精选新题速递之一元二次方程—浙江省八（下）数学期末复习
一、选择题
1．（浙江省杭州英特外国语学校2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷）已知等腰的一条腰为7．其余两边的边长恰好是的两个根．的值是（ ）
A．2 B．4 C．2或10 D．10
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系
【解析】【解答】解：已知等腰三角形的腰为7，
则的一个根为7，
将x=7代入方程，化简得：m2-14m+40=0，
解得m1=10，m2=4，
当m=10时，代入方程得，
x2-22x+105=0，
(x-15)(x-7)=0，
∴x1=15，x2=7，
而7+7<15，
此时不构成三角形，因此m=10不符合题意，
故m=4.
故答案为：B.
【分析】根据三角形腰长为7，可知方程的一个根为7，代入可求得m的两个值，再将m的两个值回代进行检验，检验三角形三边关系.
2．（2025八下·杭州期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（ ）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若、满足，则关于的方程是倍根方程；
④若关于的方程是倍根方程，则．
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：①
故结论 ① 正确；
②是倍根方程
且
若，则；
若，则；
故结论 ② 错误；
③设的两个根分别为
，故结论 ③ 正确；
④设的两个根分别为，且
，故结论 ④ 正确
故答案为：D.
【分析】 ① 解方程得两根符合倍根关系；
② 先解方程，再把两根分别代入到中看等式是否成立；
③ 先设的两个根分别为，再用根与系数的关系和可分别求出两根；
④ 设的两个根分别为，且，再利用根与系数的关系进行验证即可.
3．（2025八下·越城期中）对于一元二次方程，下列说法中正确的是（ ）
①若方程的两个根是和2，则；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若，则它有一个根是；
④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：对①，把-1和2代入方程得，2×①+②得6a-3c=0，即2a-c=0，故①正确；
对②，将c代入方程得，即得c=0或，故②错误；
对③，x=-1代入得a+b-c=0，故③正确；
对④，x=m代入得，两边同时除以得即有，故④正确；综上所述，正确的有 ①③④ .
故答案为：C.
【分析】分别将方程的根代入方程，对①可得消去b，即可得2a-c=0，①正确；对②得，得c=0或得②错误；x=-1代入方程即得a+b-c=0，③正确；对④将m代入方程，变形得，④正确.
4．（2025八下·温州期中）已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴x-1=0或x-m=0，
∴x1=1，x2=m；
∵ ，
∴，
∴，
∴x1=，x2=，
∵两个方程的解相同，
∴，
整理得m-2n=-1.
故答案为：D.
【分析】由两个方程都是关于x的方程可得a≠0，从而利用因式分解法求出第一个方程的两个根，利用直接开平方法求出第二个方程的两个根，根据两个方程的解相同可得两个方程的根之和一定相等，据此建立出关于字母m、n的等式，再化简整理即可.
5．（2025八下·温州期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为（其中），若是关于的函数，且，若，则（ ）
A． B． C． D．．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：∵ 是关于的一元二次方程，
∴=4[(a2 4a+4) (a2 4a)]=4×4=16＞0，
故方程由两个不相等的实数根，
由求根公式得：
∴x=1或，
∵a＞0， ，
∴x1=1，，
将其代入中得，
1-（a-4）＞0，
解得：a＜5，
综上所述，a的取值范围是0＜a＜5；
故答案为：B.
【分析】先根据求根公式及已知条件得出x1，x2的值，再将其代入 ，解不等式即可得出a的取值范围.
6．（2023八下·拱墅期中）对于一元二次方程，下列说法：
若，则方程必有一根为；
若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，
∴x=1是方程的一根，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；
若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴-=，，
∴方程cx2+bx+a=0必有实根，故③正确；
∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=，
∴±=2ax0+b，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.
故答案为：D.
【分析】当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，据此判断①；由方程ax2+c=0有两个不相等的实数根可得-4ac>0，则b2-4ac>0，据此判断②；根据根与系数的关系可得x1+x2=-，x1x2=，则-=，，据此判断③；根据求根公式可得x0=，进而可判断④.
7．（2025八下·萧山期中）已知方程甲：，方程乙：都是一元二次方程，其中.以下说法中错误的是（ ）
A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C．若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解
D．若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或-1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
设方程甲的判别式为，乙的判别式为
若甲有两个不相等的实数解，则
即4a2<4b2
此时
则乙没有实数解
故A不符合题意；
若甲有两个相等的实数解，则
即4a2=4b2
此时
则乙也有两个相等的实数解
故B不符合题意；
若x=1是甲的解，代入方程甲得
2a+2b=0
将x=1代入方程乙，可得
2b+2a=0
所以x=1也是乙的解
故C不符合题意；
将x=n分别代入甲，乙方程，
得
①-②得：
∵a≠b
两边同时约去a-b
∴n2-2n+1=0
（n-1）2=0
∴n=1
故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】
由方程甲有两个不相等的实数解可知于4a2-4b2＜0，根据判别式的意义可对A进行判断；
由方程甲有两个相等的实数解可知于4a2-4b2=0，根据判别式的意义可对B进行判断；
若x=1是方程甲的解，则可得出a=-b，根据判别式的意义可对C进行判断；
若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，则，解方程组求得n=1，可对D进行判断.
