精选新题速递之二次根式—浙江省八（下）数学期末复习
一、选择题
1．（浙江省浙江省初中名校发展共同体2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）若的小数部分是，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．2
2．（2025八下·义乌期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C．2025 D．4050
二、填空题
3．（浙江省舟山市2024-2025学年下学期期中数学素养监测试题卷）拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是（的坡比，坝高，则坡面的长度是 ．
4．（2025八下·温州期中）已知二次根式的值是正整数，其中为整数，则的最小值为 ．
5．（2025八下·余姚期中）若实数满足，则
6．（2025八下·诸暨期中）已知，则的值为 ．
7．（2025八下·慈溪期中） 若实数m，n满足等式|m-2l+ =0，则= .
三、解答题
8．（2025八下·永康期中）习题集上有一道题为：“先化简，再求值：，其中，小刚的解法如下：，当时，原式，小刚的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解法。
9．（2025八下·路桥期中）观察下列等式，并回答问题：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
（1）请直接写出第5个等式 ；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明；
（3）计算：．
10．（2025八下·义乌期中）【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，，
，即，
，
．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）若，求的值．
11．（2025八下·温州期中）（本题12分）阅读材料：小芳在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小芳进行了以下探索：
设（其中a，b，m，n均为正整数），则有.
，，这样小芳就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法.
请你仿照小芳的方法探索并解决下列问题：
（1） 当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得a = ， .
（2） 利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： + = + .
（3） 若，且a，m，n均为整数，求a的值.
12．（浙江省杭州市保椒塔教育集团2024-2025学年八年级下学期期中数学试题）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
（1）若与是关于的共轭二次根式，则_______________；
（2）若与是关于4的共轭二次根式，求的值；
（3）若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
13．（2025八下·鄞州期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，而2称为“穿墙数”。具有这种现象的数还有很多比如：，等．
（1）【猜想】 ▲ ，并证明你的猜想；
（2）【推理证明】请你用一个正整数n（n为“穿墙数”，）表示含有上述规律的等式，并给出证明；
（3）【创新应用】按此规律若（a，b为正整数），则a+b的值为 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，解得：，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】先根据有意义，求出x，再求出y，然后代入求值.
3．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法；勾股定理
4．【答案】3
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：，
∵二次根式的值是正整数，其中n为整数，
∴n的最小值为3，
故答案为：3.
【分析】先化简二次根式，再根据题意求出n的最小值即可.
5．【答案】-4
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
整理为
即a+1=0，b-3=0，
解得a=-1，b=3，
∴a-b=-1-3=-4
故答案为：-4.
【分析】先整理为，然后根据非负性得到a=-1，b=3，然后代入计算解题.
6．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴x=2，，
则
.
故答案为：.
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而利用积的乘方运算法则计算得出答案.
7．【答案】2
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得，m-2=0，n-4=0，
解得m=2，n=4，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解.
8．【答案】解：小刚的解法不正确，正确的解法如下：
=2a-|a-2|，
当a=时，a-2<0，
∴原式=2a+a-2=3a-2=3-2
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】首先利用完全平方公式将二次根号下的被开方数分解因式，然后利用“”将二次根式化简，再根据a的取值判断出a-2的正负，进而利用绝对值代数意义化简，最后合并同类化为最简形式，再代入a的值算出答案.
9．【答案】（1）
（2）证明：
（3）解：原式＝
＝
＝1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）直接按照数式规律填写即可；
（2）按照分式的混合运算顺序先算括号内的异分母分式的减法，即先通分化异分母分式为同分母分式，再进行分式的乘法运算，最后再利用二次根式的性质把分母中的移到根号外即可；
（3）先利用对进行变形，再应用二次根式的乘法运算法则进行计算即可.
10．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
（1）
解：；
故答案为：
（2）
解：
；
【分析】
（1）利用平方差公式对分母有理化；
（2）先对每一人分式进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算即可；
（3）先进行分母有理化可表示出a，再把所求多项式表示成一个完全平方式的整数倍与一个常数的和的形式，再把a的值代入计算即可．
（1）解：；
故答案为：
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴
11．【答案】（1）；
（2）4；2；1；1(答案不唯一，合理即可)
（3）解： ，
，，
.
均为整数，
， 或，或，或，，或，，或，，
的值为39， 21， 31或109.
【知识点】二次根式的化简求值；完全平方式
【解析】解答】解：（1）∵，
∴，
故答案为：，．
（2）取m＝n＝1，得到
∴，
故答案为：4，2，1，1（答案不唯一）．
【分析】（1）根据完全平方公式计算得到，进而即可求解；
（2）取m＝n＝1，得到代入计算验证即可；
（3）根据完全平方公式计算得到，则，，进而找出符合题意情况计算即可．
12．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化
13．【答案】（1）；
证明：
（2）解：设正整数n ，
，
证明：
（3）71
【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）当时，分数部分为
∴
故答案为：.
（3）∵，
∴对应假分数为：
解得：
∵和为正整数，必须为整数，故是8的约数，即，
验证后：当时，
∴
故答案为：71.
【分析】（1）将混合数转换为假分数形式，得到。
于是，原式变为。根据题目中给出的规律，我们可以猜测这个形式可以简化为的形式，其中、、为正整数。根据题目中给出的规律，我们可以尝试寻找，进而即可求解；
（2）先将带分数转化为假分数，进而计算即可；
（3）根据已知规律，总结得到进而根据和为正整数，必须为整数，故是8的约数，即，进而计算即可.
