数学建模—浙江省八（下）数学期末复习
一、选择题
1． 研究发现， 近视眼镜的度数 (度) 与镜片焦距 (米)成反比例函数关系， 小明佩戴的 400 度近视眼镜片的焦距为 0.25 米，经过一段时间的矫正治疗，现在近视眼镜片焦距为 0.5 米，则小明的近视眼镜的度数调整为( )
A．200 度 B．250 度 C．300 度 D．500 度
2．（2024八下·乐清期中）若一个多边形的内角和与其外角和相等，则该多边形的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2025八下·龙泉期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系。每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆每增加1株，则平均每株的盈利减少0.5元。要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植株，则可以列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·慈溪期中）如图，用长为21m的栅栏围成一个面积为26m2的矩形花圃ABCD，为方便进出，在边AB上留有一个宽1m的小门EF，设AD的长为xm，根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·金东期末）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（ ）.
A． B．
C． D．
6．（2024八下·慈溪期中）已知关于x的方程a（x﹣m）x＝x﹣m有两个相等的实数根，若M＝a2﹣2am，，则M与N的关系正确的是（ ）
A．M+N＝2 B．M+N＝﹣2 C．2M+N＝0 D．M+N＝0
7．（2024八下·衢州期末）某个亮度可调节的台灯， 其灯光亮度的改变， 可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现。如图所示的是该台灯的电流 (A) 与电阻 的关系图象，该图象经过点 。根据图象可知， 下列说法正确的是 （ ）
A．当 时，
B． 与 的函数表达式是
C．当 时，
D．当 时， 则
8．某公园水上滑梯的侧面图如图所示， 其中 段可看成是一段反比例函数的图象， 建立如图的坐标系． 矩形 为向上攀爬的梯子， ， 进口 ， 且 ， 出口点 距水面的距离 为 ， 则 之间的水平距离 的长度为( )
A． B． C． D．
9．水果店销售某种水果， 根据以往的销售经验可知： 日销量 (千克)随售价 (元/千克)的变化规律符合某种函数关系． 该水果店以往的售价与日销量记录如下表． 与 的函数关系式可能是( )
售价 (元/千克) 10 15 20 25 30
日销量 (千克) 30 20 15 12 10
A． B． C． D．
10．（2024九上·定海开学考）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
D．在一个加热周期内水温不低于的时间为
二、填空题
11．（2024八下·浙江期中）已知5个正数的平均数是，且，则数据，的平均数是 ，中位数是
12．（2025八下·温州月考）某学校八年级有四个绿化小组，在植树节这天种下柏树的棵数如下：10，10，x，8.若这组数据的唯一众数和平均数相等，那么x= .
13．（2024八下·金东期末）如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为 ．
14．（2024八下·新昌期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米．
15．（2024八下·湖州期末）如图，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点处用一根细绳挂在支架上，在点的左侧固定位置处悬挂重物，在点的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与点的距离（单位：cm），观察弹簧测力计的示数（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下：
x（cm） … 10 15 20 25 30 …
y（N） … 30 20 15 15 10 …
其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是 ．
16．（2024八下·浙江期中）如图，中，，点为边上的中点，为边上的两个动点，且，则五边形的周长最小值为
三、解答题
17．（2025八下·温州月考）2024年3月23日是第64个世界气象日，主题是“气候行动最前线”，学校以此为主题开展了一系列活动，在活动后期进行了气象知识竞赛，并对竞赛成绩作出如表统计分析：
【收集数据】每班随机挑选10名同学的成绩（满分10分，成绩为整数），
【描述数据】绘制成如表不完整的统计图表，
乙班成绩频数分布表
6 5
7 2
8 1
9 1
10 1
【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示，
平均数 中位数 众数 方差
甲班 7.1 b 8 1.69
乙班 a 6.5 6 1.89
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2） a= ，b= .
（3）小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”观察上表可知，小明是 班的学生（填“甲”或“乙”）
（4）学校准备对成绩不低于8分的同学颁发一等奖，已知甲班有48人且乙班获得一等奖的人数比甲班少64%，试估计乙班班级人数.
18．（2024八下·瑞安期中）根据背景材料，探索问题．
清明果销售价格的探究
素材1 清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋．
素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元．
解决问题
任务1 若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋 元，销量是 袋．
任务2 ①经两周后还剩余清明果 袋．(用的代数式表示)
②若该超市想通过销售这批清明果获利元，那么第二周的单价每袋应是多少元？
19．（2024八下·西湖期末）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元．
（1）求2021年至2023年日租金的平均增长率．
（2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______辆车．
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益总租金各类费用)
20．（2024八下·德清期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒.如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒.（硬纸片厚度忽略不计）
（1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为 cm，宽为 cm；
（2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；
（3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长.