8．（2025八下·临平期中）如图，欧几里得的《原本》中记载了形如x2+ax=b2（其中a>0，b>0）的方程的图解法：作出Rt△ABC，使两条直角边 AC和 BC的长分别为b和，再在斜边 AB上截取 BD=，则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD 的长 C．BC的长 D．CD 的长
【答案】B
【知识点】勾股定理；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
用求根公式得：，
∴ 方程的正根为：
对比AD的表达式可知，AD的长度恰好等于方程的正根。
故答案为：B.
【分析】根据题目条件构造直角三角形，利用勾股定理计算斜边长度，再通过截取线段找到与方程正根对应的几何量.
9．（2025八下·浙江期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（ ）
A．当a>0，b+4a=0，4a+2b+c=0时，方程一定有两个不相等的实数根；
B．当a<0，b+c>0，a+c<0时，方程一定没有实数根；
C．当a>0，a+b+c<0时，方程一定没有实数根；
D．当a<0，b+c>0，b-c<0时，方程一定有实数根.
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、∵ b+4a=0， ∴ b=-4a；
∵ 4a+2b+c=0 ，∴c=4a，
∴ 判别式Δ = b2－4ac = (－4a)2 －4a·(4a) = 16a2 -16a2 =0，
∴ 方程有两个相等实根， 故选项A表述错误，不符合题意；
B、当a<0，b+c>0，a+c<0时，取a=-2，b=2，c=0可满足条件：a<0，b+c=2>0，a+c=-1<0，
此时方程为﹣2x2+2x=0，Δ=4-0=4>0，方程存在实根，故选项B描述错误，不符合题意；
C、∵a>0且a+b+c<0，
∴抛物线y=ax2+bx+c 开口向上，且x=1时，抛物线图象在x轴下方，故抛物线必与x轴有两个交点，方程必有实根，故选项C描述错误，不符合题意；
D、∵b-c<0，∴b
又∵b+c>0，∴c>0，
∵ a<0，∴﹣4ac>0，
∴ Δ = b2-4ac>0，故方程一定有实根，故选项D描述正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由b+4a=0和4a+2b+c=0，可表示出b和c，计算出判别式可判断A；取特殊值，代入计算
判别式可判断B；由题意判断得x=1时，抛物线图象在x轴下方且方程开口向上，可判断方程根的个数，继而可判断C；由题意判断得c>0，代入计算判别式，继而可判断D.
10．（2024八下·温州期中） 小明发现一元二次方程的两根表示在数轴上关于点对称．若关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵mx2+2mx=n，
∴mx2+2mx-n=0，
设方程的两根为x1，x2，
∴x1+x2=-2，x1·x2=，
∵ 两根在数轴上对应的点的距离为4，
∴=4，
∴（x1+x2）2-4x1x2=16，
∴（-2）2-4·（）=16，
∴n=3m.
故答案为：B.
【分析】设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系可得x1+x2=-2，x1·x2=，由题意得=4，变形得（x1+x2）2-4x1x2=16，再代入即可求出n与m的关系.
11．（2025八下·柯桥期中）定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，根据方程有两个不相等的实数根可得，进而解得.
12．（2024八下·苍南期中）已知一元二次方程，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，，即，，
∵，
∴，
∵，无法确定符号，
∴的值无法确定，
∴此选项不符合题意；
B、∵，，
∴，，即，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴此选项不符合题意；
C、∵，，
，，即，
，
，
而，
，，
，
；
∴此选项符合题意；
D、∵，，
∴，，即，，
∵，
∴，
∵，无法确定的符号，
∴的值无法确定，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"得，，根据、判定出、的符号，再由得，代入即可确定判别式的符号，得出的值．
13．（2025八下·瑞安期中）中国明代数学家程大位编写的数学名著<算法统宗>中记载道：“平地秋千未起，路板一尺离地：送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终朝笑语欢姐；良工高士素好奇，算出索长有几？”其大意是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（约为10尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳累始终拉的很直，问秋干绳索有多长？”如图，若设秋千的绳索OA长为x尺，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；列一元二次方程
【解析】【解答】解：如图，
根据题意，得OA=OB=x，AC=1，BD=EC=5，BE=CD=10，∠OEB=90°，
∴EA=EC-AC=5-1=4，
∴OE=OA-EA=x-4，
在中，有，
∴可列方程，
故答案为：D.
【分析】先求出EA=4，BE=10，OB=x，∠OEB=90°，从而得OE=x-4，然后在中，利用勾股定理即可列出方程.
二、填空题
14．（2025八下·浙江期中）定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
15．（2025八下·诸暨期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=m，x1x2=2m-1，
∵
∴
即
整理得m2-m-6=0，
解得m=-2或m=3，
∵关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0有两个实数根，
∴ ≥0，
∴m2-4(2m-1)≥0，
当m=-2时， =4+24≥0，
当m=3时， =9-20<0，
∴m=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=m，x1x2=2m-1，根据，代入即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值.
16．（2025八下·温州期中） 刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数.例如，把(3，-2)放入其中，就会得到.现将实数对(m，-2m)放入其中，得到实数-1，则m的值是 .