1 / 1精选新题速递之二次根式—浙江省八（下）数学期末复习
一、选择题
1．（浙江省浙江省初中名校发展共同体2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）若的小数部分是，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
2．（2025八下·义乌期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C．2025 D．4050
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，解得：，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】先根据有意义，求出x，再求出y，然后代入求值.
二、填空题
3．（浙江省舟山市2024-2025学年下学期期中数学素养监测试题卷）拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是（的坡比，坝高，则坡面的长度是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法；勾股定理
4．（2025八下·温州期中）已知二次根式的值是正整数，其中为整数，则的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】解：，
∵二次根式的值是正整数，其中n为整数，
∴n的最小值为3，
故答案为：3.
【分析】先化简二次根式，再根据题意求出n的最小值即可.
5．（2025八下·余姚期中）若实数满足，则
【答案】-4
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
整理为
即a+1=0，b-3=0，
解得a=-1，b=3，
∴a-b=-1-3=-4
故答案为：-4.
【分析】先整理为，然后根据非负性得到a=-1，b=3，然后代入计算解题.
6．（2025八下·诸暨期中）已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴x=2，，
则
.
故答案为：.
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而利用积的乘方运算法则计算得出答案.
7．（2025八下·慈溪期中） 若实数m，n满足等式|m-2l+ =0，则= .
【答案】2
【知识点】二次根式有意义的条件；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由题意得，m-2=0，n-4=0，
解得m=2，n=4，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解.
三、解答题
8．（2025八下·永康期中）习题集上有一道题为：“先化简，再求值：，其中，小刚的解法如下：，当时，原式，小刚的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解法。
【答案】解：小刚的解法不正确，正确的解法如下：
=2a-|a-2|，
当a=时，a-2<0，
∴原式=2a+a-2=3a-2=3-2
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】首先利用完全平方公式将二次根号下的被开方数分解因式，然后利用“”将二次根式化简，再根据a的取值判断出a-2的正负，进而利用绝对值代数意义化简，最后合并同类化为最简形式，再代入a的值算出答案.
9．（2025八下·路桥期中）观察下列等式，并回答问题：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
（1）请直接写出第5个等式 ；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明；
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）证明：
（3）解：原式＝
＝
＝1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）直接按照数式规律填写即可；
（2）按照分式的混合运算顺序先算括号内的异分母分式的减法，即先通分化异分母分式为同分母分式，再进行分式的乘法运算，最后再利用二次根式的性质把分母中的移到根号外即可；
（3）先利用对进行变形，再应用二次根式的乘法运算法则进行计算即可.
10．（2025八下·义乌期中）【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，，
，即，
，
．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
（1）
解：；
故答案为：
（2）
解：
；
【分析】
（1）利用平方差公式对分母有理化；
（2）先对每一人分式进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算即可；
（3）先进行分母有理化可表示出a，再把所求多项式表示成一个完全平方式的整数倍与一个常数的和的形式，再把a的值代入计算即可．
（1）解：；
故答案为：
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴
11．（2025八下·温州期中）（本题12分）阅读材料：小芳在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小芳进行了以下探索：
设（其中a，b，m，n均为正整数），则有.
，，这样小芳就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法.
请你仿照小芳的方法探索并解决下列问题：
（1） 当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得a = ， .
（2） 利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： + = + .
（3） 若，且a，m，n均为整数，求a的值.
【答案】（1）；
（2）4；2；1；1(答案不唯一，合理即可)
（3）解： ，
，，
.
均为整数，
， 或，或，或，，或，，或，，
的值为39， 21， 31或109.
【知识点】二次根式的化简求值；完全平方式
【解析】解答】解：（1）∵，
∴，
故答案为：，．
（2）取m＝n＝1，得到
∴，
故答案为：4，2，1，1（答案不唯一）．
【分析】（1）根据完全平方公式计算得到，进而即可求解；
（2）取m＝n＝1，得到代入计算验证即可；
（3）根据完全平方公式计算得到，则，，进而找出符合题意情况计算即可．
12．（浙江省杭州市保椒塔教育集团2024-2025学年八年级下学期期中数学试题）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
（1）若与是关于的共轭二次根式，则_______________；
（2）若与是关于4的共轭二次根式，求的值；
（3）若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化
13．（2025八下·鄞州期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，而2称为“穿墙数”。具有这种现象的数还有很多比如：，等．
（1）【猜想】 ▲ ，并证明你的猜想；
（2）【推理证明】请你用一个正整数n（n为“穿墙数”，）表示含有上述规律的等式，并给出证明；
（3）【创新应用】按此规律若（a，b为正整数），则a+b的值为 ．
【答案】（1）；
证明：
（2）解：设正整数n ，
，
证明：
（3）71
【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）当时，分数部分为
∴
故答案为：.
（3）∵，
∴对应假分数为：
解得：
∵和为正整数，必须为整数，故是8的约数，即，
验证后：当时，
∴
故答案为：71.
【分析】（1）将混合数转换为假分数形式，得到。
于是，原式变为。根据题目中给出的规律，我们可以猜测这个形式可以简化为的形式，其中、、为正整数。根据题目中给出的规律，我们可以尝试寻找，进而即可求解；
（2）先将带分数转化为假分数，进而计算即可；
（3）根据已知规律，总结得到进而根据和为正整数，必须为整数，故是8的约数，即，进而计算即可.
1 / 1
