+b+c=0的根为：
，
，
若x1=2x2，则
，
即
∴
∴，
∴，
∴9(b2-4ac)=b2，
∴2b2=9ac.
若2x1=x2时，则，
，
则，
∴
∴，
∴，
∴b2=9(b2-4ac)，
∴2b2=9ac，故④正确；
综上所述，正确的是①③④.
故答案为：D.
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足pq=2，则px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，求出两个根再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当x1=2x2，或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可.
3．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
解：
=
故答案为：.
【分析】根据公式：代入计算即可.
4．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可得：，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】先根据新定义运算，将转化为平常的一元二次方程，再求解.根的判别式：一元二次方程的根与系数有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
5．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：设，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设，可得，，利用完全平方公式依次求得，，，再求出 ．
6．【答案】或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图，，，
∵点是的中点，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如图，，，
过点作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案为或．
【分析】
①当四边形EFGH的另一个顶点G为CD中点，另外两个顶点H、F分别在AD和BC上，且AH=BF时，四边形EFGH是筝形，此时EG等于BC=7；
②当四边形EFGH的另一个顶点G不是CD中点，另外两个顶点H、F分别在AD和BC上，且EF=GF、EH=GH时，四边形EFGH也是筝形，此时可过点G作AB的垂线段GM，由于EF=GF=5，则BF=4、CF=3，CG=4、DG=2；由于可证四边形ADGM是矩形，则AM=DG=2、ME=1，利用勾股定理即可求得EG的长．
7．【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设与的交点为，连接，，
四边形是菱形，
，
，
，
的最小值为，
作点关于的对称点，延长交于点，连接，，，
，
，
的最小值为，
四边形是菱形，，
，
四边形是“完美菱形”，
∴菱形的边只能和较短对角线相等，
∵的边长为8，
，，
，，
，，
由对称性和菱形的性质，知，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，，可得，根据，可得的最小值，根据将军饮马模型构造出的最小值时的线段，再根据勾股定理解答即可．
8．【答案】（1）解：∵m与是关于6的美好二次根式，
∴m·=6，
解得：m=.
（2）解：∵与是关于n的美好二次根式，
∴()·()=n，
∴4-3m+(m-4)=n，
∵n是有理数，
∴，
解得：，．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（）根据美好二次根式的新定义可得关于m的方程，解方程即可求解；
（）根据美好二次根式的新定义可得关于m、n的方程组，解方程组即可求解.
9．【答案】（1）解：
故该方程是波浪方程
（2）解：由已知得：
解得 ，
这个波浪方程为
【知识点】判断是否为一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）先写出a，b，c，再计算，看是否为0即可
（2）先把x=-1代入方程得：a+2+c=0，再根据波浪方程的定义可得：3a-4+c=0，解出a，c即可.
10．【答案】（1）是
（2）解：①直线与双曲线相交于A，B两点，
联立，
解得：，，
当时，；当时，，
点A在第二象限，点B在第四象限，
点A的坐标为，点B的坐标为；
②证明：，，，
，，，
，
，△APB是直角三角形.
四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，
，
四边形是勾股四边形；
（3），或或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，
，，，
在和中，
，
，
矩形是勾股四边形，
故答案为：是；
（3）由（2）可知，，，，设点Q的坐标为，
①当时，，，如图，
，
解得：，
；
②当时，，，如图，
，
解得：，
；
③当时，，，如图，
，
解：，
，
④当时，过点A作AD⊥x轴交于点D，作AC//x轴，过点Q作CQ⊥x轴交AC于点C，如图，则C(x，3)，D(﹣2，0).
则，AD=3－0=3，，CQ=y－3，∠C=∠ADP=∠CAD=90°，
直线与x轴交于点E，
，
∵DE=1－（-2）=3=AD，
是等腰直角三角形，
，
∴∠BAC=45°=∠BAD.
∵，
∴AP=AQ，∠BAP=∠BAQ，
∴∠BAP－∠BAD=∠BAQ－∠BAC，即∠DAP=∠CAQ，
∴△DAP≌△CAQ(AAS).