【答案】-1或3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将实数对代入得到：
则
∴，
故答案为：-1或3 .
【分析】根据题意把将实数对代入得到：解此方程即可求解.
三、解答题
17．（2025八下·温州期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计
某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如下表：
包装规格
含量（千克／袋） 2 1
成本（元／袋） 10 5
售价（元／袋） 25 17
日销量（袋） 60 40
该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋。一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）。另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋。
根据以上信息解决问题：
设包装洗衣粉每袋售价提高元（）。
（1）问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由．
（2）当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元（）。
①求关于的函数关系．
②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？
【答案】（1）解：能，由题意可得，
解，得．
包装洗衣粉的售价为30或35元
（2）①由题意可得，
化简，得
②日总利润为
即
此时，所以达不到1450元
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A包装洗衣粉每袋售价提高x元，则每袋A包装洗衣粉的利润为(25+x-10)元，由“ A包装洗衣粉售价每提升1元会少卖2袋 ”可得A包装洗衣粉每天的销售数量为(60-2x)袋，根据每袋洗衣粉的利润×每天销售数量=每天销售A包装洗衣粉获取的总利润，建立方程，求解并检验即可；
（2）①设B包装洗衣粉每袋销售价格降低y元，则每天可销售B包装洗衣粉的质量为1×(40+2y)千克；每天销售A包装洗衣粉的质量为2(60-2x)千克，根据销售两种包装洗衣粉的总质量等于厂家每天定额生产的洗衣粉的总质量，列出y与x的关系式，进而再用含x的式子表示出y即可；
②根据每袋利润×每天销售数量=每天获取的总利润，由每天销售(40+2y)袋B包装洗衣粉的利润+每天销售(60-2x)袋A包装洗衣粉的利润=1450建立出方程，然后根据根的判别式判断该方程是否有实数根即可得出答案.
18．（2025八下·温州期中）根据以下素材，探索完成任务。
探索设计停车场
背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，需留出通道出行，入口在左上角，出口在右下角。已知。按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，且停车位的宽度不小于4.8m。
方案 如图，设计四列阴影部分为停车位，且停车位的宽度相同，即，其余部分是等宽的通道。
任务1 若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准。
任务2 若通道的宽度要求不小于4m，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积。
【答案】解：任务1：设停车位的宽度为xm，通道的宽度为ym，
由题图可知：4x+2y=32，
∴y=16-2x，
∵停车位总面积为180m2，
∴x(18-y)×2+2x×(18-2y)=180，
把y=16-2x代入，得：
x(18-16+2x) ×2+2x×(18-32+4x)180，
解得：x=5或x=3(舍去)；
∵5>4.8，
∴停车位的宽度符合标准.
任务2：设停车位的总面积为Sm2，由任务1可知：
y=16-2x，
∴S=x(18-y)×2+2x×(18-2y)=x(18-16+2x) ×2+2x×(18-32+4x)
=12x2-24x
=12(x -1)2-12
∵y=16-2x≥4且x≥4.8，
∴4.8≤x≤6，
∴当x=6时，S最大=12×(6-1)2-12=288，
答：当停车位的宽度为6m时，停车位的总面积最大为288m2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：设停车位的宽度为x，通道的宽度为y，根据图形可知：4x+2y=32，进而得到y=16-2x，根据停车位总面积为180m2，列出方程进行求解后，结合停车位的宽度不小于4.8m进行判断即可；
任务2：设停车位的总面积为S，面积公式表示出S，配方法求最值即可.
19．（2025八下·温州期中）综合与实践．
项目主题：制作新学期的开学手册封面
素材一：小华设计的开学手册的封面是尺寸为长34cm，宽22cm的长方形，正中央有一个长方形边框，其四周是边衬．上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上下边衬的宽度是左右边衬宽度的一半．小华设计的边衬面积为172cm2．
素材二：封面边框内需要张贴一张长方形的校园照片．为了使排版规范，照片的长宽比例等于边框的长宽比例．小华设计照片到边框下方的下距为22cm，到边框左右的左距与右距，以及到边框上方的上距都为1cm．
（1）【任务一】设上边衬的宽度为，用含的代数式表示边框的长和宽．
（2）【任务二】求边框的长和宽．
（3）【任务三】通过计算说明，小华的设计是否规范．
【答案】（1）解：设上边衬的宽度为xcm，则下边衬的宽度为xcm，左、右边衬的宽度为2xcm，
∴边框的长为34-x-x=(34 -2x)cm，
宽为22-2x-2x=(22-4x)cm；
（2）解：列方程为：
解得：（不合题意，舍去）
因此，长和宽为32cm与18cm．
（3）解：小华的设计规范，理由如下：
照片的长：，
照片的宽：可得
因此，设计符合规范
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设上边衬的宽度为xcm，则下边衬的宽度为xcm，左、右边衬的宽度为2xcm，利用边框的长= 34-上边衬的宽度-下边衬的宽度及边框的宽=22-左边衬的宽度一又边衬的宽度，即可用含x的代数式表示出边框的长和宽；
(2)根据小华设计的边衬面积为172cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入(34-2x)及(22-4x)中，即可求出结论；
(3)求出照片的长、宽，结合照片的长宽比例等于边框的长宽比例，即可得出结论.