21．（2024八下·温州期末）综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量．
素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为时，冷柜运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升，到时，冷柜再次运行，如此循环．
素材2：冷柜内部温度与时间的关系如图2所示．
当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数．
链接：冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）．
任务1：求时，关于的函数表达式．
任务2：求该冷柜一天的耗电量．
22．（2024八下·上虞期末）电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．
（1）写出功率P关于电阻R的函数关系式．
（2）这个用电器功率的范围是多少？
23．（2024八下·西湖期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，．
（1）求关于的函数表达式．
（2）若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高．
（3）若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
24．（2024八下·杭州期中）如图1，在平行四边形中，为钝角，，分别为边，上的高，交边，于点，，连结，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，若，以点为原点建立平面直角坐标系，点坐标为，点为直线上一动点，当时，求出此时点的坐标．
25．（2025八下·鄞州期中）如图，一条河流的BD段长为12km，在B点的正北方4km处有一村庄A，在D点的正南方2km处有一村庄E，计划在BD上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小.请根据以上信息，回答下列问题：
（1）将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置；
（2）小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当x= 时，的值最小，且最小值为 ；
（3）结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值；
①的最小值 ；
②的最小值为 .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，将x=0.25，y=400代入可得，k=100，即，
∴ x=0.5时，y=200，即小明的近视眼镜的度数调整为200度.
故答案为：A.
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再将x=0.5代入求值即可求得.
2．【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则根据题意有：（n-2）×180°=360°，
解得：n=4
故答案为：B.
【分析】根据多边形的内角和：（n-2）×180°，与外角和：360°，相等，即可列出方程，解出即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
(3+x)(4-0.5x)=15，
故答案为：D.
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(4-0.5x)元，列出方程即可.
4．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵栅栏的总长度为21m，AD的长为xm，
∴CD的长为m.
根据题意得：.
故答案为：B.
【分析】根据栅栏的总长度及AD的长，可得出CD的长为m，结合矩形花圃ABCD的面积为26m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设矩形门宽为x尺，
可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设门宽为x尺，先用x表示出门的高度，再利用勾股定理及门的对角线长丈，可列出关于x的方程．
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程整理为ax2-(am+1)x+m=0，
由题意得：△=(am+1)2-4am=0，
∴(am-1)2=0，
∴am-1=0，
∴m=，
∴M=a2﹣2a·=a2﹣2，=4a·-a2=4-a2，
∴M+N=a2﹣2+4-a2=2.
故答案为：A .
【分析】将方程化为一般式ax2-(am+1)x+m=0，由题意得△=0，据此求m=，从而计算出M=a2﹣2，N=4-a2，然后消去a2即得M、N的关系.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】 解：设反比例函数的解析式为，
把点P坐标代入得：，
解得：k=220，
故函数解析式为：，B选项错误，不符合题意；
当I=0.2时，即，
解得：R=1100；A错误，不符合题意；
当R=500时，，
由图象知，当R＞500时，I＜0.44；C错误，不符合题意；
当R=880时，I=0.25；当R=1000时，，
故当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25；D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】先根据图象待定系数法求出反比例函数的解析式，再结合图象逐项分析即可求解.
8．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形AOEB是矩形，
∴AB=2，BE=OA=5，
∴B（2，5），
设双曲线BC的解析式为y=，
∴k=10，
∴y=，
∵CD为1，
∴当y=1时，x=10，
∴DE的长=10–2=8（米），
故答案为：D
【分析】先根据矩形的性质得到AB=2，BE=OA=5，进而得到点B的坐标，再根据待定系数法求出反比例函数的解析式，从而代入y=1求出x即可求解。
9．【答案】D
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：根据表格中的数据可得：日销售量与售价的乘积是一个定值300，
∴xy=300，
∴
故答案为：D.
【分析】利用表格中的数据可得：日销售量与售价的乘积是一个定值300，再直接求出函数关系即可.
10．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵开机加热时每分钟上升，
∴水温从加热到，所需时间为，故A选项正确，不符合题意；
设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意；
令，则，
∴，
∴从开机加热到水温降至需要，即一个循环为，
设加热过程中水温与通电时间的函数关系式为：，把代入得：，
解得：，
∴此时，
∴水温与通电时间的函数关系式为，
上午10点到共30分钟，，
∴当时，，
即此时的水温为，故C选项正确，不符合题意；
在加热过程中，水温为时，，
解得：，
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
∵，
∴一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法，将（4，100）代入，即可求解；由反比例函数解析式求出当水温下降到所需时间为，即一个循环为，则接通电源30分钟后，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别由加热过程和降温过程的解析式求出水温为的时间，计算时间差即可判断．
11．【答案】；
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵5个正数的平均数是，
即，
则，
故数据，的平均数是，
∵，
∴数据，的中位数是.
故答案为：；.
【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数可算出第一空的答案；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数进行计算即可求解.
12．【答案】12
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：由题意知：
解得：
故答案为：12.
【分析】因为样本中共有4个数据，由于只有一个众数且10出现的次数达到2次，则众数是10，由于平均数等于众数等于10，直接利用平均值计算公式即可.