∴AD=AC，PD=QC，
即x+2=3，1=y－3，
∴x=1，y=4.
，
⑤当时，∠APB=∠QPB=90°，故A，P，Q共线，组不成四边形，舍去.
综上所述，平面内还存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q点的坐标为或或或．
故答案为：或或或．
【分析】（1）根据矩形的性质证明全等三角形，即可得到答案；
（2）①联立直线与双曲线，求出和的值，即可得到点A和点B的坐标；
②先利用勾股定理的逆定理，得到，再利用平行四边形的性质，证明，进而即可证明结论；
（3）设点Q的坐标为，分情况讨论：①当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；②当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；③当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；④当时，过点A作AD⊥x轴交于点D，作AC//x轴，过点Q作CQ⊥x轴交AC于点C，则C(x，3)，D(﹣2，0)，表示出PD，AD，QC和AC的长，再证明是等腰直角三角形，最后利用AAS证明△DAP≌△CAQ，可得AD=AC，PD=QC，代入数据求得x和y的值，即可得到点Q的坐标.
11．【答案】解：【探究1】
如图，点P即为所求作：
理由如下：
连接，
，，，
∴，
∴格点P是的“幸运点”；
【探究2】
解：∵四边形ABCD是矩形，，，
∴CD=AB=2，OA=OC=OB=OD，∠BAD=∠ABC=90°.
∴.
∴OA=OD=2.
∵点P为AD上一点，
连接，，，过O作于H，如图所示，
∴
设AP=x，
则，
∴，，.
若点P离A近，
则
∵点P是的“幸运点”，
∴则，
∴，
整理，得，
解得（舍负）；
若点P离B近，
则
∵点P是的“幸运点”，
∴则，
∴，
整理，得，
解得，（舍）
综上，满足条件的的值为或；
【探究3】
①点A是的“幸运点”，理由如下：
连接，如图：
∵、均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴点A是的“幸运点”；
②由①中结论得，
∵，
∴，
∴，
过C作于H，如图所示：
∵，，
∴，
∴在，，
∴.
若点D在A的右下方，则DH=AH－AD=1.
∴；
若点D在A左上方时，如图，
则，
∴，
综上，的长为或．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】【探究1】根据网格特点，利用勾股定理，分别计算出PA2，PB2，PC2，结合题中定义即可得到点P的位置；
【探究2】先根据矩形的性质和边长计算出AC的长，继而的OA的长.连接，，，过O作于H，根据等腰三角形的性质可得AH的长，设AP=x，可表示出PD，PB，OH，PC的长；再分点P离A近和点P离B近两种情况分别表示出PO的长，结合题中定义列方程求解x值即可；
【探究3】①连接，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定推导出△BCD≌△ACE，得到，再在Rt△BAD中利用勾股定理，可证得，结合定义即可得结论；
②由①中结论得结合已知求得，过C作于H，利用含30度角的直角三角形的性质求得，.再分点D在A的右下方时和点D在A左上方时，计算出的DH的长，即可利用勾股定理求解DE的长．
12．【答案】（1）菱形；；
（2）解：同理可证，四边形是菱形，
，
菱形是正方形，
故答案为：正方形；
过点P作交于点M，交于点N，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由题意可知四边形是菱形，∴，
∴，
当E在C右侧时，如图：
，，
，
，
，
∵，
，
，
．
当E在B左侧时，如图∶
，，
，
，
，
∵，
，
，
，
当E在上时，第一种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
；
当E在上时，第二种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：设、相交于点F，
根据轴对称的性质可知，，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：菱形；；
【分析】（1）先证明四边形是菱形，得到，即可得到，进而求得，可以得到，然后利用三角形的内角和定理解题即可；
（2）先判断四边形是正方形，过点P作，由平行得到，再根据三线合一得到，利用轴对称可得，即可得到，求出解题即可；
（3）先根据SAS得到，然后分为E在C右侧，E在B左侧，E在上三种情况利用全等三角的判定和性质解答即可．
（1）解：设、相交于点F，
根据轴对称的性质可知，，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：菱形；；
（2）解：同理可证，四边形是菱形，
，
菱形是正方形，
故答案为：正方形；
过点P作交于点M，交于点N，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由题意可知四边形是菱形，
∴，
∴，
当E在C右侧时，如图：
，，
，
，
，
∵，
，
，
．
当E在B左侧时，如图∶
，，
，
，
，
∵，
，
，
，
当E在上时，第一种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
；
当E在上时，第二种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
．
1 / 1新定义型—浙江省八（下）数学期末复习
一、选择题
1．（2024八下·镇海区期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得即，方程有两不相等的实根，则△>0，即1+8k>0，得
故答案为：A.