20．（2025八下·浙江期中）关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围．
（2）如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
（3）若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
【答案】（1）
（2）
（3）4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
21．（2025八下·温州期中） (本题 10 分) 定义：如果关于 x 的一元二次方程 (a， b， c 均为常数， ) 有两个实数根，且其中一个根比另一个大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”.
（1） 下列方程中，属于“邻根方程”的是 (填序号).
①； ②； ③.
（2） 若 是“邻根方程”，求 n 的值.
（3） 若一元二次方程 (b， c 均为常数) 为“邻根方程”，请写出 b， c 满足的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）③
（2）解：解方程得，，
∵原方程为邻根方程，
∴
解得：或
（3）解：设的两个根为，，
由韦达定理得，，
为“邻根方程”.
，可得，
即，
代入得
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）①的两个根为1和－1，不满足邻根方程定义；
②原方程根为3，不满足邻根方程定义；
③两个根为－2和－1，满足邻根方程定义；
故答案为：③．
【分析】（1）先解出每个方程的根，然后根据邻根方程的定义逐个分析判断即可；
（2）先解方程得到，，然后根据邻根方程的定义得到解此方程即可求解；
（3）设的两个根为，，由韦达定理得，，根据邻根方程的定义得到，则，进而代入计算即可．
22．（ 浙江省杭州市春蕾中学2024-2025学年 下学期八年级期中数学试题）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）“全整根方程”的“最值码”是______．
（2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值．
（3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
【答案】（1）
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，解得：；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
∴的值为2．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
【分析】（1）利用“最值码”定义求解．
（2）利用 “全整根伴侣方程” 定义可得，转化为关于a的方程求解．
（3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值．
（1）解：在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，
解得；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
故的值为2．
23．（2025八下·萧山期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a+0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=-1，则方程x2+x=0是“邻根方程”.
（1）通过计算，判断方程x2-x-6=0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1=0(a、b是常数，a>0）是“邻根方程”，令t=8a-b2，试求t的最大值.
【答案】（1）解： ∵x2-x-6=0，
∴（x-3）（x+2）=0，
∴x1=3，x2=-2，
∵3≠-2+1，
∴x2-x-6=0不是“邻根方程”
（2）解： x2-（m-1）x-m=0，
（x-m）（x+1）=0，
∴x1=m，x2=-1，
∵方程x2-（m-1）x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m=-1+1或m=-1-1，
∴m=0或-2．
（3）解： 若关于x的方程ax2+bx+1=0 是邻根方程，则方程必有2个不同实根，则
设该方程的两根为x1，x2，且x1>x2
由韦达定理得
∴x1-x2==
∵a>0
∴
当a=2时取等号
∴t最大值=4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】 （1）首先解方程求根，比较两根差是否为1；
（2）通过因式分解或求根公式找到根的表达式，利用邻根方程的条件建立方程求解m；
（3）利用邻根方程的条件，结合判别式和韦达定理，将t表示为a的函数后求最大值.
24．（2025八下·慈溪期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”，通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2－4ac一定为完全平方数，现规定F（a，b，c）＝为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”x2-3x-4=0，的两根均为整数，其“快乐数F（1，-3，-4）=，若有另一个“快乐方程px2+qx+r=0（p≠0）的“快乐数"F（p，q，r）， 且满足r·F（a，b，c） =c·F（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”.
（1）“快乐方程”x2-2x-3=0的“快乐数”为 .
（2）若关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0（m为整数，且1<6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0与x2-（n+2）x+2n=0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值.
【答案】（1）-4
（2）解：方程
∴
∵1＜m＜6
∴17＜4m+13＜37
又方程是“快乐方程”，
∴4m+13 是完全平方数，
∴4m+13=25或36
∴m=3，m=（舍去）
∴方程为可化为：x2-5x=0
∴F（1，-5，0）=
故其“快乐数”数是
（3）解：∵x2-mx+1=0为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
设 ，a 为整数，
则（m-2+a）（m-2-a）=8
∴或或或或
或或或
解得m=5或-1或 （舍）或 (舍)，
∴方程为：x2-5x+6=0或x2+x=0；
∵ x2-（n+2）x+2n=0为“快乐方程”，
∴是完全平方数
当m=5时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴
解得：n=3或（舍），
当m=-1时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴
解得：n=0，
综上，n 的值为 0 或 3
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：(1)方程：x2-2x-3=0的快乐数；
故答案为：-4.
【分析】(1)按照快乐数公式即可求解；
(2)按照快乐数公式即可求解；
(3)由x2-mx+m+1=0，求出m的值，再由x2-(n+2)x+2n=0，求出，分m=5，m=-1两种情况分别求出n的值.
