【精品解析】精选新题速递之平行四边形—浙江省八（下）数学期末复习

精选新题速递之平行四边形—浙江省八（下）数学期末复习
一、选择题
1．（2025八下·宁波期中）如图，在中，以和为斜边分别向内作等腰和等腰，延长和分别交和于点和，直线分别交和于点和.若四边形是正方形，的面积为，下列哪条线段的长度不能用来表示（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·诸暨期中）如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（　　）
A． B．4 C．5 D．
3．（浙江省杭州市保椒塔教育集团2024-2025学年八年级下学期期中数学试题）如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（　　）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．线段的长与点的位置有关
二、填空题
4．（2025八下·长兴期中）如图，平行四边形中，点分别在上，依次连接，图中阴影部分的面积分别为，已知，则　 　．
5．（2025八下·龙泉期中）如图，在中，，点H，G分别是DC，BC边上的动点，连接AH，HG，点为AH的中点，点为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为　 　。
6．（2025八下·瑞安期中）如图，在中，AC，BD相交于点，过点作于点．已知BE，EC，CD的长分别为a，b，c。设的对角线AC的长为x，BD的长为。有如下四个条件：①；②；③；④。从中选取两个条件，能确定的值的条件是　 　（填序号），此时的值是　 　。
7．（2025八下·温州期中）科学实验器具盒的侧面构造如图所示，三条连杆EF，AB，CD连结了两个储物盒（即线段BH和ED）和底面（即AC所在直线），且．拉杆GE与EF的夹角始终等于．其中构成的四边形EFBO和AODC在盒子开启和关闭过程中保持为平行四边形．如图（1），盒子关闭时，CD靠在底座，点和所在直线与底面AC垂直，两个储物盒之间的距离为　 　cm；如图（2），盒子完全打开后，拉杆GE与底面AC平行，则线段BH与图（1）状态时相比，高度上升了　 　cm．
8．（2025八下·滨江期中）用若干根木棒搭平行四边形，在长度分别为的三根木棒中，选择长度是　 　的铁丝作为平行四边形的一边，另两根作为对角线，可搭成平行四边形．
9．（2025八下·龙港期中）由杭州云深处科技打造的智能四足机器人--“绝影”机器狗已在多种行业中示范应用，机器狗水平行走时侧面如图1所示，四边形CDGE，四边形EFHG都是平行四边形，CE=30cm，EF=40cm，∠EFN=30°，∠CEF=60°，则此时CD离地面的高度为　 　cm；当机器狗前脚直立时，侧面如图2所示，此时E，C，D三点刚好共线，∠EFN=30°，∠CEF=75°，则机器狗的身长CD=　 　cm.
10．（浙江省杭州采荷中学2024-2025学年八年级下学期期中测试数学试卷）如图1，在四边形 中，依次取四边中点E，F， H， G， 连结，．P是线段上的一点，连结， 作 交于点 Q．分别沿，，，将四边形 剪裁成五块，再将它们拼成四边形 ．
（1）　 　．
（2）如图2， 连结， 交于点O， 若， 则四边形的周长最小值是　 　．
三、解答题
11．（2025八下·杭州期中）在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答．
（1）在6个图案中，具有中心对称性的图案是____________（填写序号）．
（2）请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有中心对称性．
12．（2025八下·龙泉期中）小华与小红一起研究一个尺规作图问题：
如图1，已知E是边BC上一点（不包含B，C），连结AE，用尺规作，其中是边AD上一点。
小红：如图2，以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小华：以点为圆心，AE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小红：小华，你的作法有问题。
小华：哦．．．．．．我明白了！
（1）根据小红的作法，证明：。
（2）指出小华作法中存在的问题。
13．（2025八下·杭州期中）如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点．
（1）若为中点，求证：．
（2）若，当点在线段上运动时，长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由
（3）在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示．
14．（2025八下·杭州期中）根据所给素材，完成相应任务．
玩转三角板
活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1、图2所示，其中为直角，，，要求两直角顶点重合与重合于点）进行探究活动．
素材1 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．
素材2 李老师发现，在上述操作过程中，与的面积比为定值，而且根据，可以通过旋转很快求出这个比值．
解决问题
任务1 根据图3帮助小聪同学 （1）证明：四边形为平行四边形． （2）计算的面积．
任务2 （3）请你根据李老师的分析，直接写出 ▲ ．
15．（2025八下·越城期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上．
（2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”；
（3）如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度.
16．（2025八下·瑞安期中）尺规作图问题：
如图1，已知，用尺规作图方法作以线段BA，BC为邻边的平行四边形ABCD。如图2，是已完成的部分作图痕迹，小瑞和小安在此基础上各自完成作图。
小瑞：如图3，以点为圆心，BC长为半径作弧，交CD于点，连结AD，则四边形ABCD为平行四边形。
小安：如图3，以点为圆心，AB长为半径作弧，交CD于点，连结AD，则四边形ABCD为平行四边形。
（1）我认为　 　（填“小瑞”或“小安”）的作法更准确，他判定四边形ABCD为平行四边形的依据是　 　。
（2）如图3，点为BC上一点，请只用无刻度直尺在AD上作出点，使得直线EF平分的面积。
17．（2025八下·温州期中）如图1，在Rt中，是线段BC上的动点，是射线CA上的动点，且．设．
（1）当在线段AC上时，用含的代数式表示线段AQ的长．
（2）如图2，是AB的中点，以DP，DQ为邻边构造．
①当点与点重合时，连结MD，求MD的长．
②当点落在的边上时，求AM的长．
18．（2025八下·长兴期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则
（1）如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分．
（2）个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）．
19．（2025八下·温州期中）如图1，在中，对角线AC与BD交于点，点关于AC的对称点为点，连结．
（1）求证：．
（2）当，且时．
①如图2，若三点共线，求四边形的周长．
②如图3，若，求四边形的面积（直接写出答案）．
20．（2025八下·浙江期中）如图，平行四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，∠BAD的平分线交DC的延长线于点E，交BC于点F.