13．【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图
∵图1中的正方形面积为4，
正方形边长为2，
直角三角形①中的长直角边为2，
，
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
【分析】先根据图1中正方形的面积，求出正方形的边长，再根据图2列出关于b的方程求解即可．
14．【答案】24
【知识点】勾股定理；一元二次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设两人走了秒，则：乙的路程为米，甲在北偏东某个方向走的路程为：米，
由题意，得：，
解得：或（舍去）；
∴乙的路程为米，
故答案为：24．
【分析】设两人走了秒，根据勾股定理列方程求出x的值即可．
15．【答案】25
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：观察表格数据知，与成反比例函数关系，设，则
当时，
故其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是25．
故答案为：25．
【分析】根据表格数据得到xy=300，然后得到不符合的一组值即可解题.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解： 过点F作FQ∥CG交BC于点Q，作点E关于直线AD的对称点P，连接FP，PQ，PA，PE，延长PE交BC于点M，如图：
则PF=EF，PA=AE，
又∵AF=AF，
∴△AFP≌△AFE，
∴∠PAF=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵FG∥CQ，FQ∥CG，
∴四边形CGFQ是平行四边形，
∴CQ=FG=1，FQ=CG，
五边形BCGFE的周长为BC+CG+GF+FE+EB=BC+FQ+FG+PF+BE，
在△PFQ中，FQ+PF＞PQ，
当P、F、Q三点共线时，五边形BCGFE的周长最小值为BC+FG+EB+PQ，
∵点E是AB的中点，∠B=45°，
∴，∠PAF=∠BAD=180°-45°=135°，
∴∠EAP=90°，
∴∠APE=∠AEP=∠BEM=45°， ，
∴∠PMB=∠PMQ=90°，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴，
故PM=PE+EM=3，
∵BQ=BC-CQ=5，QM=BQ-BM=4，
在Rt△PQM中，，
∴，
即五边形BCGFE的周长最小值为；
故答案为：.
【分析】 过点F作FQ∥CG交BC于点Q，作点E关于直线AD的对称点P，连接FP，PQ，PA，PE，延长PE交BC于点M，根据三条边分别对应相等的两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等可得∠PAF=∠EAF，根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等可得CQ=FG=1，FQ=CG，结合三角形三边关系可求得五边形BCGFE的周长最小值为BC+FG+EB+PQ，结合直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出EM和PQ的值，即可求解.
17．【答案】（1）
（2）7.1；7.5
（3）乙
（4）解：设乙班共有x人，则由题意知：
解方程得：
答：乙班大约有29人.
【知识点】一元一次方程的其他应用；条形统计图；平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）见解析；
（2）解：；
甲班的中位数为：；
（3）甲班的中位数为：，乙班的中位数为：，且小明的7分在中游偏上
小明应该在乙班.
【分析】（1）直接画出条形统计图即可；
（2）求乙班抽样人数的平均数，可借助加权平均值计算公式直接计算；求甲班抽样人数的中位数，由于成绩已按照从小到大的顺序排列，因为样本容量为10，则中位数等于第5名和第6名同学成绩的平均值；
（3）由于两班学生的平均成绩相等，因此可利用中位数来判断，显然甲班的中位数是7.5，乙班的中位数是6.5，则得到7分的小明同学在乙班的成绩相对靠前；
（4）观察条形统计图和频方分布图知，甲班获奖人数占全班人数的，乙班获奖人数占全班人数的，则乙班获奖人数为甲班获奖人数的，由题意列方程并解方程即可.
18．【答案】任务1：；；任务2：①；②第二周的单价每袋应是元
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1：∵每袋清明果每降价元，超市平均可多售出袋，
又设第二周单价为每袋降低元，
第二周的单价为元，销量是袋．
故答案为：；．
任务：①由题意，经两周后还剩余清明果为：
．
故答案为：．
②由题意得，第二周单价为每袋降低元，
．
或．
又第二周最低每袋要盈利元，
．
．
．
第二周的单价每袋应是．
答：第二周的单价每袋应是元．
【分析】
任务1：根据题意，由每袋清明果每降价元，超市平均可多售出袋，又设第二周单价为每袋降低元，根据第二周单价等于原单价-第二周单价每袋降低的钱数可将第二周的单价表示出来；根据销量等于降价前的销量+降价后增加的销量可将第二周的销售量用含x的代数式表示出来；
任务2：①根据题意，经两周后还剩余清明果为：，去括号、合并同类项即可求解；
②根据题意，由第二周单价为每袋降低元，从而可得关于x的方程，解方程求出的值，再结合第二周最低每袋要盈利元可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
19．【答案】（1）解：设年至年日租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得： (不符合题意，舍去)．
故2年至年日租金的平均增长率为；
（2）①；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当每辆汽车的日租金上涨或元时，该租赁公司的日收益可达元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）
解：①根据题意得：在每辆汽车日租金元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元，
实际能租出辆．
故答案为：，；
【分析】（1）设年至年日租金的平均增长率为，根据题意，列出关于的一元二次方程，解方程即可；
（2）①根据“每辆汽车的日租金每辆汽车日租金上涨的钱数”可得每辆汽车的日租金为元，根据“实际能租出的数量每辆汽车日租金上涨的钱数”可得实际能租出辆；
②根据日收益总租金各类费用，列出关于的一元二次方程，解方程即可求解.
（1）解：设年至年日租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得： (不符合题意，舍去)．
答：2年至年日租金的平均增长率为；
（2）①根据题意得：在每辆汽车日租金元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元，
实际能租出辆．
故答案为：，；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当每辆汽车的日租金上涨或元时，该租赁公司的日收益可达元．
20．【答案】（1）26；12
（2）解：设剪去的正方形的边长为，
则纸盒底面长方形的长为（30-2x）cm，宽为（16-2x）cm，
∴可列方程：，
解得，
当时，，所以不符合题意舍去，
答：剪去正方形的边长为3cm；
（3）解：设剪去的正方形的边长为.