1 / 1精选新题速递之一元二次方程—浙江省八（下）数学期末复习
一、选择题
1．（浙江省杭州英特外国语学校2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷）已知等腰的一条腰为7．其余两边的边长恰好是的两个根．的值是（ ）
A．2 B．4 C．2或10 D．10
2．（2025八下·杭州期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（ ）
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若、满足，则关于的方程是倍根方程；
④若关于的方程是倍根方程，则．
A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④
3．（2025八下·越城期中）对于一元二次方程，下列说法中正确的是（ ）
①若方程的两个根是和2，则；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若，则它有一个根是；
④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
4．（2025八下·温州期中）已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八下·温州期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为（其中），若是关于的函数，且，若，则（ ）
A． B． C． D．．
6．（2023八下·拱墅期中）对于一元二次方程，下列说法：
若，则方程必有一根为；
若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八下·萧山期中）已知方程甲：，方程乙：都是一元二次方程，其中.以下说法中错误的是（ ）
A．若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙没有实数解
B．若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解
C．若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解
D．若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或-1
8．（2025八下·临平期中）如图，欧几里得的《原本》中记载了形如x2+ax=b2（其中a>0，b>0）的方程的图解法：作出Rt△ABC，使两条直角边 AC和 BC的长分别为b和，再在斜边 AB上截取 BD=，则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD 的长 C．BC的长 D．CD 的长
9．（2025八下·浙江期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（ ）
A．当a>0，b+4a=0，4a+2b+c=0时，方程一定有两个不相等的实数根；
B．当a<0，b+c>0，a+c<0时，方程一定没有实数根；
C．当a>0，a+b+c<0时，方程一定没有实数根；
D．当a<0，b+c>0，b-c<0时，方程一定有实数根.
10．（2024八下·温州期中） 小明发现一元二次方程的两根表示在数轴上关于点对称．若关于x的方程的两根在数轴上对应的点的距离为4，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2025八下·柯桥期中）定义新运算：m*n＝m2﹣2m﹣3n，例如：3*4＝32﹣2×3﹣3×4＝﹣9，若关于x的一元二次方程x*a＝3，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024八下·苍南期中）已知一元二次方程，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
13．（2025八下·瑞安期中）中国明代数学家程大位编写的数学名著<算法统宗>中记载道：“平地秋千未起，路板一尺离地：送行二步与人齐，五尺人高曾记：仕女佳人争蹴，终朝笑语欢姐；良工高士素好奇，算出索长有几？”其大意是：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（约为10尺）时，此时踏板升高，离地5尺，秋千的绳累始终拉的很直，问秋干绳索有多长？”如图，若设秋千的绳索OA长为x尺，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
14．（2025八下·浙江期中）定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
15．（2025八下·诸暨期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．实数满足，则实数的值为 ．
16．（2025八下·温州期中） 刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数.例如，把(3，-2)放入其中，就会得到.现将实数对(m，-2m)放入其中，得到实数-1，则m的值是 .
三、解答题
17．（2025八下·温州期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计
某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如下表：
包装规格
含量（千克／袋） 2 1
成本（元／袋） 10 5
售价（元／袋） 25 17
日销量（袋） 60 40
该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋。一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）。另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋。
根据以上信息解决问题：
设包装洗衣粉每袋售价提高元（）。
（1）问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由．
（2）当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元（）。
①求关于的函数关系．
②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？
18．（2025八下·温州期中）根据以下素材，探索完成任务。
探索设计停车场
背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，需留出通道出行，入口在左上角，出口在右下角。已知。按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，且停车位的宽度不小于4.8m。
方案 如图，设计四列阴影部分为停车位，且停车位的宽度相同，即，其余部分是等宽的通道。
任务1 若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准。
任务2 若通道的宽度要求不小于4m，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积。
19．（2025八下·温州期中）综合与实践．
项目主题：制作新学期的开学手册封面
素材一：小华设计的开学手册的封面是尺寸为长34cm，宽22cm的长方形，正中央有一个长方形边框，其四周是边衬．上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上下边衬的宽度是左右边衬宽度的一半．小华设计的边衬面积为172cm2．
素材二：封面边框内需要张贴一张长方形的校园照片．为了使排版规范，照片的长宽比例等于边框的长宽比例．小华设计照片到边框下方的下距为22cm，到边框左右的左距与右距，以及到边框上方的上距都为1cm．
（1）【任务一】设上边衬的宽度为，用含的代数式表示边框的长和宽．
（2）【任务二】求边框的长和宽．
（3）【任务三】通过计算说明，小华的设计是否规范．
20．（2025八下·浙江期中）关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围．
（2）如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
（3）若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
21．（2025八下·温州期中） (本题 10 分) 定义：如果关于 x 的一元二次方程 (a， b， c 均为常数， ) 有两个实数根，且其中一个根比另一个大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”.
（1） 下列方程中，属于“邻根方程”的是 (填序号).
①； ②； ③.
（2） 若 是“邻根方程”，求 n 的值.
（3） 若一元二次方程 (b， c 均为常数) 为“邻根方程”，请写出 b， c 满足的数量关系，并说明理由.
22．（ 浙江省杭州市春蕾中学2024-2025学年 下学期八年级期中数学试题）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）“全整根方程”的“最值码”是______．
（2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值．
（3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
23．（2025八下·萧山期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a+0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=-1，则方程x2+x=0是“邻根方程”.
