推理作图—浙江省八（下）数学期末复习
一、解答题
1．（2024八下·宁波期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
（1）如图1，画一个以 为边的平行四边形．
（2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形．
（3）如图3，画一个以 为对角线，且面积为7的平行四边形．
【答案】（1）解：如图1所示，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴平行四边形即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图2所示，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴平行四边形即为所求（答案不唯一）；
（3）解：如图3所示，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形的面积，
∴菱形即为所求（答案不唯一）．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质直接作图；
（2）以为边，作底边为4的平行四边形；
（3）根据平行四边形的性质取格点M，N，连接作图．
2．（2024八下·三门期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上．
（1）请用无刻度的直尺分别画出的中点E，F；（保留作图痕迹）
（2）求的长度．
【答案】（1）解：如图所示，连接AC交BD于F，取格点H，连接DH交AC于O，连接BO并延长交AD于E，则E、F即为所求；
（2）解：由网格的特点和勾股定理可得，
∵DA、DB的中点分别为E，F，
∴是△ABD的中位线，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）如图所示，由平行四边形的对角线互相平分可得连接AC交BD于F；利用方格纸的特点AB的中点H，连接DH交AC于O，可得点O是三角形ABD的重心，根据三角形重心定义，连接BO并延长交AD于E，则E、F即为所求；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理求出AB的长，则由三角形中位线等于第三边的一半可得．
（1）解：如图所示，连接交于F，取格点H，连接交于O，连接并延长交于E，则E、F即为所求；
（2）解：由网格的特点和勾股定理可得，
∵的中点分别为E，F，
∴是的中位线，
∴．
3．（2024八下·路桥期末）如图，在小正方形网格中，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图．
（1）在图1中，过点作的平行线，使得：
（2）在图2中，找出格点，，画出正方形．
【答案】（1）解：如图所示，BD即为所求；
（2）解：如图所示，正方形BCEF即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，找出点C向下平移4个单位长度后的对应点D，然后连接BD即可；
（2）利用方格纸的特点及正方形的性质“四条边都相等，四个角都是直角”，将点B、C都向下平移4个单位，再向右平移一个单位得到其对应点F、E，然后顺次连接B、F、E、C即可.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，正方形即为所求
4．（2024八下·丽水期末）如图，在中，，，将补成一个矩形，使的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形的另一边上．
（1）请用三角板画出一个矩形的示意图．
（2）若，求出你所画矩形的面积．
【答案】（1）解：如图，矩形即为所求；
（2）解：过点作于点，
，，
，
的面积，
所画矩形的面积倍的的面积．
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用三角板即可画出符合题意的矩形；
（2）作BF⊥AC于F，根据含30°角的直角三角形的性质求出BF，再求出三角形ABC的面积，进而即可得出答案．
5．（2024八下·德清期末）如图是由的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都是格点，是BC上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线。
（1）直接写出边AC的长= ；
（2）在图中画格点，使四边形ACBD是平行四边形；再在线段AD上画点，使.
【答案】（1）
（2）解：如图，
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）由图和勾股定理可得：AC=.
故答案为：.
【分析】（1）由网格图的特征和勾股定理计算可求解；
（2）根据网格图的特征平行四边形的性质可求解.
6．（2024八下·温州期末）如图，在等腰中，．
（1）用直尺和圆规在平面上作点，使得，，，为顶点的四边形是菱形，并作出这个菱形.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求（1）中所作菱形对角线的长．
【答案】（1）解：如图：
（2）解：记，交于点，
四边形是菱形则，
∴，
．
【知识点】勾股定理的证明；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）作的角平分线，交于点，截取，连结，，四边形为所求菱形．
（2）记，交于点，根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出AE长解题即可．
7．（2024八下·金华期末）如图，在的正方形网格中，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请按要求在答题卷上作出符合条件的四边形.
要求：
（1）在图1中作以AB为一边的平行四边形ABCD，在图2中作以AB为一边的菱形ABEF，在图3中作以AB为一边的矩形ABMN；
（2）图1，图2，图3所作的四边形互不全等，且顶点均在小正方形的顶点上.
【答案】解：如图，
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】 利用方格纸的特点及平行四边形的对边平行且相等、菱形的四边相等、矩形的四个角都是直角，分别按题目要求作出图形即可.