（1）求证：AD=DE；
（2）若∠ADC=60°，(k>1)，连接 OF；
①若 k=2，AC=，求平行四边形ABCD的面积；
②设=m，试求m与k满足的关系。
21．（2025八下·余姚期中）定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线。例：如图1，在□ABCD中，连结AC，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明△ABC与△ADC的面积相等，即AC是□ABCD的等积线.
（1）请利用图1完成例的证明.
（2）如图2，在四边形ABCD中，连结AC，BD，已知点D与BC上一点E的连线段DE是四边形ABCD的等积线，过点E作BD的平行线，交AC于点F，若AC=6，求 CF的长度.
（3）如图3，在（2）的条件下，延长EF，交CD于点G.若FG=EF，请在图中找出一条不同于DE的四边形ABCD的等积线，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设AH=2a， HG=b，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵△BCE和△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠AGD =∠BEC = 90°，
∠ADG =∠BCE =∠GAD =45°，
∴CE=AG，
∵四边形EFGH是正方形，
∠FHG=∠HFG=45°=∠AHI=∠CFJ，
∴△AHI和△CFJ都是等腰直角三角形，CF= AH =2a， ∠DIF =90°，
∵2a+b=AG，
∴平行四边形ABCD的面积
故答案为：A.
【分析】设AH =2a，HG=b， 由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可求FJ，FH，HI的长， 由等腰直角三角形的性质可求AD的长，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设直线EF的解析式为y=kx+b，
∵E(0，5)，F(-5，0)，
∴，解得
∴直线EF的解析式为y=x+5，
设C(x，x+5)，
∵四边形ACBD是平行四边形，A(0，8)，B(0，-2)，
∴D(-x，1-x)，
∴CD2=(2x)2+(1-x-x-5)2=8(x+1)2+8，
∴CD2的最小值是8，
∴CD的最小值是，
故答案为：A.
【分析】利用待定系数法求出直线BP的解析式为y=x+5，设C(x，x+5)，根据平行四边形的性质得D(-x，1-x)由勾股定理可得CD2=(2x)2+(1-x-x-5)2=8(x+1)2+8，根据非负数的性质可得CD2的最小值是8，即可得CD的最小值.
3．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
4．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设空白部分的面积分别是x、y、m、n
∵，
∴①；②
∵，
∴①＋②得，
故答案为：4.
【分析】
根据平行四边形的面积及平行四边形的性质即可列出面积的关系等式，即可解答.
5．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°-120°=60°，
∵点E、F分别是AH、GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，
∴，
当AG最小时，EF有最小值，
当AG⊥BC时，AG最小，
则∠BAG=30°，
此时，，
∴，
即EF的最小值是 ，
故答案为：.
【分析】连接AG，利用三角形中位线定理，可知，求出AG的最小值即可解决问题.
6．【答案】①④；122
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∵
∴，
∴
∴
则
∴，
选择条件①④，
则，
故答案为：①④，122.
【分析】根据平行四边形的性质得到结合勾股定理得到则，进而选择①和④代入计算即可．
7．【答案】5；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BD并延长，交AC于点K，如图：
由题意可得：BK⊥AK，AK=DE=24cm，AK//DE//BH，
在Rt△AKB中，
，
∵四边形EFBO和AODC为平行四边形，
∴OB=EF，OA=CD，
∵AB=2EF=2CD，
∴OA=OB，
∴点O为AB中点，
∵AK//DE，
∴
∴点D为BK中点，
∴
∴两个储物盒之间的距离为5cm，
如图(2)，过点B作BM⊥DE于点M，过点O作ON⊥CA于点N，则∠BMO=90°，
∵四边形EFBO为平行四边形，∠GEF=60°，
∴OB//EF，
∵∠BOE=∠GEF=60°，
∴∠BMO=90°，
∴∠OBM=90°-∠BOE=30°，
∵，
∴，
在Rt△BMO中，
(cm).
同理可得：(cm)，
∴线段BH与图(1)状态时相比，上升的高度为：
故答案为：5；.
【分析】连接BD并延长，交AC于点K，通过勾股定理求出BK的长，再得到，即可得出两个储物盒之间的距离，过点B作BM⊥DE于点M，过点O作ON⊥CA于点N，则∠BMO=90°，通过含30°角的直角三角形得到，根据勾股定理求出，同理得到，即可求出BH上升的高度.
8．【答案】8
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当作为对角线时，，不符合题意；
当作为对角线时，，不符合题意；
当作为对角线时，，符合题意；
∴选择长度是的铁丝作为平行四边形的一边，另两根作为对角线，可搭成平行四边形．
故答案为：8．
【分析】分“作为对角线”、“作为对角线”、“作为对角线”三种情况讨论，利用三角形的三边关系，平行四边形的对角线互相平分判断能否成立．
9．【答案】35；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：图1中，作CP⊥EG于点P，EQ⊥FH于点Q，则∠CPE=∠EQF=90°，
∵四边形EFHG是平行四边形，
∴ЕG∥FН，
∴∠GEF=∠EFN=30°，
∵∠СЕF =60°，
∴∠CEG=∠CEF-∠GEF=30°，
∵在Rt△CEP中，СЕ=30cm，∠CEP=30°，
∴СР=CE=15cm，
∵在Rt△EFQ中，∠EFN=30°，EF=40cm，
∴EQ=EF=20cm，
∴CD离地面的高度为15+20=35 (cm)；
图2中， 作EW⊥DH于点W，则∠EWD=90°，
∴EW∥FH，
∴∠ WEF=∠EFN=30°，
∵∠СЕF = 75°，
∴∠DEW=∠CEF-∠WEF=45°，
∵四边形CEGD与四边形EFHG都是平行四边形，
∴GD=CE=30cm，GH=EF=40cm，
∴DH=30+40=70cm，
∴WD=DH-WH=50cm，
在Rt△EWD中，∠DEW=45°，∠EWD=90°，
∴∠EDW=∠DEW=45°，
∴EW=DW=50cm，
∴DE=cm，
∴CD=DE-CE=()cm.