【分析】由新定义运算可得一元二次方程，有两个不相等的根，即可求出k的取值范围.
2．（2025八下·诸暨期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是
①方程x2-3x+2=0是倍根方程；②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，则 4m2-5mn+n2=③若p、q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若关于x的方程ax2+b+c=0是倍根方程，则2b2=9ac．
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
【答案】D
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①解方程x2-3x+2=0
(x-2)(x-1)=0，
∴x-2=0或x-1=0，
解得，x1=2，x2=1，得，x1=2x2，
∴方程x2-3x+2=0是倍根方程，故①正确；
②若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程，x1=2，
因此x2=1或x2=4，
当x2=1时，m+n=0，
当x2=4时，4m+n=0，
∴4m2-5mn+n2=(m-n)(4m-n)≠0，故②错误；
③∵pq=2，则px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，
∴，x2=-q，
∴，
因此是倍根方程，故③正确；
④方程ax2+b+c=0的根为：
，
，
若x1=2x2，则
，
即
∴
∴，
∴，
∴9(b2-4ac)=b2，
∴2b2=9ac.
若2x1=x2时，则，
，
则，
∴
∴，
∴，
∴b2=9(b2-4ac)，
∴2b2=9ac，故④正确；
综上所述，正确的是①③④.
故答案为：D.
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足pq=2，则px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，求出两个根再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当x1=2x2，或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可.
二、填空题
3．（2024八下·越城期末） 定义运筫 “ *” 的运筫法则为： ， 其中 为非负实数， 且 ，则 　 　
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
解：
=
故答案为：.
【分析】根据公式：代入计算即可.
4．（2024八下·金东期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个相等实数根，则k的值为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可得：，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】先根据新定义运算，将转化为平常的一元二次方程，再求解.根的判别式：一元二次方程的根与系数有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
5．（2024八下·宁波期末）设表示不超过的最大整数．若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：设，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设，可得，，利用完全平方公式依次求得，，，再求出 ．
6．（2024八下·德清期末）定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形中，，“筝形”的顶点是的中点，点分别在上，且，则对角线的长　 　．
【答案】或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图，，，
∵点是的中点，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如图，，，
过点作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案为或．
【分析】
①当四边形EFGH的另一个顶点G为CD中点，另外两个顶点H、F分别在AD和BC上，且AH=BF时，四边形EFGH是筝形，此时EG等于BC=7；
②当四边形EFGH的另一个顶点G不是CD中点，另外两个顶点H、F分别在AD和BC上，且EF=GF、EH=GH时，四边形EFGH也是筝形，此时可过点G作AB的垂线段GM，由于EF=GF=5，则BF=4、CF=3，CG=4、DG=2；由于可证四边形ADGM是矩形，则AM=DG=2、ME=1，利用勾股定理即可求得EG的长．
7．（2024八下·宁波期中）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”的边长为是它的较短对角线，点分别是边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上的动点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设与的交点为，连接，，
四边形是菱形，
，
，
，
的最小值为，
作点关于的对称点，延长交于点，连接，，，
，
，
的最小值为，
四边形是菱形，，
，
四边形是“完美菱形”，
∴菱形的边只能和较短对角线相等，
∵的边长为8，
，，
，，
，，
由对称性和菱形的性质，知，
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，，可得，根据，可得的最小值，根据将军饮马模型构造出的最小值时的线段，再根据勾股定理解答即可．
三、解答题
8．（2024八下·杭州期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式．
（1）若与是关于6的美好二次根式，求的值：
（2）若与是关于的美好二次根式，求和的值．
【答案】（1）解：∵m与是关于6的美好二次根式，
∴m·=6，
解得：m=.