（1）通过计算，判断方程x2-x-6=0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1=0(a、b是常数，a>0）是“邻根方程”，令t=8a-b2，试求t的最大值.
24．（2025八下·慈溪期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”，通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2－4ac一定为完全平方数，现规定F（a，b，c）＝为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”x2-3x-4=0，的两根均为整数，其“快乐数F（1，-3，-4）=，若有另一个“快乐方程px2+qx+r=0（p≠0）的“快乐数"F（p，q，r）， 且满足r·F（a，b，c） =c·F（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”.
（1）“快乐方程”x2-2x-3=0的“快乐数”为 .
（2）若关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0（m为整数，且1<6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0与x2-（n+2）x+2n=0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系
【解析】【解答】解：已知等腰三角形的腰为7，
则的一个根为7，
将x=7代入方程，化简得：m2-14m+40=0，
解得m1=10，m2=4，
当m=10时，代入方程得，
x2-22x+105=0，
(x-15)(x-7)=0，
∴x1=15，x2=7，
而7+7<15，
此时不构成三角形，因此m=10不符合题意，
故m=4.
故答案为：B.
【分析】根据三角形腰长为7，可知方程的一个根为7，代入可求得m的两个值，再将m的两个值回代进行检验，检验三角形三边关系.
2．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：①
故结论 ① 正确；
②是倍根方程
且
若，则；
若，则；
故结论 ② 错误；
③设的两个根分别为
，故结论 ③ 正确；
④设的两个根分别为，且
，故结论 ④ 正确
故答案为：D.
【分析】 ① 解方程得两根符合倍根关系；
② 先解方程，再把两根分别代入到中看等式是否成立；
③ 先设的两个根分别为，再用根与系数的关系和可分别求出两根；
④ 设的两个根分别为，且，再利用根与系数的关系进行验证即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：对①，把-1和2代入方程得，2×①+②得6a-3c=0，即2a-c=0，故①正确；
对②，将c代入方程得，即得c=0或，故②错误；
对③，x=-1代入得a+b-c=0，故③正确；
对④，x=m代入得，两边同时除以得即有，故④正确；综上所述，正确的有 ①③④ .
故答案为：C.
【分析】分别将方程的根代入方程，对①可得消去b，即可得2a-c=0，①正确；对②得，得c=0或得②错误；x=-1代入方程即得a+b-c=0，③正确；对④将m代入方程，变形得，④正确.
4．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程-同解问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴x-1=0或x-m=0，
∴x1=1，x2=m；
∵ ，
∴，
∴，
∴x1=，x2=，
∵两个方程的解相同，
∴，
整理得m-2n=-1.
故答案为：D.
【分析】由两个方程都是关于x的方程可得a≠0，从而利用因式分解法求出第一个方程的两个根，利用直接开平方法求出第二个方程的两个根，根据两个方程的解相同可得两个方程的根之和一定相等，据此建立出关于字母m、n的等式，再化简整理即可.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：∵ 是关于的一元二次方程，
∴=4[(a2 4a+4) (a2 4a)]=4×4=16＞0，
故方程由两个不相等的实数根，
由求根公式得：
∴x=1或，
∵a＞0， ，
∴x1=1，，
将其代入中得，
1-（a-4）＞0，
解得：a＜5，
综上所述，a的取值范围是0＜a＜5；
故答案为：B.
【分析】先根据求根公式及已知条件得出x1，x2的值，再将其代入 ，解不等式即可得出a的取值范围.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，
∴x=1是方程的一根，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；
若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴-=，，
∴方程cx2+bx+a=0必有实根，故③正确；
∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=，
∴±=2ax0+b，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.
故答案为：D.
【分析】当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，据此判断①；由方程ax2+c=0有两个不相等的实数根可得-4ac>0，则b2-4ac>0，据此判断②；根据根与系数的关系可得x1+x2=-，x1x2=，则-=，，据此判断③；根据求根公式可得x0=，进而可判断④.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
设方程甲的判别式为，乙的判别式为
若甲有两个不相等的实数解，则
即4a2<4b2
此时
则乙没有实数解
故A不符合题意；
若甲有两个相等的实数解，则
即4a2=4b2
此时
则乙也有两个相等的实数解
故B不符合题意；
若x=1是甲的解，代入方程甲得
2a+2b=0
将x=1代入方程乙，可得
2b+2a=0
所以x=1也是乙的解
故C不符合题意；
将x=n分别代入甲，乙方程，
得
①-②得：
∵a≠b
两边同时约去a-b
∴n2-2n+1=0
（n-1）2=0
∴n=1
故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】
由方程甲有两个不相等的实数解可知于4a2-4b2＜0，根据判别式的意义可对A进行判断；
由方程甲有两个相等的实数解可知于4a2-4b2=0，根据判别式的意义可对B进行判断；
若x=1是方程甲的解，则可得出a=-b，根据判别式的意义可对C进行判断；
若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，则，解方程组求得n=1，可对D进行判断.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
用求根公式得：，
∴ 方程的正根为：
对比AD的表达式可知，AD的长度恰好等于方程的正根。
故答案为：B.