根据题意可列方程为：，
解得(舍去)，，
答：剪去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得： 纸盒底面长方形的长=30-2-2=26（cm）；
宽=16-2-2=12（cm）；
故答案为：26；12；
【分析】（1）根据题意可得：纸盒底面长方形的长=原长方形的长-2×剪去的正方形的边长，宽=原长方形的宽-2×剪去的正方形的边长，代入计算即可求解；
（2）设剪去的正方形的边长为，结合（1）的结论并根据长方形的面积等于长方形的长×宽可列关于x的方程，解方程并检验可求解；
（3）设剪去的正方形的边长为，根据题意“ 折成的有盖长方体纸盒的表面积为”可列关于y的方程，解方程求出y的值，根据实际问题检验即可求解.
21．【答案】任务1：设时，关于的函数表达式为，将点代入，可得，
∴时，关于的函数表达式为；
任务2：当时，可有，解得，
∵冷柜每20分钟为一个循环，
∴每天共有循环个数：（个），
∴冷柜每天运行的时间为分钟，
∴每天耗电量为：（度）．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】任务1：利用待定系数法求函数解析式即可；
任务2：得到冷柜每20分钟为一个循环，然后求出循环次数即可得到运行时间，利用公式解题即可．
22．【答案】（1）解∶∵，
∴当时，．
（2）解：∵
把代入可得， ．
把代入可得：．
所以用电器功率的范围是．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将代入中，即可得P与 R的函数关系式为；
（2）根据R的范围，将R的最小值和最大值分别代入中，即可求出P的最大值和最小值，由此可得P的范围．
（1）解∶根据电学知识，当时，由得．
（2）解：将电阻的最小值代入， 得 ．
将电阻的最大值代入， 得．
所以用电器功率的范围是．
23．【答案】（1）解：由题意设：，
把，代入，得，
关于x的函数解析式为：；
（2）把代入，得，
∴火焰的像高为．
（3）时，
，
，
，
答：小孔到蜡烛的距离至少是．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）把代入反比例函数解析式求出y的值即可；
（3）根据题意得到，解不等式求出x的取值范围即可．
（1）解：由题意设：，
把，代入，得，
关于x的函数解析式为：；
（2）把代入，得，
∴火焰的像高为．
（3）时，
，
，
，
答：小孔到蜡烛的距离至少是．
24．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，分别为边，上的高，
，，
，
，
，
（2）证明：如图，延长，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
（3）解：分两种情况：
①如图，点在轴的上方，过点作轴于，
点坐标为，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
，
点的坐标为，；
如图，在轴的下方，过点作轴于，
由①可知：，直线的解析式为：，
当时，，
，
点的坐标为，；
综上，点的坐标为，或，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）若，则，则；因为则推导出已知条件，显然结论成立；
（2）若，即点为中点，因为，则延长交延长线于后，必有，则为斜边上的中线，则可推导到已知条件；
（3）求点的坐标，由于点在直线上，得先确定直线的解析式，由（1）（2）知，由于且，则有；由于已知，则为等腰直角三角形，且，即可确定直线的解析式；由于，可得点到轴的距离，由于点可能在轴上方，也可能在轴下方，所以点的纵坐标应该是一对相反数，分别代入到直线的解析式中即可求出点对应的横坐标．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，分别为边，上的高，
，，
，
，
，
；
（2）证明：如图，延长，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：分两种情况：
①如图，点在轴的上方，过点作轴于，
点坐标为，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
，
点的坐标为，；
如图，在轴的下方，过点作轴于，
由①可知：，直线的解析式为：，
当时，，
，
点的坐标为，；
综上，点的坐标为，或，．
25．【答案】（1）解：如图，连接AE交BD于点C'，点C'即为所作；
（2）8；km
（3）25；
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）过点A作AJ⊥ED交ED的延长线于点J，连接DC'，则四边形ABDJ是矩形；
∴AB=DJ=4km，AJ=BD=12km，则EJ=DE+DJ=6km，
∴，
∵AC+CE≥AE，
∴AC+CE的最小值为km，
设C'B=xkm，
∴，
解得x=8，
∴当x=8km时，AC+CE的值最小，最小值为km；
故答案为：8；km；
（3）①∵，
∴ 的最小值就是以24与7为直角边的直角三角形的斜边得长；
∴的最小值：
故答案为：25；
②∵
∴ 的最小值就是以6和9为直角边的直角三角形的斜边得长；
∴为直角边的直角三角形的斜边得长的最小值为.
故答案为：.
【分析】（1）根据两点之间线段最短，故连接AE，AE与BD的交点就是所求的点C的位置；
（2）过点A作AJ⊥ED交ED的延长线于点J，连接DC'，则四边形ABDJ是矩形；由矩形性质得AB=DJ=4km，AJ=BD=12km，则EJ=DE+DJ=6km，利用勾股定理算出AE，然后根据三角形三边关系得AC+CE≥AE，只有当C与C'重合即A、C、E三点共线的时候，AE最短，进而利用等面积法建立方程，求出x即可；
（3）①根据（1）（2）思路， 的最小值就是以24与7为直角边的直角三角形的斜边得长，从而根据勾股定理计算即可；
②根据（1）（2）思路， 的最小值就是以6和9为直角边的直角三角形的斜边得长，根据勾股定理计算即可.
