八年级数学下册浙教版 3.3《方差和标准差》小节复习题（含解析）

3.3《方差和标准差》小节复习题
题型01 求方差
1．一组数据2、4、4、6中加入数字4，组成一组新的数据，对比前后两组数据，变化的是( )
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
2.某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是( )
A．1 B．5 C． D．
3．一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的中位数是 ，方差是 ．
4．某学校在第三次数学学科评价5组的数学成绩是106，109，110，111，114；8组的数成绩是105，107，109，110，119，则这两个小组本次学科评价中数学成绩波动小的一组是 组
(方差公式 )
5．“共抗疫情，爱国力行”，为加强抗击疫情的爱国主义教育宣传，某中学开展防疫知识线上竞赛活动，八年级(1)、(2)班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩(满分为分)如图所示．
(1)请你计算两个班的平均成绩各是多少分；
(2)直接写出两个班竞赛成绩的中位数，八年级(1)班______，八年级(2)班______；
(3)请结合两班竞赛成绩的平均数和中位数，你认为 个班的竞赛成绩较好；
(4)计算两个班竞赛成绩的方差，八年级(1)方差为______，八年级(2)方差为______，并说明______班的成绩较为整齐．
题型02 利用方差求未知数据的值
1．若一组数据2，3，4，的方差比另一组数据5，6，7，8的方差大，则的值可能是( )
A．1 B．3 C．5 D．7
2．若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是( )
A．10 B．8 C．6 D．4
3．在对一组样本数据进行分析时，小明列出了计算方差的式子：，则 ．
4．在方差计算公式，若，分别表示这组数据的个数和平均数，则的值为 ．
5．某校为加强学生消防安全教育，要了解全校共1200名同学对消防知识的掌握情况，对他们进行了消防知识测试．现随机抽取甲，乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：
78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生测试成绩分别为：
81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97．
【分析数据】
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 92 100 a
乙 90 b 91
【应用数据】
(1)根据以上信息，可以求出：_____分，______分；
(2)在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算乙班这组数据的方差时，公式中的______，______；
(3)结合以上数据，利用平均数或方差对两个班的成绩进行分析．
题型03 根据方差判断稳定性
1．为筹备班级联欢会，班长对全班学生爱吃的水果进行了民意调查，那么最终买什么水果，下面的数据最值得关注的是( )
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
2．甲、乙、丙、丁四位同学在四次数学测验中成绩的平均数相同，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是( )
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
3．甲、乙、丙、丁四名同学进行1000米测试，每人5次测试成绩的平均数都是4分05秒，方差分别为，则这四名同学1000米成绩最稳定的是 ．
4．甲、乙两位同学在五次数学测试中，平均成绩均为分，方差分别为，，甲、乙两位同学中成绩较稳定的是 同学．
5．某小组去年3月至10月对当地西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息．
a．西红柿与黄瓜市场价格的折线图：
b．西红柿与黄瓜价格的平均数和中位数：
蔬菜价格 平均数(精确到0.1) 中位数
西红柿(元/千克) 6.1 m
黄瓜(元/千克) n 6
根据以上信息，回答下列问题：
(1) ， ；
(2)在西红柿与黄瓜中， 的价格相对更稳定(填西红柿或黄瓜)；
(3)如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测今年这两种蔬菜在 月的产量相对更高．
题型04 运用方差做决策
1．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 180 185 185 180
方差
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员选拔赛成绩的平均数与方差S2．根据表中数据，要从中选择一名成绩好，又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择(　　)
甲 乙 丙 丁
平均数/ 561 560 561 560
方差 15.5 3.5 3.5 15.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．果农随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选棵，每棵产量的平均数(单位：千克)及方差(单位：千克)如下表所示，他准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是 ．
甲 乙 丙