（2）解：∵与是关于n的美好二次根式，
∴()·()=n，
∴4-3m+(m-4)=n，
∵n是有理数，
∴，
解得：，．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（）根据美好二次根式的新定义可得关于m的方程，解方程即可求解；
（）根据美好二次根式的新定义可得关于m、n的方程组，解方程组即可求解.
9．（2024八下·镇海区期末）已知关于 的一元二次方程 ， 如果 满足 ， 我们就称这个一元二次方程为波浪方程.
（1） 判断方程 是否为波浪方程， 并说明理由.
（2）已知关于 的波浪方程 的一个根是 -1 ， 求这个波浪方程.
【答案】（1）解：
故该方程是波浪方程
（2）解：由已知得：
解得 ，
这个波浪方程为
【知识点】判断是否为一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）先写出a，b，c，再计算，看是否为0即可
（2）先把x=-1代入方程得：a+2+c=0，再根据波浪方程的定义可得：3a-4+c=0，解出a，c即可.
10．（2023八下·奉化期末）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形．
（1）矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）．
（2）如图在直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点．
①分别求出A、B两点的坐标．
②当四边形是平行四边形时，如图，请证明是勾股四边形．
（3）在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标．
【答案】（1）是
（2）解：①直线与双曲线相交于A，B两点，
联立，
解得：，，
当时，；当时，，
点A在第二象限，点B在第四象限，
点A的坐标为，点B的坐标为；
②证明：，，，
，，，
，
，△APB是直角三角形.
四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，
，
四边形是勾股四边形；
（3），或或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，
，，，
在和中，
，
，
矩形是勾股四边形，
故答案为：是；
（3）由（2）可知，，，，设点Q的坐标为，
①当时，，，如图，
，
解得：，
；
②当时，，，如图，
，
解得：，
；
③当时，，，如图，
，
解：，
，
④当时，过点A作AD⊥x轴交于点D，作AC//x轴，过点Q作CQ⊥x轴交AC于点C，如图，则C(x，3)，D(﹣2，0).
则，AD=3－0=3，，CQ=y－3，∠C=∠ADP=∠CAD=90°，
直线与x轴交于点E，
，
∵DE=1－（-2）=3=AD，
是等腰直角三角形，
，
∴∠BAC=45°=∠BAD.
∵，
∴AP=AQ，∠BAP=∠BAQ，
∴∠BAP－∠BAD=∠BAQ－∠BAC，即∠DAP=∠CAQ，
∴△DAP≌△CAQ(AAS).
∴AD=AC，PD=QC，
即x+2=3，1=y－3，
∴x=1，y=4.
，
⑤当时，∠APB=∠QPB=90°，故A，P，Q共线，组不成四边形，舍去.
综上所述，平面内还存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q点的坐标为或或或．
故答案为：或或或．
【分析】（1）根据矩形的性质证明全等三角形，即可得到答案；
（2）①联立直线与双曲线，求出和的值，即可得到点A和点B的坐标；
②先利用勾股定理的逆定理，得到，再利用平行四边形的性质，证明，进而即可证明结论；
（3）设点Q的坐标为，分情况讨论：①当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；②当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；③当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；④当时，过点A作AD⊥x轴交于点D，作AC//x轴，过点Q作CQ⊥x轴交AC于点C，则C(x，3)，D(﹣2，0)，表示出PD，AD，QC和AC的长，再证明是等腰直角三角形，最后利用AAS证明△DAP≌△CAQ，可得AD=AC，PD=QC，代入数据求得x和y的值，即可得到点Q的坐标.