8．（2024八下·鄞州期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①、图②中，以线段为对角线，分别画一个平行四边形和矩形．（要求两个四边形不全等）
（2）在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
【答案】（1）解：如图①中，平行四边形即为所求（答案不唯一）．如图②中，矩形即为所求；
（2）解：如图③，正方形即为所求．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形、矩形的判定作图即可；
（2）利用正方形的定义作图即可．
9．（2024八下·金东期末）如图，在的正方形网格中，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求在答题卷上作出符合条件的四边形．
要求：
①在图1中作以为一边的平行四边形，在图2中作以AB为一边的菱形，在图3中作以AB为一边的矩形；
②图1，图2，图3所作的四边形互不全等，且顶点均在小正方形的顶点上．
【答案】解：图形如图所示：
由图1可知，
四边形为平行四边形；
由图2根据勾股定理得
四边形为菱形；
连接、交于点O
根据勾股定理得
四边形为矩形.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定以及要求作出图形．
10．（2024八下·慈溪期末）如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，请按下列要求画出格点四边形（顶点均为小正方形的顶点）．
（1）在图1中画一个以为边的四边形，且该四边形为中心对称图形；
（2）在图2中画一个以为边，面积为8的菱形．
【答案】（1）解：如图，四边形即为所作．
（2）解：如图，菱形即为所作．
【知识点】勾股定理；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）结合网格和勾股定理，画出正方形即可得；
（2）结合网格和勾股定理，画出菱形即可得．
（1）解：如图，四边形即为所作．
（2）解：如图，菱形即为所作．
11．（2024八下·浦江期末）（1）如图1，直线，点在直线上，点在直线上，直接写出和的面积关系．
（2）把图2的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，保留作图痕迹．
（3）如图3，在中，分别是上任意一点，连接分别是、的中点，求证：．
【答案】（1）相等；
（2）解：如图所示
（3）证明：如图，取的中点，连接，，
是的中点，是的中点
∴
【知识点】平行线之间的距离；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）∵，它们边上的高线长都等于与之间的距离
（2）如图（作法不唯一）
【分析】
（1）由于平行线间的距离，因此两三角形同底等高，面积相等；
（2）连接，过点作交的延长线于点，即为所求；
（3）如图，取的中点，连接，，，由三角形中位线定理可得DN//BC，则；同理，故结论成立．
12．（2024八下·苍南期末）如图是由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，顶点称为这个矩形网格的格点，请按要求在矩形网格中画格点四边形．
（1）在图1中画出一个以为对角线的平行四边形．
（2）若小长方形的宽为1，请在图2中画出一个边长为的菱形．
【答案】（1）解：如图，取格点，连接，则四边形为平行四边形，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，
，，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：延长交矩形网格于，取格点，依次连接得到四边形，则四边形为所求作菱形，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，小长方形的宽为1，
小长方形的长为3，，，
，
四边形是边长为的菱形．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）取格点，连接，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形；
（2）取格点，依次连接得到四边形，再利用矩形的性质，勾股定理可求得四边形四条边都是，然后根据四条边相等的四边形是菱形，可得四边形为所求作菱形.
（1）解：如图，取格点，连接，则四边形为平行四边形，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，
，，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：取格点，依次连接得到四边形，则四边形为所求作菱形，
延长交矩形网格于，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，小长方形的宽为1；
小长方形的长为3，，，
，
四边形是边长为的菱形．
13．（2024八下·萧山月考）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1，请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个以为边，另一边边长为的．
（2）在图2中画一个以为边，面积为8的菱形．
【答案】（1）解：∵边长为，∴横着占2个网格，竖着占1个网格，如图所示，答案不唯一，
（2）解：根据菱形4条边相等画出4条边长，使之面积为8；
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由于要求边长为，由勾股定理知该边与网格线围成一个两直角边长分别为1和2直角三角形，据此可先分别确定出顶点C、D，然后画出即可；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，且菱形的面积等于两对角线乘积的一半，因为其一条边AB的位置已确定，可把A、B两点分别放到边长为4和2的正方形中，且使线段AC和BD分别是这两个正方形的对角线，而且线段AC和BD互相垂直平分，此时由勾股定理可求出AC等于、BD等于，则面积恰好符合要求．
（1）解：∵边长为，
∴横着占2个网格，竖着占1个网格，如图所示，答案不唯一，
（2）解：根据菱形4条边相等画出4条边长，使之面积为8；
1 / 1推理作图—浙江省八（下）数学期末复习
一、解答题
1．（2024八下·宁波期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长都是1，每个顶点称为格点．线段的端点都在格点上．按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上．
（1）如图1，画一个以 为边的平行四边形．
（2）如图2，画一个以为边，且面积为12的平行四边形．
（3）如图3，画一个以 为对角线，且面积为7的平行四边形．
2．（2024八下·三门期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上．
（1）请用无刻度的直尺分别画出的中点E，F；（保留作图痕迹）
（2）求的长度．
3．（2024八下·路桥期末）如图，在小正方形网格中，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图．
（1）在图1中，过点作的平行线，使得：
（2）在图2中，找出格点，，画出正方形．
4．（2024八下·丽水期末）如图，在中，，，将补成一个矩形，使的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形的另一边上．
（1）请用三角板画出一个矩形的示意图．
（2）若，求出你所画矩形的面积．
5．（2024八下·德清期末）如图是由的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都是格点，是BC上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线。
（1）直接写出边AC的长= ；
（2）在图中画格点，使四边形ACBD是平行四边形；再在线段AD上画点，使.