【分析】根据题目条件构造直角三角形，利用勾股定理计算斜边长度，再通过截取线段找到与方程正根对应的几何量.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、∵ b+4a=0， ∴ b=-4a；
∵ 4a+2b+c=0 ，∴c=4a，
∴ 判别式Δ = b2－4ac = (－4a)2 －4a·(4a) = 16a2 -16a2 =0，
∴ 方程有两个相等实根， 故选项A表述错误，不符合题意；
B、当a<0，b+c>0，a+c<0时，取a=-2，b=2，c=0可满足条件：a<0，b+c=2>0，a+c=-1<0，
此时方程为﹣2x2+2x=0，Δ=4-0=4>0，方程存在实根，故选项B描述错误，不符合题意；
C、∵a>0且a+b+c<0，
∴抛物线y=ax2+bx+c 开口向上，且x=1时，抛物线图象在x轴下方，故抛物线必与x轴有两个交点，方程必有实根，故选项C描述错误，不符合题意；
D、∵b-c<0，∴b
又∵b+c>0，∴c>0，
∵ a<0，∴﹣4ac>0，
∴ Δ = b2-4ac>0，故方程一定有实根，故选项D描述正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由b+4a=0和4a+2b+c=0，可表示出b和c，计算出判别式可判断A；取特殊值，代入计算
判别式可判断B；由题意判断得x=1时，抛物线图象在x轴下方且方程开口向上，可判断方程根的个数，继而可判断C；由题意判断得c>0，代入计算判别式，继而可判断D.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵mx2+2mx=n，
∴mx2+2mx-n=0，
设方程的两根为x1，x2，
∴x1+x2=-2，x1·x2=，
∵ 两根在数轴上对应的点的距离为4，
∴=4，
∴（x1+x2）2-4x1x2=16，
∴（-2）2-4·（）=16，
∴n=3m.
故答案为：B.
【分析】设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系可得x1+x2=-2，x1·x2=，由题意得=4，变形得（x1+x2）2-4x1x2=16，再代入即可求出n与m的关系.
11．【答案】C
【知识点】根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，根据方程有两个不相等的实数根可得，进而解得.
12．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，，即，，
∵，
∴，
∵，无法确定符号，
∴的值无法确定，
∴此选项不符合题意；
B、∵，，
∴，，即，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴此选项不符合题意；
C、∵，，
，，即，
，
，
而，
，，
，
；
∴此选项符合题意；
D、∵，，
∴，，即，，
∵，
∴，
∵，无法确定的符号，
∴的值无法确定，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"得，，根据、判定出、的符号，再由得，代入即可确定判别式的符号，得出的值．
13．【答案】D
【知识点】勾股定理；列一元二次方程
【解析】【解答】解：如图，
根据题意，得OA=OB=x，AC=1，BD=EC=5，BE=CD=10，∠OEB=90°，
∴EA=EC-AC=5-1=4，
∴OE=OA-EA=x-4，
在中，有，
∴可列方程，
故答案为：D.
【分析】先求出EA=4，BE=10，OB=x，∠OEB=90°，从而得OE=x-4，然后在中，利用勾股定理即可列出方程.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
15．【答案】-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=m，x1x2=2m-1，
∵
∴
即
整理得m2-m-6=0，
解得m=-2或m=3，
∵关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0有两个实数根，
∴ ≥0，
∴m2-4(2m-1)≥0，
当m=-2时， =4+24≥0，
当m=3时， =9-20<0，
∴m=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=m，x1x2=2m-1，根据，代入即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值.
16．【答案】-1或3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将实数对代入得到：
则
∴，
故答案为：-1或3 .
【分析】根据题意把将实数对代入得到：解此方程即可求解.
17．【答案】（1）解：能，由题意可得，
解，得．
包装洗衣粉的售价为30或35元
（2）①由题意可得，
化简，得
②日总利润为
即
此时，所以达不到1450元
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A包装洗衣粉每袋售价提高x元，则每袋A包装洗衣粉的利润为(25+x-10)元，由“ A包装洗衣粉售价每提升1元会少卖2袋 ”可得A包装洗衣粉每天的销售数量为(60-2x)袋，根据每袋洗衣粉的利润×每天销售数量=每天销售A包装洗衣粉获取的总利润，建立方程，求解并检验即可；
（2）①设B包装洗衣粉每袋销售价格降低y元，则每天可销售B包装洗衣粉的质量为1×(40+2y)千克；每天销售A包装洗衣粉的质量为2(60-2x)千克，根据销售两种包装洗衣粉的总质量等于厂家每天定额生产的洗衣粉的总质量，列出y与x的关系式，进而再用含x的式子表示出y即可；
②根据每袋利润×每天销售数量=每天获取的总利润，由每天销售(40+2y)袋B包装洗衣粉的利润+每天销售(60-2x)袋A包装洗衣粉的利润=1450建立出方程，然后根据根的判别式判断该方程是否有实数根即可得出答案.
18．【答案】解：任务1：设停车位的宽度为xm，通道的宽度为ym，
由题图可知：4x+2y=32，
∴y=16-2x，
∵停车位总面积为180m2，
∴x(18-y)×2+2x×(18-2y)=180，
把y=16-2x代入，得：
x(18-16+2x) ×2+2x×(18-32+4x)180，
解得：x=5或x=3(舍去)；
∵5>4.8，
∴停车位的宽度符合标准.