故答案为：35；.
【分析】图1中，作CP⊥EG于点P，EQ⊥FH于点Q，则∠CPE=∠EQF=90°，由平行四边形对边平行得EG∥FH，由二直线平行，内错角相等得∠GEF=∠EFN=30°，由角的和差得∠CEG=∠CEF-∠GEF=30°，由含30°角直角三角形性质得СР=CE=15cm，EQ=EF=20cm，从而即可求出CD离地面的高度；图2中， 作EW⊥DH于点W，则∠EWD=90°，由二直线平行，内错角相等，得∠ WEF=∠EFN=30°，由角的和差得∠DEW=∠CEF-∠WEF=45°，由平行四边形的对边相等得GD=CE=30cm，GH=EF=40cm，则由线段和差可算出DH=70cm，WD=50cm，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可算出DE的长，最后根据CD=DE-CE可算出答案.
10．【答案】；
【知识点】勾股定理；图形的剪拼；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：，
∴，
∴，MN=NE+EP+PG+GM=2EP+2PG=2EG，
∴；
（2）由（1）可得：MN=2EG，RS=2FH，
根据题意可知：是的中点，
∴，
∴MN=6，RS=6，
作，，则GP2+HP2=HG2，
∵GH∥AC，∠AOD=45°
∴∠1=∠AOD=45°，
∵EG∥FH，
∴∠GHP=∠1=45°，
∴PG=PH=HG=×4=，
∴RN、MS的最小值是，
∴四边形的周长最小值；
故答案为：；．
【分析】（1）直接根据全等三角形的性质求解即可；
（2）首先根据三角形中位线定理得出，即可得出RN、MS的最小值和四边形的周长最小值，最小值是PG的值，再根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可得出结论.
11．【答案】（1）②④⑥
（2）解：如图所示，即为所求；
【知识点】中心对称及中心对称图形；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（1）根据中心对称图形的定义可知，②④⑥都是中心对称图形；
【分析】（1）根据中心对称图形的概念，对六个图形分别分析作出判断；
（2）根据中心对称图形的概念，设计图案．
把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
（1）解：由中心对称图形的定义可知，②④⑥都是中心对称图形；
（2）解：如图所示，即为所求；
12．【答案】（1）在中，，
，
，
四边形AECF为平行四边形，
。
（2）原因：以为圆心，AE长为半径作弧，与BC可能有两个交点，如图所示：
故小华的作法存在问题。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD//BC，即CE//AF，进而可得四边形AECF为平行四边形，再根据平行四边形的性质可得CF//AE.
(2)若以点C为圆心，AB长为半径作弧，与AD可能有两个交点，即可得出答案.
13．【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形
是BC中点
（2）答：F的长度不变，，理由如下：
如图所示，过点C作，垂足为H.
四边形CHFG是矩形
中：
即A、H两点重合，FG总等于对角线AC
（3）解：过点B作，垂足为K，如图1所示，
四边形ABEH是平行四边形
如图2所示，
综上所述，BH等于或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质结合中点的概念可证明，再利用全等的性质即可；
（2）作AB上的高CH，则可证四边形CHFG是矩形，则FG总等于CH，由于平行四边形ABCD中，则，则BH可求，再用勾股定理求得CH，则FG等于CH；
（3）先利用平行四边形的性质求出AH的长，再过点B作AD上的高BK，利用直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得AK、再利用勾股定理求出BK，再分类讨论，当点H在AD上或点H在DA的延长线上，分别利用勾股定理计算即可.
14．【答案】（1）证明：
四边形BCDE是平行四边形
（2）解：如图所示，过O作，垂足分别为M、N.
中：
中：
、
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的面积
【解析】【解答】（3）如图所示：旋转使OE在BO的延长线上.
【分析】（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）过点O分别作DE、BC的高OM、ON，可利用含30度角的直角三角形的性质先求出OD，再运用勾股定理求出OE，再利用等面积法求出OM，ON可利用直角三角形斜边上的路线等于斜边的一半求得，由于DE平行BC，因此M、O、N在三点共线，即MN的长可求，即平行四边形的高MN可知，则面积可求；
（3）旋转使OC、OD互为反向延长线，则OB、OE也互为反向延长线，即此时BE与CD互相垂直，则与的面积比等于OD与OE的比等于.
15．【答案】（1）解：如图，四边形即为所求；（答案不唯一）
（2）连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（3）作于，
四边形平行四边形，
，，，
平分，
，
，
，
四边形是“等邻边四边形”，
当时，；
当时，作于，
，
在中，由勾股定理得，，
；
当时，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上：或或．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)利用格点，画出邻边相等的四边形；
(2)根据题意证△ABE≌△AFE得BE=EF，即得ABEF为等邻边四边形；
(3)分别讨论EB=EF，AF=AB和AF=EF进行讨论，求出DF的长.
16．【答案】（1）小安；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（或且）
（2）解：作法如图所示：
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）由作图可知
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴判定四边形ABCD为平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故答案为：小安，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可求解；
（2）利用两组对边分别相等的四边形为平行四边形，据此构造平行四边形即可.