6．（2024八下·温州期末）如图，在等腰中，．
（1）用直尺和圆规在平面上作点，使得，，，为顶点的四边形是菱形，并作出这个菱形.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若，，求（1）中所作菱形对角线的长．
7．（2024八下·金华期末）如图，在的正方形网格中，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请按要求在答题卷上作出符合条件的四边形.
要求：
（1）在图1中作以AB为一边的平行四边形ABCD，在图2中作以AB为一边的菱形ABEF，在图3中作以AB为一边的矩形ABMN；
（2）图1，图2，图3所作的四边形互不全等，且顶点均在小正方形的顶点上.
8．（2024八下·鄞州期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①、图②中，以线段为对角线，分别画一个平行四边形和矩形．（要求两个四边形不全等）
（2）在图③中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
9．（2024八下·金东期末）如图，在的正方形网格中，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求在答题卷上作出符合条件的四边形．
要求：
①在图1中作以为一边的平行四边形，在图2中作以AB为一边的菱形，在图3中作以AB为一边的矩形；
②图1，图2，图3所作的四边形互不全等，且顶点均在小正方形的顶点上．
10．（2024八下·慈溪期末）如图，在的方格中，每个小正方形的边长为1，请按下列要求画出格点四边形（顶点均为小正方形的顶点）．
（1）在图1中画一个以为边的四边形，且该四边形为中心对称图形；
（2）在图2中画一个以为边，面积为8的菱形．
11．（2024八下·浦江期末）（1）如图1，直线，点在直线上，点在直线上，直接写出和的面积关系．
（2）把图2的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，保留作图痕迹．
（3）如图3，在中，分别是上任意一点，连接分别是、的中点，求证：．
12．（2024八下·苍南期末）如图是由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，顶点称为这个矩形网格的格点，请按要求在矩形网格中画格点四边形．
（1）在图1中画出一个以为对角线的平行四边形．
（2）若小长方形的宽为1，请在图2中画出一个边长为的菱形．
13．（2024八下·萧山月考）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1，请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个以为边，另一边边长为的．
（2）在图2中画一个以为边，面积为8的菱形．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：如图1所示，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴平行四边形即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图2所示，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴平行四边形即为所求（答案不唯一）；
（3）解：如图3所示，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形的面积，
∴菱形即为所求（答案不唯一）．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质直接作图；
（2）以为边，作底边为4的平行四边形；
（3）根据平行四边形的性质取格点M，N，连接作图．
2．【答案】（1）解：如图所示，连接AC交BD于F，取格点H，连接DH交AC于O，连接BO并延长交AD于E，则E、F即为所求；
（2）解：由网格的特点和勾股定理可得，
∵DA、DB的中点分别为E，F，
∴是△ABD的中位线，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）如图所示，由平行四边形的对角线互相平分可得连接AC交BD于F；利用方格纸的特点AB的中点H，连接DH交AC于O，可得点O是三角形ABD的重心，根据三角形重心定义，连接BO并延长交AD于E，则E、F即为所求；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理求出AB的长，则由三角形中位线等于第三边的一半可得．
（1）解：如图所示，连接交于F，取格点H，连接交于O，连接并延长交于E，则E、F即为所求；
（2）解：由网格的特点和勾股定理可得，
∵的中点分别为E，F，
∴是的中位线，
∴．
3．【答案】（1）解：如图所示，BD即为所求；
（2）解：如图所示，正方形BCEF即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，找出点C向下平移4个单位长度后的对应点D，然后连接BD即可；
（2）利用方格纸的特点及正方形的性质“四条边都相等，四个角都是直角”，将点B、C都向下平移4个单位，再向右平移一个单位得到其对应点F、E，然后顺次连接B、F、E、C即可.