1 / 1数学建模—浙江省八（下）数学期末复习
一、选择题
1． 研究发现， 近视眼镜的度数 (度) 与镜片焦距 (米)成反比例函数关系， 小明佩戴的 400 度近视眼镜片的焦距为 0.25 米，经过一段时间的矫正治疗，现在近视眼镜片焦距为 0.5 米，则小明的近视眼镜的度数调整为( )
A．200 度 B．250 度 C．300 度 D．500 度
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，将x=0.25，y=400代入可得，k=100，即，
∴ x=0.5时，y=200，即小明的近视眼镜的度数调整为200度.
故答案为：A.
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再将x=0.5代入求值即可求得.
2．（2024八下·乐清期中）若一个多边形的内角和与其外角和相等，则该多边形的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则根据题意有：（n-2）×180°=360°，
解得：n=4
故答案为：B.
【分析】根据多边形的内角和：（n-2）×180°，与外角和：360°，相等，即可列出方程，解出即可得出答案.
3．（2025八下·龙泉期中）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系。每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆每增加1株，则平均每株的盈利减少0.5元。要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植株，则可以列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
(3+x)(4-0.5x)=15，
故答案为：D.
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(4-0.5x)元，列出方程即可.
4．（2025八下·慈溪期中）如图，用长为21m的栅栏围成一个面积为26m2的矩形花圃ABCD，为方便进出，在边AB上留有一个宽1m的小门EF，设AD的长为xm，根据题意可得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵栅栏的总长度为21m，AD的长为xm，
∴CD的长为m.
根据题意得：.
故答案为：B.
【分析】根据栅栏的总长度及AD的长，可得出CD的长为m，结合矩形花圃ABCD的面积为26m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
5．（2024八下·金东期末）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是长方形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少（1丈尺，1尺寸）？设长方形门宽为x尺，则所列方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设矩形门宽为x尺，
可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设门宽为x尺，先用x表示出门的高度，再利用勾股定理及门的对角线长丈，可列出关于x的方程．
6．（2024八下·慈溪期中）已知关于x的方程a（x﹣m）x＝x﹣m有两个相等的实数根，若M＝a2﹣2am，，则M与N的关系正确的是（ ）
A．M+N＝2 B．M+N＝﹣2 C．2M+N＝0 D．M+N＝0
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：方程整理为ax2-(am+1)x+m=0，
由题意得：△=(am+1)2-4am=0，
∴(am-1)2=0，
∴am-1=0，
∴m=，
∴M=a2﹣2a·=a2﹣2，=4a·-a2=4-a2，
∴M+N=a2﹣2+4-a2=2.
故答案为：A .
【分析】将方程化为一般式ax2-(am+1)x+m=0，由题意得△=0，据此求m=，从而计算出M=a2﹣2，N=4-a2，然后消去a2即得M、N的关系.
7．（2024八下·衢州期末）某个亮度可调节的台灯， 其灯光亮度的改变， 可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现。如图所示的是该台灯的电流 (A) 与电阻 的关系图象，该图象经过点 。根据图象可知， 下列说法正确的是 （ ）
A．当 时，
B． 与 的函数表达式是
C．当 时，
D．当 时， 则
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】 解：设反比例函数的解析式为，
把点P坐标代入得：，
解得：k=220，
故函数解析式为：，B选项错误，不符合题意；
当I=0.2时，即，
解得：R=1100；A错误，不符合题意；
当R=500时，，
由图象知，当R＞500时，I＜0.44；C错误，不符合题意；
当R=880时，I=0.25；当R=1000时，，
故当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25；D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】先根据图象待定系数法求出反比例函数的解析式，再结合图象逐项分析即可求解.
8．某公园水上滑梯的侧面图如图所示， 其中 段可看成是一段反比例函数的图象， 建立如图的坐标系． 矩形 为向上攀爬的梯子， ， 进口 ， 且 ， 出口点 距水面的距离 为 ， 则 之间的水平距离 的长度为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形AOEB是矩形，
∴AB=2，BE=OA=5，
∴B（2，5），
设双曲线BC的解析式为y=，
∴k=10，
∴y=，
∵CD为1，
∴当y=1时，x=10，
∴DE的长=10–2=8（米），
故答案为：D
【分析】先根据矩形的性质得到AB=2，BE=OA=5，进而得到点B的坐标，再根据待定系数法求出反比例函数的解析式，从而代入y=1求出x即可求解。
9．水果店销售某种水果， 根据以往的销售经验可知： 日销量 (千克)随售价 (元/千克)的变化规律符合某种函数关系． 该水果店以往的售价与日销量记录如下表． 与 的函数关系式可能是( )
售价 (元/千克) 10 15 20 25 30
日销量 (千克) 30 20 15 12 10
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：根据表格中的数据可得：日销售量与售价的乘积是一个定值300，
∴xy=300，
∴
故答案为：D.
【分析】利用表格中的数据可得：日销售量与售价的乘积是一个定值300，再直接求出函数关系即可.