任务2：设停车位的总面积为Sm2，由任务1可知：
y=16-2x，
∴S=x(18-y)×2+2x×(18-2y)=x(18-16+2x) ×2+2x×(18-32+4x)
=12x2-24x
=12(x -1)2-12
∵y=16-2x≥4且x≥4.8，
∴4.8≤x≤6，
∴当x=6时，S最大=12×(6-1)2-12=288，
答：当停车位的宽度为6m时，停车位的总面积最大为288m2.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：设停车位的宽度为x，通道的宽度为y，根据图形可知：4x+2y=32，进而得到y=16-2x，根据停车位总面积为180m2，列出方程进行求解后，结合停车位的宽度不小于4.8m进行判断即可；
任务2：设停车位的总面积为S，面积公式表示出S，配方法求最值即可.
19．【答案】（1）解：设上边衬的宽度为xcm，则下边衬的宽度为xcm，左、右边衬的宽度为2xcm，
∴边框的长为34-x-x=(34 -2x)cm，
宽为22-2x-2x=(22-4x)cm；
（2）解：列方程为：
解得：（不合题意，舍去）
因此，长和宽为32cm与18cm．
（3）解：小华的设计规范，理由如下：
照片的长：，
照片的宽：可得
因此，设计符合规范
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设上边衬的宽度为xcm，则下边衬的宽度为xcm，左、右边衬的宽度为2xcm，利用边框的长= 34-上边衬的宽度-下边衬的宽度及边框的宽=22-左边衬的宽度一又边衬的宽度，即可用含x的代数式表示出边框的长和宽；
(2)根据小华设计的边衬面积为172cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入(34-2x)及(22-4x)中，即可求出结论；
(3)求出照片的长、宽，结合照片的长宽比例等于边框的长宽比例，即可得出结论.
20．【答案】（1）
（2）
（3）4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
21．【答案】（1）③
（2）解：解方程得，，
∵原方程为邻根方程，
∴
解得：或
（3）解：设的两个根为，，
由韦达定理得，，
为“邻根方程”.
，可得，
即，
代入得
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）①的两个根为1和－1，不满足邻根方程定义；
②原方程根为3，不满足邻根方程定义；
③两个根为－2和－1，满足邻根方程定义；
故答案为：③．
【分析】（1）先解出每个方程的根，然后根据邻根方程的定义逐个分析判断即可；
（2）先解方程得到，，然后根据邻根方程的定义得到解此方程即可求解；
（3）设的两个根为，，由韦达定理得，，根据邻根方程的定义得到，则，进而代入计算即可．
22．【答案】（1）
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，解得：；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
∴的值为2．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
【分析】（1）利用“最值码”定义求解．
（2）利用 “全整根伴侣方程” 定义可得，转化为关于a的方程求解．
（3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值．
（1）解：在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，
解得；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
故的值为2．
23．【答案】（1）解： ∵x2-x-6=0，
∴（x-3）（x+2）=0，
∴x1=3，x2=-2，
∵3≠-2+1，
∴x2-x-6=0不是“邻根方程”
（2）解： x2-（m-1）x-m=0，
（x-m）（x+1）=0，
∴x1=m，x2=-1，
∵方程x2-（m-1）x-m=0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m=-1+1或m=-1-1，
∴m=0或-2．
（3）解： 若关于x的方程ax2+bx+1=0 是邻根方程，则方程必有2个不同实根，则
设该方程的两根为x1，x2，且x1>x2
由韦达定理得
∴x1-x2==
∵a>0
∴
当a=2时取等号
∴t最大值=4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】 （1）首先解方程求根，比较两根差是否为1；
（2）通过因式分解或求根公式找到根的表达式，利用邻根方程的条件建立方程求解m；
（3）利用邻根方程的条件，结合判别式和韦达定理，将t表示为a的函数后求最大值.
24．【答案】（1）-4
（2）解：方程
∴
∵1＜m＜6
∴17＜4m+13＜37
又方程是“快乐方程”，
∴4m+13 是完全平方数，
∴4m+13=25或36
∴m=3，m=（舍去）
∴方程为可化为：x2-5x=0
∴F（1，-5，0）=
故其“快乐数”数是
（3）解：∵x2-mx+1=0为“快乐方程”，
∴是完全平方数，
设 ，a 为整数，
则（m-2+a）（m-2-a）=8
∴或或或或
或或或
解得m=5或-1或 （舍）或 (舍)，
∴方程为：x2-5x+6=0或x2+x=0；
∵ x2-（n+2）x+2n=0为“快乐方程”，
∴是完全平方数
当m=5时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴
解得：n=3或（舍），
当m=-1时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴
解得：n=0，
综上，n 的值为 0 或 3
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：(1)方程：x2-2x-3=0的快乐数；
故答案为：-4.
【分析】(1)按照快乐数公式即可求解；
(2)按照快乐数公式即可求解；
(3)由x2-mx+m+1=0，求出m的值，再由x2-(n+2)x+2n=0，求出，分m=5，m=-1两种情况分别求出n的值.
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