17．【答案】（1）解：∵∠C=90°，BC=8，AB=10，
∴，
∴CQ=2BP，
∴CQ=2a，
∴AQ=AC-CQ=6-2a
（2）解：①在中，
是AB中点
四边形PBDM是平行四边形
由于与重合，，则
②当在BC边上时，可得
则
当在AC边上时，
则
或1．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)求出AC=6，则可得出答案；
(2)①证明四边形PBDM是平行四边形，得出MD=PB，由于A与Q重合，C0=6，则PB=3，可得出MD=3；
②分两种情况，当M在BC边上时，当M在AC边上时，由平行四边形的性质可得出答案.
18．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
．
【知识点】作图﹣中心对称
【解析】【分析】
（1）根据题干中的知识背景，先找出两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；
（2）先将网格分成两个矩形，找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可．
（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
．
19．【答案】（1）解：，且点与关于AC对称，
．
．
（2）①三点共线，且点与关于AC对称，
．
，
．
为等腰直角三角形．
．
，
．
四边形是平行四边形．
．
．
②过点作的平行线，交分别于点E，F．则四边形为平行四边形，
所以根据可得．
同时，易证为AD中点，为AE中点，则．
设，则．
在Rt中，，
解，得．
．
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②过点C作OB'的平行线，交AD、B'D分别于点E，F，
∵点B与点B'关于AC对称，
∴∠AOB=∠AOB'=∠COD，
∵∠AOB'+∠B'OD+∠COD=2∠AOB'+∠B'OD=180°，∠OB'D+∠B'DO+∠B'OD=2∠OB'D+∠B'OD=180°，
∴∠OB'D=∠AOB'，
∴AC∥B'D，
又∵OB'∥CF，
∴四边形OCFB'是平行四边形，
∴CF=OB'，
∵AC∥B'D，
∴∠CAD=∠ADF=∠CAD，
在△EFD与△ECD中，∠FED=∠CED，ED=ED，∠EDF=∠EDC，
∴△EDF≌△EDC，
∴EF=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=AC，AD=BC=8，OA=OC，
又∵CE⊥AD，
∴AE=DE=AD=4，
∵OB'∥CF，且OA=OC，
∴AH=HE=AE=2，CE=2OH，
设，则．
在Rt中，，
解，得．
．
.
【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得DO=BO，由轴对称性质得OB=OB'，则OB'=OD，然后根据等边对等角可得结论；
（2）①由轴对称性质得AB=AB'，∠BAC=∠B'AC=90°，则△ABC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得；由平行四边形的对边平行且相等可推出AB'∥CD，且AB'=CD，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ACDB'是平行四边形，进而根据平行四边形轴上计算方法可算出答案；
②过C作OB'的平行线，交AD、B'D分别于点E，F，由轴对称的性质及对顶角相等得∠AOB=∠AOB'=∠COD，由三角形的内角和定理及平角定义推出∠OB'D=∠AOB'，由内错角相等两直线平行得AC∥B'D，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形OCFB'是平行四边形，由平行四边形的对边相等得CF=OB'，由二直线平行，内错角相等及等量代换得∠CAD=∠ADF=∠CAD，用ASA判断出△EDF≌△EDC，由全等三角形的对应边相等得EF=EC；由平行四边形性质得AB=CD=AC，AD=BC=8，OA=OC，有等腰三角形的三线合一得AE=DE=AD=4，由三角形的中位线定理得AH=HE=AE=2，CE=2OH，设OH=x，则CE=EF=2x，OD=OB'=CF=4x，在Rt△OHD中，利用勾股定理建立方程求出x的值，从而得出CE、HB'的长，最后根据三角形面积公式，由列式计算即可.
20．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB//DC
∴∠BAE=∠E
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE
∴∠DAE=∠E
∴AD=DE
（2）解：①∵AD=DE， ∠ADC=60°
∴△ADE为等边三角形，
∵
∴DE=AD=2CD，
∴AC⊥DE.
在Rt△ACD中，∠ADC=60°，
∴∠DAC=30°，
∵设CD=x，则AD=2x，
∵，AC2+CD2=AD2，
∴
解得：x=2，
∴CD=2，AD=4.
∴平行四边形ABCD的面积为.
②∵△ADE为等边三角形，
∴∠BAE=∠E=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，S△AOB=S△BOC=S△COD，
∴∠BAE=∠ABC=∠AFB=60°，
∴△BAF为等边三角形，
∴AB=BF.
=，
∴m=1+
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可证明∠BAE=∠E；再结合角平分线的定义可证得∠DAE=∠E，最后利用等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①证明△ADE为等边三角形，再结合k=2，利用“三线合一”的性质可证得AC⊥DE.利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理可得CD=2，进而可计算四边形ABCD的面积；
（2）②证明△BAF为等边三角形，可得AB=BF.由平行四边形的性质可得S△AOB=S△BOC=S△COD，于是可得，结合 即可得答案.
21．【答案】（1）解：如图，作，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
AC是□ABCD的等积线.
（2）解：如图，过点A作BD的平行线交CB的延长线于点H，连接DH，
，，
，，
DE是四边形ABCD的等积线，
，
，
.
（3）解：如图，连接BG，
，
，
，
，
，
BG是四边形ABCD的等积线.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得，再利用平行线的性质证得AE=CF，然后通过三角形的面积公式可判定，故AC是□ABCD的等积线.
(2)过点A作BD的平行线交CB的延长线于点H，利用平行线的性质可得，进而得到，再通过三角形的面积公式证得EH=EC，即可求得.
(3)利用平行线的性质可得，进而证得，故可得BG是四边形ABCD的等积线.