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，正方形即为所求
4．【答案】（1）解：如图，矩形即为所求；
（2）解：过点作于点，
，，
，
的面积，
所画矩形的面积倍的的面积．
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用三角板即可画出符合题意的矩形；
（2）作BF⊥AC于F，根据含30°角的直角三角形的性质求出BF，再求出三角形ABC的面积，进而即可得出答案．
5．【答案】（1）
（2）解：如图，
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）由图和勾股定理可得：AC=.
故答案为：.
【分析】（1）由网格图的特征和勾股定理计算可求解；
（2）根据网格图的特征平行四边形的性质可求解.
6．【答案】（1）解：如图：
（2）解：记，交于点，
四边形是菱形则，
∴，
．
【知识点】勾股定理的证明；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）作的角平分线，交于点，截取，连结，，四边形为所求菱形．
（2）记，交于点，根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出AE长解题即可．
7．【答案】解：如图，
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】 利用方格纸的特点及平行四边形的对边平行且相等、菱形的四边相等、矩形的四个角都是直角，分别按题目要求作出图形即可.
8．【答案】（1）解：如图①中，平行四边形即为所求（答案不唯一）．如图②中，矩形即为所求；
（2）解：如图③，正方形即为所求．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形、矩形的判定作图即可；
（2）利用正方形的定义作图即可．
9．【答案】解：图形如图所示：
由图1可知，
四边形为平行四边形；
由图2根据勾股定理得
四边形为菱形；
连接、交于点O
根据勾股定理得
四边形为矩形.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定以及要求作出图形．
10．【答案】（1）解：如图，四边形即为所作．
（2）解：如图，菱形即为所作．
【知识点】勾股定理；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）结合网格和勾股定理，画出正方形即可得；
（2）结合网格和勾股定理，画出菱形即可得．
（1）解：如图，四边形即为所作．
（2）解：如图，菱形即为所作．
11．【答案】（1）相等；
（2）解：如图所示
（3）证明：如图，取的中点，连接，，
是的中点，是的中点
∴
【知识点】平行线之间的距离；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）∵，它们边上的高线长都等于与之间的距离
（2）如图（作法不唯一）
【分析】
（1）由于平行线间的距离，因此两三角形同底等高，面积相等；
（2）连接，过点作交的延长线于点，即为所求；
（3）如图，取的中点，连接，，，由三角形中位线定理可得DN//BC，则；同理，故结论成立．
12．【答案】（1）解：如图，取格点，连接，则四边形为平行四边形，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，
，，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：延长交矩形网格于，取格点，依次连接得到四边形，则四边形为所求作菱形，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，小长方形的宽为1，
小长方形的长为3，，，
，
四边形是边长为的菱形．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）取格点，连接，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形为平行四边形；
（2）取格点，依次连接得到四边形，再利用矩形的性质，勾股定理可求得四边形四条边都是，然后根据四条边相等的四边形是菱形，可得四边形为所求作菱形.
（1）解：如图，取格点，连接，则四边形为平行四边形，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，
，，
，
四边形为平行四边形．
（2）解：取格点，依次连接得到四边形，则四边形为所求作菱形，
延长交矩形网格于，
由8个形状大小完全相同的小长方形组成的矩形网格，小长方形的宽为1；
小长方形的长为3，，，
，
四边形是边长为的菱形．
13．【答案】（1）解：∵边长为，∴横着占2个网格，竖着占1个网格，如图所示，答案不唯一，
（2）解：根据菱形4条边相等画出4条边长，使之面积为8；
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由于要求边长为，由勾股定理知该边与网格线围成一个两直角边长分别为1和2直角三角形，据此可先分别确定出顶点C、D，然后画出即可；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，且菱形的面积等于两对角线乘积的一半，因为其一条边AB的位置已确定，可把A、B两点分别放到边长为4和2的正方形中，且使线段AC和BD分别是这两个正方形的对角线，而且线段AC和BD互相垂直平分，此时由勾股定理可求出AC等于、BD等于，则面积恰好符合要求．
（1）解：∵边长为，
∴横着占2个网格，竖着占1个网格，如图所示，答案不唯一，
（2）解：根据菱形4条边相等画出4条边长，使之面积为8；
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