10．（2024九上·定海开学考）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水
D．在一个加热周期内水温不低于的时间为
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵开机加热时每分钟上升，
∴水温从加热到，所需时间为，故A选项正确，不符合题意；
设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意；
令，则，
∴，
∴从开机加热到水温降至需要，即一个循环为，
设加热过程中水温与通电时间的函数关系式为：，把代入得：，
解得：，
∴此时，
∴水温与通电时间的函数关系式为，
上午10点到共30分钟，，
∴当时，，
即此时的水温为，故C选项正确，不符合题意；
在加热过程中，水温为时，，
解得：，
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
∵，
∴一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法，将（4，100）代入，即可求解；由反比例函数解析式求出当水温下降到所需时间为，即一个循环为，则接通电源30分钟后，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别由加热过程和降温过程的解析式求出水温为的时间，计算时间差即可判断．
二、填空题
11．（2024八下·浙江期中）已知5个正数的平均数是，且，则数据，的平均数是 ，中位数是
【答案】；
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵5个正数的平均数是，
即，
则，
故数据，的平均数是，
∵，
∴数据，的中位数是.
故答案为：；.
【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数可算出第一空的答案；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数进行计算即可求解.
12．（2025八下·温州月考）某学校八年级有四个绿化小组，在植树节这天种下柏树的棵数如下：10，10，x，8.若这组数据的唯一众数和平均数相等，那么x= .
【答案】12
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：由题意知：
解得：
故答案为：12.
【分析】因为样本中共有4个数据，由于只有一个众数且10出现的次数达到2次，则众数是10，由于平均数等于众数等于10，直接利用平均值计算公式即可.
13．（2024八下·金东期末）如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图
∵图1中的正方形面积为4，
正方形边长为2，
直角三角形①中的长直角边为2，
，
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
【分析】先根据图1中正方形的面积，求出正方形的边长，再根据图2列出关于b的方程求解即可．
14．（2024八下·新昌期末）甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米．
【答案】24
【知识点】勾股定理；一元二次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设两人走了秒，则：乙的路程为米，甲在北偏东某个方向走的路程为：米，
由题意，得：，
解得：或（舍去）；
∴乙的路程为米，
故答案为：24．
【分析】设两人走了秒，根据勾股定理列方程求出x的值即可．
15．（2024八下·湖州期末）如图，小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点处用一根细绳挂在支架上，在点的左侧固定位置处悬挂重物，在点的右侧用一个弹簧测力计向下拉木杆，使木杆达到平衡（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与点的距离（单位：cm），观察弹簧测力计的示数（单位：N）的变化情况，实验数据记录如下：
x（cm） … 10 15 20 25 30 …
y（N） … 30 20 15 15 10 …
其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是 ．
【答案】25
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：观察表格数据知，与成反比例函数关系，设，则
当时，
故其中有一组数据记录错了，这组数据对应的是25．
故答案为：25．
【分析】根据表格数据得到xy=300，然后得到不符合的一组值即可解题.
16．（2024八下·浙江期中）如图，中，，点为边上的中点，为边上的两个动点，且，则五边形的周长最小值为
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解： 过点F作FQ∥CG交BC于点Q，作点E关于直线AD的对称点P，连接FP，PQ，PA，PE，延长PE交BC于点M，如图：
则PF=EF，PA=AE，
又∵AF=AF，
∴△AFP≌△AFE，
∴∠PAF=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵FG∥CQ，FQ∥CG，
∴四边形CGFQ是平行四边形，
∴CQ=FG=1，FQ=CG，
五边形BCGFE的周长为BC+CG+GF+FE+EB=BC+FQ+FG+PF+BE，
在△PFQ中，FQ+PF＞PQ，
当P、F、Q三点共线时，五边形BCGFE的周长最小值为BC+FG+EB+PQ，
∵点E是AB的中点，∠B=45°，
∴，∠PAF=∠BAD=180°-45°=135°，
∴∠EAP=90°，
∴∠APE=∠AEP=∠BEM=45°， ，
∴∠PMB=∠PMQ=90°，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴，
故PM=PE+EM=3，
∵BQ=BC-CQ=5，QM=BQ-BM=4，
在Rt△PQM中，，
∴，
即五边形BCGFE的周长最小值为；
故答案为：.
【分析】 过点F作FQ∥CG交BC于点Q，作点E关于直线AD的对称点P，连接FP，PQ，PA，PE，延长PE交BC于点M，根据三条边分别对应相等的两个三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等可得∠PAF=∠EAF，根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等可得CQ=FG=1，FQ=CG，结合三角形三边关系可求得五边形BCGFE的周长最小值为BC+FG+EB+PQ，结合直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出EM和PQ的值，即可求解.
三、解答题
17．（2025八下·温州月考）2024年3月23日是第64个世界气象日，主题是“气候行动最前线”，学校以此为主题开展了一系列活动，在活动后期进行了气象知识竞赛，并对竞赛成绩作出如表统计分析：
【收集数据】每班随机挑选10名同学的成绩（满分10分，成绩为整数），
【描述数据】绘制成如表不完整的统计图表，
乙班成绩频数分布表
6 5
7 2
8 1
9 1
10 1
【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示，
平均数 中位数 众数 方差
甲班 7.1 b 8 1.69
乙班 a 6.5 6 1.89
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2） a= ，b= .
（3）小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”观察上表可知，小明是 班的学生（填“甲”或“乙”）
（4）学校准备对成绩不低于8分的同学颁发一等奖，已知甲班有48人且乙班获得一等奖的人数比甲班少64%，试估计乙班班级人数.
【答案】（1）
（2）7.1；7.5
（3）乙
（4）解：设乙班共有x人，则由题意知：
解方程得：
答：乙班大约有29人.