1 / 1精选新题速递之平行四边形—浙江省八（下）数学期末复习
一、选择题
1．（2025八下·宁波期中）如图，在中，以和为斜边分别向内作等腰和等腰，延长和分别交和于点和，直线分别交和于点和.若四边形是正方形，的面积为，下列哪条线段的长度不能用来表示（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设AH=2a， HG=b，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵△BCE和△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠AGD =∠BEC = 90°，
∠ADG =∠BCE =∠GAD =45°，
∴CE=AG，
∵四边形EFGH是正方形，
∠FHG=∠HFG=45°=∠AHI=∠CFJ，
∴△AHI和△CFJ都是等腰直角三角形，CF= AH =2a， ∠DIF =90°，
∵2a+b=AG，
∴平行四边形ABCD的面积
故答案为：A.
【分析】设AH =2a，HG=b， 由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可求FJ，FH，HI的长， 由等腰直角三角形的性质可求AD的长，即可求解.
2．（2025八下·诸暨期中）如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（　　）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设直线EF的解析式为y=kx+b，
∵E(0，5)，F(-5，0)，
∴，解得
∴直线EF的解析式为y=x+5，
设C(x，x+5)，
∵四边形ACBD是平行四边形，A(0，8)，B(0，-2)，
∴D(-x，1-x)，
∴CD2=(2x)2+(1-x-x-5)2=8(x+1)2+8，
∴CD2的最小值是8，
∴CD的最小值是，
故答案为：A.
【分析】利用待定系数法求出直线BP的解析式为y=x+5，设C(x，x+5)，根据平行四边形的性质得D(-x，1-x)由勾股定理可得CD2=(2x)2+(1-x-x-5)2=8(x+1)2+8，根据非负数的性质可得CD2的最小值是8，即可得CD的最小值.
3．（浙江省杭州市保椒塔教育集团2024-2025学年八年级下学期期中数学试题）如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（　　）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．线段的长与点的位置有关
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
二、填空题
4．（2025八下·长兴期中）如图，平行四边形中，点分别在上，依次连接，图中阴影部分的面积分别为，已知，则　 　．
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设空白部分的面积分别是x、y、m、n
∵，
∴①；②
∵，
∴①＋②得，
故答案为：4.
【分析】
根据平行四边形的面积及平行四边形的性质即可列出面积的关系等式，即可解答.
5．（2025八下·龙泉期中）如图，在中，，点H，G分别是DC，BC边上的动点，连接AH，HG，点为AH的中点，点为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为　 　。
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°-120°=60°，
∵点E、F分别是AH、GH的中点，
∴EF是△AGH的中位线，
∴，
当AG最小时，EF有最小值，
当AG⊥BC时，AG最小，
则∠BAG=30°，
此时，，
∴，
即EF的最小值是 ，
故答案为：.
【分析】连接AG，利用三角形中位线定理，可知，求出AG的最小值即可解决问题.
6．（2025八下·瑞安期中）如图，在中，AC，BD相交于点，过点作于点．已知BE，EC，CD的长分别为a，b，c。设的对角线AC的长为x，BD的长为。有如下四个条件：①；②；③；④。从中选取两个条件，能确定的值的条件是　 　（填序号），此时的值是　 　。
【答案】①④；122
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∵
∴，
∴
∴
则
∴，
选择条件①④，
则，
故答案为：①④，122.
【分析】根据平行四边形的性质得到结合勾股定理得到则，进而选择①和④代入计算即可．
7．（2025八下·温州期中）科学实验器具盒的侧面构造如图所示，三条连杆EF，AB，CD连结了两个储物盒（即线段BH和ED）和底面（即AC所在直线），且．拉杆GE与EF的夹角始终等于．其中构成的四边形EFBO和AODC在盒子开启和关闭过程中保持为平行四边形．如图（1），盒子关闭时，CD靠在底座，点和所在直线与底面AC垂直，两个储物盒之间的距离为　 　cm；如图（2），盒子完全打开后，拉杆GE与底面AC平行，则线段BH与图（1）状态时相比，高度上升了　 　cm．
【答案】5；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BD并延长，交AC于点K，如图：
由题意可得：BK⊥AK，AK=DE=24cm，AK//DE//BH，
在Rt△AKB中，
，
∵四边形EFBO和AODC为平行四边形，
∴OB=EF，OA=CD，
∵AB=2EF=2CD，
∴OA=OB，
∴点O为AB中点，
∵AK//DE，
∴
∴点D为BK中点，
∴
∴两个储物盒之间的距离为5cm，
如图(2)，过点B作BM⊥DE于点M，过点O作ON⊥CA于点N，则∠BMO=90°，
∵四边形EFBO为平行四边形，∠GEF=60°，
∴OB//EF，
∵∠BOE=∠GEF=60°，
∴∠BMO=90°，
∴∠OBM=90°-∠BOE=30°，
∵，
∴，
在Rt△BMO中，
(cm).
同理可得：(cm)，
∴线段BH与图(1)状态时相比，上升的高度为：
故答案为：5；.
【分析】连接BD并延长，交AC于点K，通过勾股定理求出BK的长，再得到，即可得出两个储物盒之间的距离，过点B作BM⊥DE于点M，过点O作ON⊥CA于点N，则∠BMO=90°，通过含30°角的直角三角形得到，根据勾股定理求出，同理得到，即可求出BH上升的高度.