4．新郑红枣又名鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某外贸公司从甲、乙两个红枣厂家各随机抽取15盒进行检测，平均质量都是200克/盒，方差分别是，，你认为外贸公司会选择 红枣厂家．(填“甲”或“乙”)．
5．为让学生了解广西的历史、地理等方面的知识，增强文化教育，某校组织学生进行“壮美家乡知多少”知识竞赛，满分分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组每组人学生成绩如下单位：分：
甲组：，，，，，，，，，
乙组：，，，，，，，，，
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 3.76
乙组 1.16
(1)以上成绩统计分析表中_______，_______，_______；
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_______组的学生；
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
题型05 求极差
1．某学习小组的5名同学在一次数学文化节竞赛活动中的成绩(单位：分)分别是92，96，90，92，85，则下列结论不正确的是( )
A．中位数是92 B．众数是92 C．平均数是91 D．极差是7
2．成都市某一周内每天的最高气温为：(单位：)，则这组数据的极差为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
3．东海某日天气预报显示最高气温为，最低气温为，则该日的气温极差为 ．
4．某学习小组共20人，他们的一次数学考试成绩如下表：
分数 60 70 79 80 85 90 95 100
人数 1 1 2 5 2 7 1 1
这20人成绩的中位数是 分，众数是 分，极差是 分．
5．为强化防溺水安全教育，提高学生安全意识和自我保护能力．某校组织了“珍爱生命，预防溺水”安全知识竞赛，满分100分．以下是从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行统计，过程如下：
[收集数据]
七年级：99，95，95，91，100，86，77，93，85，79
八年级：99，91，97，63，96，97，100，94，87，76
[整理数据]
年级
七年级 0 2 6
八年级 1 1 1 7
[分析数据]
年级 平均数 众数 中位数 极差
七年级 90 95 b 23
八年级 90 c 95 d
[应用数据]
(1)由上表填空：______，______，______，______；
(2)你认为哪个年级的学生对防溺水安全知识了解水平较高？请说明理由．
题型06 已知极差求未知数据
1．如果一组数据，0，3，5，的极差是9，那么x的值(　　)
A．9 B．7 C． D．7或
2．若一组数据，0，2，5，x的极差为8，则x的值是( )．
A． B．8或 C．8 D．7或
3．已知一个样本有50个数据，其中最大值为83，最小值为32，若取组距为10，则应把它分成 组．
4．若五个数据2，，3，x，5的极差为8，则x的值为 ．
5．如果一组数据1，3，5，x的极差为6，求这组数据的平均数．
题型07 标准差
1．已知样本数据，下列说法不正确的是( )
A．平均数是3 B．方差是2 C．中位数是4 D．标准差是
2．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，每人射击20发子弹．他们射击成绩的平均数及标准差如下表所示：
人员成绩 甲 乙 丙 丁
平均数(环) 8.7 8.7 9.1 9.1
标准差(环) 1.3 1.5 1.0 1.2
若要选一名成绩较好且发挥稳定的运动员参奏，则应选择( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．已知四个数据的方差是，那么四个数据的标准差是 ．
4．已知一个样本1、a、3、4、7，它的平均数是4，则这个样本的标准差是 ．
5．(1)若一组数据…，的方差是9，则数据，…，的方差是多少？
(2)若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以9，则所得到的一组新数据的标准差是多少？
(3)若一组数据…，的方差为，将这组数据中的每个数乘以a，再加上b，那么得到的一组新数据的方差是多少？标准差是多少？
参考答案
题型01 求方差
1．D
【分析】根据平均数的定义：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，叫做这组数据的算术平均数，简称平均数；众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据；中位数的定义：一组数据中，处在最中间或处在最中间的两个数的平均数；方差的定义：一组数据中各个数据与它们平均数的差的平方的和的平均数，进行求解即可．
【详解】解：由题意得：原来的平均数为，
加入数字4之后的平均数为，
∴平均数没有发生变化，故A选项不符合题意；
原数据处在最中间的两个数为4和4，
∴原数据的中位数为4，
把新数据从小到大排列为2、4、4、4、6，处在最中间的数是4，
∴新数据的中位数为4，
∴中位数没有发生变化，故B选项不符合题意；
原数据中4出现的次数最多，
∴原数据的众数为4，
新数据中4出现的次数最多，
∴新数据的众数为4，
∴众数没有发生变化，故C选项不符合题意；
原数据的方差为，
新数据的方差为，
∴方差发生了变化，故D选项符合题意；
故选D．
2．D
【分析】本题主要考查方差的定义及加权平均数的计算公式，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中各个符号的含义．
【详解】解：由题意知，这组数据为、、、、、、、、、，
∴这组数据的的平均数为，
故选D．
3． 5