【知识点】一元一次方程的其他应用；条形统计图；平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）见解析；
（2）解：；
甲班的中位数为：；
（3）甲班的中位数为：，乙班的中位数为：，且小明的7分在中游偏上
小明应该在乙班.
【分析】（1）直接画出条形统计图即可；
（2）求乙班抽样人数的平均数，可借助加权平均值计算公式直接计算；求甲班抽样人数的中位数，由于成绩已按照从小到大的顺序排列，因为样本容量为10，则中位数等于第5名和第6名同学成绩的平均值；
（3）由于两班学生的平均成绩相等，因此可利用中位数来判断，显然甲班的中位数是7.5，乙班的中位数是6.5，则得到7分的小明同学在乙班的成绩相对靠前；
（4）观察条形统计图和频方分布图知，甲班获奖人数占全班人数的，乙班获奖人数占全班人数的，则乙班获奖人数为甲班获奖人数的，由题意列方程并解方程即可.
18．（2024八下·瑞安期中）根据背景材料，探索问题．
清明果销售价格的探究
素材1 清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋．
素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元．
解决问题
任务1 若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋 元，销量是 袋．
任务2 ①经两周后还剩余清明果 袋．(用的代数式表示)
②若该超市想通过销售这批清明果获利元，那么第二周的单价每袋应是多少元？
【答案】任务1：；；任务2：①；②第二周的单价每袋应是元
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：任务1：∵每袋清明果每降价元，超市平均可多售出袋，
又设第二周单价为每袋降低元，
第二周的单价为元，销量是袋．
故答案为：；．
任务：①由题意，经两周后还剩余清明果为：
．
故答案为：．
②由题意得，第二周单价为每袋降低元，
．
或．
又第二周最低每袋要盈利元，
．
．
．
第二周的单价每袋应是．
答：第二周的单价每袋应是元．
【分析】
任务1：根据题意，由每袋清明果每降价元，超市平均可多售出袋，又设第二周单价为每袋降低元，根据第二周单价等于原单价-第二周单价每袋降低的钱数可将第二周的单价表示出来；根据销量等于降价前的销量+降价后增加的销量可将第二周的销售量用含x的代数式表示出来；
任务2：①根据题意，经两周后还剩余清明果为：，去括号、合并同类项即可求解；
②根据题意，由第二周单价为每袋降低元，从而可得关于x的方程，解方程求出的值，再结合第二周最低每袋要盈利元可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
19．（2024八下·西湖期末）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元．
（1）求2021年至2023年日租金的平均增长率．
（2）经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______辆车．
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益总租金各类费用)
【答案】（1）解：设年至年日租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得： (不符合题意，舍去)．
故2年至年日租金的平均增长率为；
（2）①；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当每辆汽车的日租金上涨或元时，该租赁公司的日收益可达元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）
解：①根据题意得：在每辆汽车日租金元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元，
实际能租出辆．
故答案为：，；
【分析】（1）设年至年日租金的平均增长率为，根据题意，列出关于的一元二次方程，解方程即可；
（2）①根据“每辆汽车的日租金每辆汽车日租金上涨的钱数”可得每辆汽车的日租金为元，根据“实际能租出的数量每辆汽车日租金上涨的钱数”可得实际能租出辆；
②根据日收益总租金各类费用，列出关于的一元二次方程，解方程即可求解.
（1）解：设年至年日租金的平均增长率为，
根据题意得：，
解得： (不符合题意，舍去)．
答：2年至年日租金的平均增长率为；
（2）①根据题意得：在每辆汽车日租金元的基础上，设上涨元，则每辆汽车的日租金为元，
实际能租出辆．
故答案为：，；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当每辆汽车的日租金上涨或元时，该租赁公司的日收益可达元．
20．（2024八下·德清期末）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒.如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒.（硬纸片厚度忽略不计）
（1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为 cm，宽为 cm；
（2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；
（3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长.
【答案】（1）26；12
（2）解：设剪去的正方形的边长为，
则纸盒底面长方形的长为（30-2x）cm，宽为（16-2x）cm，
∴可列方程：，
解得，
当时，，所以不符合题意舍去，
答：剪去正方形的边长为3cm；
（3）解：设剪去的正方形的边长为.
根据题意可列方程为：，
解得(舍去)，，
答：剪去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意可得： 纸盒底面长方形的长=30-2-2=26（cm）；
宽=16-2-2=12（cm）；
故答案为：26；12；
【分析】（1）根据题意可得：纸盒底面长方形的长=原长方形的长-2×剪去的正方形的边长，宽=原长方形的宽-2×剪去的正方形的边长，代入计算即可求解；
（2）设剪去的正方形的边长为，结合（1）的结论并根据长方形的面积等于长方形的长×宽可列关于x的方程，解方程并检验可求解；
（3）设剪去的正方形的边长为，根据题意“ 折成的有盖长方体纸盒的表面积为”可列关于y的方程，解方程求出y的值，根据实际问题检验即可求解.