8．（2025八下·滨江期中）用若干根木棒搭平行四边形，在长度分别为的三根木棒中，选择长度是　 　的铁丝作为平行四边形的一边，另两根作为对角线，可搭成平行四边形．
【答案】8
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当作为对角线时，，不符合题意；
当作为对角线时，，不符合题意；
当作为对角线时，，符合题意；
∴选择长度是的铁丝作为平行四边形的一边，另两根作为对角线，可搭成平行四边形．
故答案为：8．
【分析】分“作为对角线”、“作为对角线”、“作为对角线”三种情况讨论，利用三角形的三边关系，平行四边形的对角线互相平分判断能否成立．
9．（2025八下·龙港期中）由杭州云深处科技打造的智能四足机器人--“绝影”机器狗已在多种行业中示范应用，机器狗水平行走时侧面如图1所示，四边形CDGE，四边形EFHG都是平行四边形，CE=30cm，EF=40cm，∠EFN=30°，∠CEF=60°，则此时CD离地面的高度为　 　cm；当机器狗前脚直立时，侧面如图2所示，此时E，C，D三点刚好共线，∠EFN=30°，∠CEF=75°，则机器狗的身长CD=　 　cm.
【答案】35；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：图1中，作CP⊥EG于点P，EQ⊥FH于点Q，则∠CPE=∠EQF=90°，
∵四边形EFHG是平行四边形，
∴ЕG∥FН，
∴∠GEF=∠EFN=30°，
∵∠СЕF =60°，
∴∠CEG=∠CEF-∠GEF=30°，
∵在Rt△CEP中，СЕ=30cm，∠CEP=30°，
∴СР=CE=15cm，
∵在Rt△EFQ中，∠EFN=30°，EF=40cm，
∴EQ=EF=20cm，
∴CD离地面的高度为15+20=35 (cm)；
图2中， 作EW⊥DH于点W，则∠EWD=90°，
∴EW∥FH，
∴∠ WEF=∠EFN=30°，
∵∠СЕF = 75°，
∴∠DEW=∠CEF-∠WEF=45°，
∵四边形CEGD与四边形EFHG都是平行四边形，
∴GD=CE=30cm，GH=EF=40cm，
∴DH=30+40=70cm，
∴WD=DH-WH=50cm，
在Rt△EWD中，∠DEW=45°，∠EWD=90°，
∴∠EDW=∠DEW=45°，
∴EW=DW=50cm，
∴DE=cm，
∴CD=DE-CE=()cm.
故答案为：35；.
【分析】图1中，作CP⊥EG于点P，EQ⊥FH于点Q，则∠CPE=∠EQF=90°，由平行四边形对边平行得EG∥FH，由二直线平行，内错角相等得∠GEF=∠EFN=30°，由角的和差得∠CEG=∠CEF-∠GEF=30°，由含30°角直角三角形性质得СР=CE=15cm，EQ=EF=20cm，从而即可求出CD离地面的高度；图2中， 作EW⊥DH于点W，则∠EWD=90°，由二直线平行，内错角相等，得∠ WEF=∠EFN=30°，由角的和差得∠DEW=∠CEF-∠WEF=45°，由平行四边形的对边相等得GD=CE=30cm，GH=EF=40cm，则由线段和差可算出DH=70cm，WD=50cm，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可算出DE的长，最后根据CD=DE-CE可算出答案.
10．（浙江省杭州采荷中学2024-2025学年八年级下学期期中测试数学试卷）如图1，在四边形 中，依次取四边中点E，F， H， G， 连结，．P是线段上的一点，连结， 作 交于点 Q．分别沿，，，将四边形 剪裁成五块，再将它们拼成四边形 ．
（1）　 　．
（2）如图2， 连结， 交于点O， 若， 则四边形的周长最小值是　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；图形的剪拼；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：，
∴，
∴，MN=NE+EP+PG+GM=2EP+2PG=2EG，
∴；
（2）由（1）可得：MN=2EG，RS=2FH，
根据题意可知：是的中点，
∴，
∴MN=6，RS=6，
作，，则GP2+HP2=HG2，
∵GH∥AC，∠AOD=45°
∴∠1=∠AOD=45°，
∵EG∥FH，
∴∠GHP=∠1=45°，
∴PG=PH=HG=×4=，
∴RN、MS的最小值是，
∴四边形的周长最小值；
故答案为：；．
【分析】（1）直接根据全等三角形的性质求解即可；
（2）首先根据三角形中位线定理得出，即可得出RN、MS的最小值和四边形的周长最小值，最小值是PG的值，再根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可得出结论.
三、解答题
11．（2025八下·杭州期中）在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答．
（1）在6个图案中，具有中心对称性的图案是____________（填写序号）．
（2）请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有中心对称性．
【答案】（1）②④⑥
（2）解：如图所示，即为所求；
【知识点】中心对称及中心对称图形；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（1）根据中心对称图形的定义可知，②④⑥都是中心对称图形；
【分析】（1）根据中心对称图形的概念，对六个图形分别分析作出判断；
（2）根据中心对称图形的概念，设计图案．
把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
（1）解：由中心对称图形的定义可知，②④⑥都是中心对称图形；
（2）解：如图所示，即为所求；
12．（2025八下·龙泉期中）小华与小红一起研究一个尺规作图问题：
如图1，已知E是边BC上一点（不包含B，C），连结AE，用尺规作，其中是边AD上一点。
小红：如图2，以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小华：以点为圆心，AE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小红：小华，你的作法有问题。
小华：哦．．．．．．我明白了！
（1）根据小红的作法，证明：。
（2）指出小华作法中存在的问题。
【答案】（1）在中，，
，
，
四边形AECF为平行四边形，
。
（2）原因：以为圆心，AE长为半径作弧，与BC可能有两个交点，如图所示：
故小华的作法存在问题。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD//BC，即CE//AF，进而可得四边形AECF为平行四边形，再根据平行四边形的性质可得CF//AE.
(2)若以点C为圆心，AB长为半径作弧，与AD可能有两个交点，即可得出答案.