【分析】本题考查了已知平均数求数据中的未知数、求方差以及中位数，先求出的值，再根据中位数的定义：把数值排序后取中间位置的数；结合方差公式代入数值进行计算，据此即可作答．
【详解】解：，
这组数据为，，，，，
故中位数为．
，
故答案为：，．
4．5
【分析】本题考查了算术平均数、方差，先分别计算两组的平均数，然后利用方差公式计算两组的方差即可．
【详解】解：5组的平均数为，
8组的平均数为，
5组的方差为，
8组的方差为，
∵，
∴波动小的一组是5组．
故答案为：5．
5．(1)解：由题意可得，
八(1)班的平均数为：，
八(2)班的平均数为：，
∴八年(1)班平均成绩是分，八年(2)班平均成绩是分；
(2)解：由题意可得，
八(1)班的数据为：，八(2)班的数据为：，
∴八(1)班的中位数为：，八(2)班的中位数为：，
故答案为：分，分；
(3)解：∵两班的平均数相同，八(1)的中位数低于八(2)班的中位数，
∴八(2)班的竞赛成绩较好；
(4)解：由题意可得，
八(1)班的方差为：，
八(2)班的方差为：，
∵，
∴八年级(1)班的成绩较为整齐，
故答案为：，，八年级(1)．
题型02 利用方差求未知数据的值
1．D
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义．观察两组数据分布特点，根据方差的意义求解，也可先计算出后一组数据的方差，再取一个x的值计算出前一组数据的方差求解．
【详解】解：数据5，6，7，8，每2个数相差1；数据2，3，4， x的前3个数据也相差1，若或，两组数据方差相等，
而数据2，3，4，的方差比另一组数5，6，7，8的方差大，说明2，3，4，的波动大，则x的值可能是7，
故D正确．
故选D．
2．A
【分析】本题主要考查方差，观察两组数据分布特点，根据方差表示的是数据波动大小求解．
【详解】数据11、13、15、17、19中，相邻两个数相差为2，一组数据1，3，5，7，前4个数据也是相差2，数据波动一致，
∴若或时，两组数据方差相等，
当时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19小，即方差更小，
当或时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19大，即方差更大，
则的值不可能是10．
故选：A．
3．5
【分析】本题考查方差和平均数的应用，解题的关键是根据方差的定义得出这组数据．
根据公式找出这组数据、平均数，根据平均数公式计算出x即可．
【详解】
这组数据为：3，5，x，4，3，平均数为：4，
，
故答案为：5
4．
【分析】本题考查了方差的公式，理解公式的意义是解题的关键．
【详解】方差计算公式，，分别表示这组数据的个数和平均数，
∴，
∴，
故答案为：．
5．(1)解：把甲班15名学生测试成绩从小到大排列为
78，83，85，87，89，90，92，93，97，94，95，98，99，100，100，
位于正中间的数为93分，
∴，
乙班15名学生测试成绩中87分的人数最多，
∴乙班的众数，
故答案为：93，87；
(2)解：根据题意得：，；
故答案为：15，90；
(3)解：从平均分看，甲班成绩的平均数大于乙班，
所以甲班整体平均成绩大于乙班；
从方差看，甲班成绩的方差大于乙班，
所以乙班成绩更稳定．
题型03 根据方差判断稳定性
1．A
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．
【详解】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．
故选A．
2．D
【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：∵，，，，，
∴
∴成绩最稳定的是丁同学，
故选：D．
3．丁
【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，熟知方差越小成绩越稳定是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴方差最小的为丁，
∴这四名同学1000米成绩最稳定的是丁．
故答案为：丁．
4．甲
【分析】本题主要考查了方差，方差是衡量一组数据稳定程度的一个度量，方差越小，其数据越稳定．两组数据进行比较，方差小的一组更稳定．
【详解】解：，，，
，
甲同学的成绩较稳定，
故答案为：甲．
5．(1)解：把西红柿的价格从小到大排列，排在中间的两个数分别是6和7，故中位数；
；
故答案为：6.5；7.0；
(2)解：由折线统计图可知，西红柿的价格在5元/千克至10元/千克徘徊，黄瓜的价格在3元/千克至10元/千克徘徊，所以在西红柿与黄瓜中，西红柿的价格相对更稳定．
故答案为：西红柿；
(3)解：由统计图可知，6月份两种蔬菜的价格最低，所以如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在6月的产量相对更高．
故答案为：6．
题型04 运用方差做决策
1．B
【分析】本题考查用平均数和方差做决策，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．先比较平均数，再比较方差，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．
【详解】解：∵且，
∴乙的平均数高且方差小发挥稳定性好，应该选择乙．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了平均数和方差的知识，掌握平均数和方差的意义即可解决问题．本题选择平均数大且方差小的即可．
【详解】因为队员乙和丙的方差最小，但队员乙平均数小，所以丙的成绩好，所以队员丙成绩好又发挥稳定．
故选：C．
3．甲
【分析】本题考查了方差和平均数，先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定，即可求解，掌握方差越小数据越稳定是解题的关键．