21．（2024八下·温州期末）综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量．
素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为时，冷柜运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升，到时，冷柜再次运行，如此循环．
素材2：冷柜内部温度与时间的关系如图2所示．
当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数．
链接：冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）．
任务1：求时，关于的函数表达式．
任务2：求该冷柜一天的耗电量．
【答案】任务1：设时，关于的函数表达式为，将点代入，可得，
∴时，关于的函数表达式为；
任务2：当时，可有，解得，
∵冷柜每20分钟为一个循环，
∴每天共有循环个数：（个），
∴冷柜每天运行的时间为分钟，
∴每天耗电量为：（度）．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】任务1：利用待定系数法求函数解析式即可；
任务2：得到冷柜每20分钟为一个循环，然后求出循环次数即可得到运行时间，利用公式解题即可．
22．（2024八下·上虞期末）电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．
（1）写出功率P关于电阻R的函数关系式．
（2）这个用电器功率的范围是多少？
【答案】（1）解∶∵，
∴当时，．
（2）解：∵
把代入可得， ．
把代入可得：．
所以用电器功率的范围是．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将代入中，即可得P与 R的函数关系式为；
（2）根据R的范围，将R的最小值和最大值分别代入中，即可求出P的最大值和最小值，由此可得P的范围．
（1）解∶根据电学知识，当时，由得．
（2）解：将电阻的最小值代入， 得 ．
将电阻的最大值代入， 得．
所以用电器功率的范围是．
23．（2024八下·西湖期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，．
（1）求关于的函数表达式．
（2）若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高．
（3）若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
【答案】（1）解：由题意设：，
把，代入，得，
关于x的函数解析式为：；
（2）把代入，得，
∴火焰的像高为．
（3）时，
，
，
，
答：小孔到蜡烛的距离至少是．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）把代入反比例函数解析式求出y的值即可；
（3）根据题意得到，解不等式求出x的取值范围即可．
（1）解：由题意设：，
把，代入，得，
关于x的函数解析式为：；
（2）把代入，得，
∴火焰的像高为．
（3）时，
，
，
，
答：小孔到蜡烛的距离至少是．
24．（2024八下·杭州期中）如图1，在平行四边形中，为钝角，，分别为边，上的高，交边，于点，，连结，．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，若，以点为原点建立平面直角坐标系，点坐标为，点为直线上一动点，当时，求出此时点的坐标．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，分别为边，上的高，
，，
，
，
，
（2）证明：如图，延长，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
（3）解：分两种情况：
①如图，点在轴的上方，过点作轴于，
点坐标为，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
，
点的坐标为，；
如图，在轴的下方，过点作轴于，
由①可知：，直线的解析式为：，
当时，，
，
点的坐标为，；
综上，点的坐标为，或，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）若，则，则；因为则推导出已知条件，显然结论成立；
（2）若，即点为中点，因为，则延长交延长线于后，必有，则为斜边上的中线，则可推导到已知条件；
（3）求点的坐标，由于点在直线上，得先确定直线的解析式，由（1）（2）知，由于且，则有；由于已知，则为等腰直角三角形，且，即可确定直线的解析式；由于，可得点到轴的距离，由于点可能在轴上方，也可能在轴下方，所以点的纵坐标应该是一对相反数，分别代入到直线的解析式中即可求出点对应的横坐标．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，分别为边，上的高，
，，
，
，
，
；
（2）证明：如图，延长，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：分两种情况：
①如图，点在轴的上方，过点作轴于，
点坐标为，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
，
点的坐标为，；
如图，在轴的下方，过点作轴于，
由①可知：，直线的解析式为：，
当时，，
，
点的坐标为，；
综上，点的坐标为，或，．
25．（2025八下·鄞州期中）如图，一条河流的BD段长为12km，在B点的正北方4km处有一村庄A，在D点的正南方2km处有一村庄E，计划在BD上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小.请根据以上信息，回答下列问题：
（1）将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置；
（2）小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当x= 时，的值最小，且最小值为 ；
（3）结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值；
①的最小值 ；
②的最小值为 .
【答案】（1）解：如图，连接AE交BD于点C'，点C'即为所作；
（2）8；km
（3）25；
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）过点A作AJ⊥ED交ED的延长线于点J，连接DC'，则四边形ABDJ是矩形；
∴AB=DJ=4km，AJ=BD=12km，则EJ=DE+DJ=6km，
∴，
∵AC+CE≥AE，
∴AC+CE的最小值为km，
设C'B=xkm，
∴，
解得x=8，
∴当x=8km时，AC+CE的值最小，最小值为km；
故答案为：8；km；
（3）①∵，
∴ 的最小值就是以24与7为直角边的直角三角形的斜边得长；
∴的最小值：
故答案为：25；
②∵
∴ 的最小值就是以6和9为直角边的直角三角形的斜边得长；
∴为直角边的直角三角形的斜边得长的最小值为.
故答案为：.
【分析】（1）根据两点之间线段最短，故连接AE，AE与BD的交点就是所求的点C的位置；
（2）过点A作AJ⊥ED交ED的延长线于点J，连接DC'，则四边形ABDJ是矩形；由矩形性质得AB=DJ=4km，AJ=BD=12km，则EJ=DE+DJ=6km，利用勾股定理算出AE，然后根据三角形三边关系得AC+CE≥AE，只有当C与C'重合即A、C、E三点共线的时候，AE最短，进而利用等面积法建立方程，求出x即可；
（3）①根据（1）（2）思路， 的最小值就是以24与7为直角边的直角三角形的斜边得长，从而根据勾股定理计算即可；
②根据（1）（2）思路， 的最小值就是以6和9为直角边的直角三角形的斜边得长，根据勾股定理计算即可.
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