13．（2025八下·杭州期中）如图，平行四边形中，为边上的一个动点不与、重合，过点作直线的垂线，垂足为与的延长线相交于点．
（1）若为中点，求证：．
（2）若，当点在线段上运动时，长度是否改变，若不变，求；若改变，请说明理由
（3）在(2)的条件下，为直线上的一点，设，若、、、四点构成平行四边形，请用含x的代数式表示．
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形
是BC中点
（2）答：F的长度不变，，理由如下：
如图所示，过点C作，垂足为H.
四边形CHFG是矩形
中：
即A、H两点重合，FG总等于对角线AC
（3）解：过点B作，垂足为K，如图1所示，
四边形ABEH是平行四边形
如图2所示，
综上所述，BH等于或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质结合中点的概念可证明，再利用全等的性质即可；
（2）作AB上的高CH，则可证四边形CHFG是矩形，则FG总等于CH，由于平行四边形ABCD中，则，则BH可求，再用勾股定理求得CH，则FG等于CH；
（3）先利用平行四边形的性质求出AH的长，再过点B作AD上的高BK，利用直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得AK、再利用勾股定理求出BK，再分类讨论，当点H在AD上或点H在DA的延长线上，分别利用勾股定理计算即可.
14．（2025八下·杭州期中）根据所给素材，完成相应任务．
玩转三角板
活动背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角板，如图1、图2所示，其中为直角，，，要求两直角顶点重合与重合于点）进行探究活动．
素材1 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形是平行四边形．
素材2 李老师发现，在上述操作过程中，与的面积比为定值，而且根据，可以通过旋转很快求出这个比值．
解决问题
任务1 根据图3帮助小聪同学 （1）证明：四边形为平行四边形． （2）计算的面积．
任务2 （3）请你根据李老师的分析，直接写出 ▲ ．
【答案】（1）证明：
四边形BCDE是平行四边形
（2）解：如图所示，过O作，垂足分别为M、N.
中：
中：
、
（3）
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的面积
【解析】【解答】（3）如图所示：旋转使OE在BO的延长线上.
【分析】（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）过点O分别作DE、BC的高OM、ON，可利用含30度角的直角三角形的性质先求出OD，再运用勾股定理求出OE，再利用等面积法求出OM，ON可利用直角三角形斜边上的路线等于斜边的一半求得，由于DE平行BC，因此M、O、N在三点共线，即MN的长可求，即平行四边形的高MN可知，则面积可求；
（3）旋转使OC、OD互为反向延长线，则OB、OE也互为反向延长线，即此时BE与CD互相垂直，则与的面积比等于OD与OE的比等于.
15．（2025八下·越城期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形要求顶点在网格格点上．
（2）如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”；
（3）如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请直接写出的长度.
【答案】（1）解：如图，四边形即为所求；（答案不唯一）
（2）连接，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
)，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（3）作于，
四边形平行四边形，
，，，
平分，
，
，
，
四边形是“等邻边四边形”，
当时，；
当时，作于，
，
在中，由勾股定理得，，
；
当时，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上：或或．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)利用格点，画出邻边相等的四边形；
(2)根据题意证△ABE≌△AFE得BE=EF，即得ABEF为等邻边四边形；
(3)分别讨论EB=EF，AF=AB和AF=EF进行讨论，求出DF的长.
16．（2025八下·瑞安期中）尺规作图问题：
如图1，已知，用尺规作图方法作以线段BA，BC为邻边的平行四边形ABCD。如图2，是已完成的部分作图痕迹，小瑞和小安在此基础上各自完成作图。
小瑞：如图3，以点为圆心，BC长为半径作弧，交CD于点，连结AD，则四边形ABCD为平行四边形。
小安：如图3，以点为圆心，AB长为半径作弧，交CD于点，连结AD，则四边形ABCD为平行四边形。
（1）我认为　 　（填“小瑞”或“小安”）的作法更准确，他判定四边形ABCD为平行四边形的依据是　 　。
（2）如图3，点为BC上一点，请只用无刻度直尺在AD上作出点，使得直线EF平分的面积。
【答案】（1）小安；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（或且）
（2）解：作法如图所示：
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）由作图可知
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴判定四边形ABCD为平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故答案为：小安，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可求解；
（2）利用两组对边分别相等的四边形为平行四边形，据此构造平行四边形即可.
17．（2025八下·温州期中）如图1，在Rt中，是线段BC上的动点，是射线CA上的动点，且．设．
（1）当在线段AC上时，用含的代数式表示线段AQ的长．
（2）如图2，是AB的中点，以DP，DQ为邻边构造．
①当点与点重合时，连结MD，求MD的长．
②当点落在的边上时，求AM的长．
【答案】（1）解：∵∠C=90°，BC=8，AB=10，
∴，
∴CQ=2BP，
∴CQ=2a，
∴AQ=AC-CQ=6-2a
（2）解：①在中，
是AB中点
四边形PBDM是平行四边形
由于与重合，，则
②当在BC边上时，可得
则
当在AC边上时，
则
或1．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)求出AC=6，则可得出答案；
(2)①证明四边形PBDM是平行四边形，得出MD=PB，由于A与Q重合，C0=6，则PB=3，可得出MD=3；
②分两种情况，当M在BC边上时，当M在AC边上时，由平行四边形的性质可得出答案.