【详解】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，
即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；
故答案为：甲．
4．乙
【分析】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，根据方差的意义可作出判断．
【详解】解：∵甲、乙两个红枣厂家各随机抽取15盒进行检测，平均质量都是200克/盒，方差分别是，，
，
∴较整齐的是乙厂，外贸公司会选择乙红枣厂家，
故答案为：乙．
5．(1)解：把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数；
，
乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数．
故答案为：6；6.8；7；
(2)解：小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上，
故答案为：甲；
(3)解：选乙组参加决赛．理由如下：
∵两组平均数相同，，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
题型05 求极差
1．D
【分析】本题查了中位数、众数、平均数以及极差．直接根据中位数、众数、平均数以及极差的计算公式对各选项进行判断．
【详解】解：A．这组数据按从小到大排列为：85、90、92、92、96，所以这组数据的中位数是92，不符合题意；
B、这组数据的众数是92分，不符合题意；
C、这组数据的平均分是，不符合题意；
D、这组数据极差是，符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】根据极差是最大值减去最小值进行计算即可．
【详解】解：；
故选C．
3．12
【分析】此题考查了极差，熟练掌握极差的定义是解题的关键．最大值与最小值的差叫做极差，根据极差定义进行求解即可．
【详解】解：，
该日的气温极差为，
故答案为：12．
4． 85 90 40
【分析】此题主要考查了中位数、众数以及极差的定义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用中位数、众数以及极差的定义分别分析得出答案．
【详解】解：这组数据按从小到大排列，第10个和第11个数都是85分，所以这组数据的中位数为(分，
这组数据中90分最多有7个，所以众数是90(分，
极差是(分．
故答案为：85，90，40．
5．解：(1)由收集数据，可得七年级成绩为的学生人数有2人，
，
将七年级成绩从小到大排序为：77，79，85，86，91，93，95，95，99，100，
七年级成绩的中位数为：，
，
八年级的成绩为97的人数最多，即众数为97，
，
八年级的成绩最大值为，最小值为63，极差为：，
；
故答案为：2；92；97；37；
(2)八年级的学生对防溺水知识了解水平较高，理由如下：
从平均数看，两个年级的平均成绩相同；从中位数和众数来看，八年级的中位数和众数都高于七年级的中位数和众数；从极差来看，七年级的极差较八年级低；综合来看八年级的学生对防溺水知识了解水平较高．
题型06 已知极差求未知数据
1．D
【分析】根据极差的概念求解．
【详解】解：当为最大值时，，
解得：，
当为最小值时，，
解得：．
故选：D．
2．D
【分析】当x为最大值和最小值时分别根据极差列方程即可．
【详解】解：当x为最大值时，
，
解得；
当x为最小值时，
，
解得，
故选D．
3．6
【分析】先计算出该组数据的极差，根据组数极差组距即可求解．
【详解】解：最大值为83，最小值为32，
，
(组)(进一法取近似值)，
故答案为：6．
4．7或
【分析】根据题目给的数据和极差的定义，可分两种情况讨论：x是最大值和x是最小值，分别列式计算，可求解．
【详解】解：由题意可得：极差是8，故x不可能是中间值，
若x是最大值，则，∴，
若x是最小值，则，∴，
则x的值为7或，
故答案为：7或．
5．解：一组数据1，3，5，x的极差是6，
当x为最大值时，x-1=6，则x=7，平均数是：(1+3+5+7)÷4=4；
当x是最小值时，5-x=6，解得：x=-1，平均数是：(-1+1+3+5)÷4=2．
故答案为：4或2．
题型07 标准差
1．C
【分析】根据平均数、方差、中位数和极差的定义逐项判断即得答案.
【详解】解：A、这组数据的平均数为，故本选项说法正确；
B、这组数据的方差是，故本选项说法正确；
C、这组数据的中位数是3，故本选项说法不正确；
D、这组数据的标准差是，故本选项说法正确；
故选：C.
2．C
【分析】先比较平均数，再比较标准差，然后得出丙的方差小于丁的方差，从而得出答案．
【详解】解：由图可知，丙和丁的平均成绩好，
∵丙的标准差小于丁的标准差，
∴丙的方差小于丁的方差，
∴若要选一名成绩较好且发挥稳定的运动员参奏，则应选择丙，
故选：C．
3．
【分析】本题考查了标准差，先求出四个数据的方差，再根据标准差是方差的算术平方根即可求解，掌握方差的计算公式是解题的关键．
【详解】解：设原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了，则平均数变为，
则原数据的方差，
现在的方差，
，
∴数据的标准差为，
故答案为：．
4．
【分析】先由平均数的公式计算出a的值，根据方差的公式计算出方差，再计算标准差．
【详解】解：由题意得：
解得：
方差
∴标准差
故答案为：．
5．解：(1)设…，的平均数为，
则，…，的平均数为．
因为，
所以，…，的方差为
．
(2)设其平均数为a，则将每个数据都乘以9之后得到的新数分别为，…，，其平均数为，
所以原数据方差为
，
所以新数组，…，的标准差为．
(3)由(2)的结论可知这组数据中的每个数乘以a得到的新数组的方程为，
再根据(1)的结论可知将数据，…，中的每一个数都加上b以后得到的新数组与数组，…，的方差一样，仍为，
所以最后得到的新数组的标准差．