11．（2024八下·嘉善期末）定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“幸运点”．例如：平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为，如图1，当最大时，若，则点P就是的“幸运点”．
【探究1】如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，若格点P是的“幸运点”，请画出点P的位置；
【探究2】如图3，矩形中，对角线交于点O，，，若P是矩形上的一点，且点P是的“幸运点”，求的长；
【探究3】如图4，为等边三角形，过点A作的垂线，点D在该垂线上，以为边在其右侧作等边，连接．
①判断点A是否是的“幸运点”，并说明理由；
②若，，求的长．
【答案】解：【探究1】
如图，点P即为所求作：
理由如下：
连接，
，，，
∴，
∴格点P是的“幸运点”；
【探究2】
解：∵四边形ABCD是矩形，，，
∴CD=AB=2，OA=OC=OB=OD，∠BAD=∠ABC=90°.
∴.
∴OA=OD=2.
∵点P为AD上一点，
连接，，，过O作于H，如图所示，
∴
设AP=x，
则，
∴，，.
若点P离A近，
则
∵点P是的“幸运点”，
∴则，
∴，
整理，得，
解得（舍负）；
若点P离B近，
则
∵点P是的“幸运点”，
∴则，
∴，
整理，得，
解得，（舍）
综上，满足条件的的值为或；
【探究3】
①点A是的“幸运点”，理由如下：
连接，如图：
∵、均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴点A是的“幸运点”；
②由①中结论得，
∵，
∴，
∴，
过C作于H，如图所示：
∵，，
∴，
∴在，，
∴.
若点D在A的右下方，则DH=AH－AD=1.
∴；
若点D在A左上方时，如图，
则，
∴，
综上，的长为或．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】【探究1】根据网格特点，利用勾股定理，分别计算出PA2，PB2，PC2，结合题中定义即可得到点P的位置；
【探究2】先根据矩形的性质和边长计算出AC的长，继而的OA的长.连接，，，过O作于H，根据等腰三角形的性质可得AH的长，设AP=x，可表示出PD，PB，OH，PC的长；再分点P离A近和点P离B近两种情况分别表示出PO的长，结合题中定义列方程求解x值即可；
【探究3】①连接，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定推导出△BCD≌△ACE，得到，再在Rt△BAD中利用勾股定理，可证得，结合定义即可得结论；
②由①中结论得结合已知求得，过C作于H，利用含30度角的直角三角形的性质求得，.再分点D在A的右下方时和点D在A左上方时，计算出的DH的长，即可利用勾股定理求解DE的长．
12．（2024八下·西湖期末）在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且．
（1）四边形如图1所示，四边形是________（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；______（填“”或“”）；
（2）四边形如图2所示，且，四边形是_______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由．
（3）四边形如图3所示，若，，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示）
【答案】（1）菱形；；
（2）解：同理可证，四边形是菱形，
，
菱形是正方形，
故答案为：正方形；
过点P作交于点M，交于点N，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由题意可知四边形是菱形，∴，
∴，
当E在C右侧时，如图：
，，
，
，
，
∵，
，
，
．
当E在B左侧时，如图∶
，，
，
，
，
∵，
，
，
，
当E在上时，第一种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
；
当E在上时，第二种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定与性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：设、相交于点F，
根据轴对称的性质可知，，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：菱形；；
【分析】（1）先证明四边形是菱形，得到，即可得到，进而求得，可以得到，然后利用三角形的内角和定理解题即可；
（2）先判断四边形是正方形，过点P作，由平行得到，再根据三线合一得到，利用轴对称可得，即可得到，求出解题即可；
（3）先根据SAS得到，然后分为E在C右侧，E在B左侧，E在上三种情况利用全等三角的判定和性质解答即可．
（1）解：设、相交于点F，
根据轴对称的性质可知，，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：菱形；；
（2）解：同理可证，四边形是菱形，
，
菱形是正方形，
故答案为：正方形；
过点P作交于点M，交于点N，
，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由题意可知四边形是菱形，
∴，
∴，
当E在C右侧时，如图：
，，
，
，
，
∵，
，
，
．
当E在B左侧时，如图∶
，，
，
，
，
∵，
，
，
，
当E在上时，第一种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
；
当E在上时，第二种情况，如图∶
，，
，
，
∵，
，
，
．
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