18．（2025八下·长兴期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则
（1）如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分．
（2）个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
．
【知识点】作图﹣中心对称
【解析】【分析】
（1）根据题干中的知识背景，先找出两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；
（2）先将网格分成两个矩形，找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可．
（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
．
19．（2025八下·温州期中）如图1，在中，对角线AC与BD交于点，点关于AC的对称点为点，连结．
（1）求证：．
（2）当，且时．
①如图2，若三点共线，求四边形的周长．
②如图3，若，求四边形的面积（直接写出答案）．
【答案】（1）解：，且点与关于AC对称，
．
．
（2）①三点共线，且点与关于AC对称，
．
，
．
为等腰直角三角形．
．
，
．
四边形是平行四边形．
．
．
②过点作的平行线，交分别于点E，F．则四边形为平行四边形，
所以根据可得．
同时，易证为AD中点，为AE中点，则．
设，则．
在Rt中，，
解，得．
．
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②过点C作OB'的平行线，交AD、B'D分别于点E，F，
∵点B与点B'关于AC对称，
∴∠AOB=∠AOB'=∠COD，
∵∠AOB'+∠B'OD+∠COD=2∠AOB'+∠B'OD=180°，∠OB'D+∠B'DO+∠B'OD=2∠OB'D+∠B'OD=180°，
∴∠OB'D=∠AOB'，
∴AC∥B'D，
又∵OB'∥CF，
∴四边形OCFB'是平行四边形，
∴CF=OB'，
∵AC∥B'D，
∴∠CAD=∠ADF=∠CAD，
在△EFD与△ECD中，∠FED=∠CED，ED=ED，∠EDF=∠EDC，
∴△EDF≌△EDC，
∴EF=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=AC，AD=BC=8，OA=OC，
又∵CE⊥AD，
∴AE=DE=AD=4，
∵OB'∥CF，且OA=OC，
∴AH=HE=AE=2，CE=2OH，
设，则．
在Rt中，，
解，得．
．
.
【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得DO=BO，由轴对称性质得OB=OB'，则OB'=OD，然后根据等边对等角可得结论；
（2）①由轴对称性质得AB=AB'，∠BAC=∠B'AC=90°，则△ABC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得；由平行四边形的对边平行且相等可推出AB'∥CD，且AB'=CD，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ACDB'是平行四边形，进而根据平行四边形轴上计算方法可算出答案；
②过C作OB'的平行线，交AD、B'D分别于点E，F，由轴对称的性质及对顶角相等得∠AOB=∠AOB'=∠COD，由三角形的内角和定理及平角定义推出∠OB'D=∠AOB'，由内错角相等两直线平行得AC∥B'D，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形OCFB'是平行四边形，由平行四边形的对边相等得CF=OB'，由二直线平行，内错角相等及等量代换得∠CAD=∠ADF=∠CAD，用ASA判断出△EDF≌△EDC，由全等三角形的对应边相等得EF=EC；由平行四边形性质得AB=CD=AC，AD=BC=8，OA=OC，有等腰三角形的三线合一得AE=DE=AD=4，由三角形的中位线定理得AH=HE=AE=2，CE=2OH，设OH=x，则CE=EF=2x，OD=OB'=CF=4x，在Rt△OHD中，利用勾股定理建立方程求出x的值，从而得出CE、HB'的长，最后根据三角形面积公式，由列式计算即可.
20．（2025八下·浙江期中）如图，平行四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，∠BAD的平分线交DC的延长线于点E，交BC于点F.
（1）求证：AD=DE；
（2）若∠ADC=60°，(k>1)，连接 OF；
①若 k=2，AC=，求平行四边形ABCD的面积；
②设=m，试求m与k满足的关系。
【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB//DC
∴∠BAE=∠E
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE
∴∠DAE=∠E
∴AD=DE
（2）解：①∵AD=DE， ∠ADC=60°
∴△ADE为等边三角形，
∵
∴DE=AD=2CD，
∴AC⊥DE.
在Rt△ACD中，∠ADC=60°，
∴∠DAC=30°，
∵设CD=x，则AD=2x，
∵，AC2+CD2=AD2，
∴
解得：x=2，
∴CD=2，AD=4.
∴平行四边形ABCD的面积为.
②∵△ADE为等边三角形，
∴∠BAE=∠E=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，S△AOB=S△BOC=S△COD，
∴∠BAE=∠ABC=∠AFB=60°，
∴△BAF为等边三角形，
∴AB=BF.
=，
∴m=1+
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可证明∠BAE=∠E；再结合角平分线的定义可证得∠DAE=∠E，最后利用等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）①证明△ADE为等边三角形，再结合k=2，利用“三线合一”的性质可证得AC⊥DE.利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理可得CD=2，进而可计算四边形ABCD的面积；
（2）②证明△BAF为等边三角形，可得AB=BF.由平行四边形的性质可得S△AOB=S△BOC=S△COD，于是可得，结合 即可得答案.
21．（2025八下·余姚期中）定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线。例：如图1，在□ABCD中，连结AC，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底（同底）等高的两个三角形面积相等”来说明△ABC与△ADC的面积相等，即AC是□ABCD的等积线.
（1）请利用图1完成例的证明.
（2）如图2，在四边形ABCD中，连结AC，BD，已知点D与BC上一点E的连线段DE是四边形ABCD的等积线，过点E作BD的平行线，交AC于点F，若AC=6，求 CF的长度.
（3）如图3，在（2）的条件下，延长EF，交CD于点G.若FG=EF，请在图中找出一条不同于DE的四边形ABCD的等积线，并说明理由.
【答案】（1）解：如图，作，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
AC是□ABCD的等积线.
（2）解：如图，过点A作BD的平行线交CB的延长线于点H，连接DH，
，，
，，
DE是四边形ABCD的等积线，
，
，
.
（3）解：如图，连接BG，
，
，
，
，
，
BG是四边形ABCD的等积线.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得，再利用平行线的性质证得AE=CF，然后通过三角形的面积公式可判定，故AC是□ABCD的等积线.
(2)过点A作BD的平行线交CB的延长线于点H，利用平行线的性质可得，进而得到，再通过三角形的面积公式证得EH=EC，即可求得.
(3)利用平行线的性质可得，进而证得，故可得BG是四边形ABCD的等积线.
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