4.5《三角形的中位线》小节复习题
题型01 与三角形中位线有关的求解问题
1.如图,平行四边形的对角线,相交于点,点为中点,,,则平行四边形的周长为( )
A.12 B.14 C.24 D.28
2.如图,在中,,是边上的高,垂足为D,点F在边上,连接,E为的中点,连接,若,则的长为( )
A.3 B.6 C.5 D.4
3.如图,在平行四边形中,,E为上一动点,M,N分别为的中点,则的长为 .
4.如图,中,D,E分别是,的中点,F是延长线上的一点,且,若,,则的长为 .
5.如图,在中,D为斜边的中点,E为上一点,F为中点,若,.
(1)求证:为的角平分线;
(2)求的长.
题型02 三角形中位线与三角形面积问题
1.如图,是的中位线,是的中点,的延长线交于点,若的面积为2,则的面积为( )
A.4 B.6 C.8 D.9
2.如图,在中,平分,于点D,且,则的面积为( )
A.4 B.5 C.6 D.8
3.如图,在与中,点,,分别是,,的中点,若的面积等于,则的面积为
4.如图,是的中位线,M是的中点,的延长线交于N,那么 ,S DMN:S四边形ANME = .
5.公股定理神奇而美丽,它的证法多种多样,在学习了教材中介绍的拼图证法以后,小华突发灵感,给出了如图拼图:两个全等的直角三角板 和直角三角板 ,顶点F在边止,顶点C、D重合,连接 、.设、交于点G., , ( ),. 请你回答以下问题:
(1)请猜想与的位置关系,并加以证明.
(2)填空: =___________(用含有c的代数式表示)
(3)请尝试利用此图形证明勾股定理.
题型03 与三角形中位线有关的证明
1.如图,四边形中,点、、、分别是线段、、、的中点,则四边形的周长( )
A.只与、的长有关 B.只与、的长有关
C.只与、的长有关 D.与四边形各边的长都有关
2.如图,在中,,,,点D,E,F分别是,,的中点,连接,,则四边形的周长为( )
A.6 B.9 C.11 D.13
3.如图,在ABC中,点D,E,F分别是边,,上的中点,且,,则四边形的周长等于 .
4.如图,在中,,,分别为,的中点,平分,交于点,若,,则的长为 .
5.如图,已知平行四边形ABCD,、相交于点O,延长到点E,使,连接.
(1)求证:四边形是平行四边形:
(2)连接,交于点F,连接,判断与的数量关系,并说明理由.
题型04 三角形中位线的实际应用
1.如图,施工队打算测量,两地之间的距离,但,两地之间有一个池塘,于是施工队在处取点,连接,,测量,的中点之间的距离是,则两地之间距离为( )
A. B. C. D.
2.如图,为测量池塘两端的距离,可先在平地上取一个点,从点不经过池塘可以直接到达点和,连接,,分别取、的中点,,连接后,量出的长为12米,那么就可以算出,的距离是( )
A.36米 B.24米 C.12米 D.6米
3.如图所示,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,找到,的中点D,E,并且测出的长为,则A,B间的距离为 .
4.某地需要开辟一条隧道,隧道的长度无法直接测量,如图所示,在地面上取一点,使到、两点均可直接到达,测量找到和的中点、,测得的长为1800米,则隧道的长度为 米.
5.如图1,在平行四边形中,点E、F分别为,的中点,点G,H在对角线上,且.
(1)求证:四边形是平行四边形.
(2)如图2,连接交于点O,若,,,求的长.
题型05 三角形中位线的综合问题
1.如图1,中,,是的中位线,动点从点出发,以每秒的速度沿的方向运动,到达点时停止.设点运动(秒)时,的面积为,如图2是关于的函数图象,则图2中,的值分别是( )
A., B., C., D.,
2.如图,在中,,点在上,为的中点,连结,,,,则的长为( )
A. B.3 C. D.4
3.如图.点A、B的坐标分别为 ,C为坐标平面内一点,,点为线段的中点,连接,则的最小值为 .
4.如图,平行四边形ABCD的顶点C在等边的边上,点E在的延长线上,G为的中点,连接.若,则的长为 .
5.在四边形中,对角线,相交于点,.
(1)如图1,若,求证:;
(2)已知;
①如图2,若,求证:;
②如图3,分别取,的中点,,连接,求的值.
6.如图,已知正方形,,点在边上,射线交于点,交射线于点,过点C作,交于点.
(1)求证:.
(2)判断的形状,并说明理由.
(3)作的中点,连结,若,求的长.
7.已知,是的中线,过点作.
(1)如图1,交于点,连接.求证:四边形是平行四边形;
(2)是线段上一点(不与点A,重合),交于点,交于点,连接.如图2,四边形是平行四边形吗?请说明理由.
参考答案
题型01 与三角形中位线有关的求解问题
1.D
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理首先证明,再由,,推出即可解决问题.
【详解】解:∵四边形是平行四边形,
∴,
∵是中点
∴,
∴是的中位线,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴平行四边形的周长,
故选:D.
2.D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质,三角形中位线的性质,掌握三角形中位线平行于第三边,且等于第三边的一半是解题关键.根据等腰三角形三线合一的性质,得到是的中位线,进而得出,即可求出的长.
【详解】解:在中,,是边上的高,
为中点,
E为的中点,
是的中位线,
,
,
故选:D.
3.9
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理.首先由平行四边形的对边相等的性质求得;然后利用三角形中位线定理求得.
【详解】
解:如图,在平行四边形中,.
,分别为,的中点,
是的中位线,
∴.
故答案为:9.
4.16
【分析】
本题主要考查了直角三角形斜边上中线等于斜边的一半,三角形中位线的性质,解题的关键是先根据直角三角形的性质求出,再根据中位线的性质求出,即可得出答案.
【详解】
解:∵在直角中,是斜边上的中线,,
∴.
∵中,D,E分别是,的中点,,
∴是中位线,
∴.
故答案为:16.
5.(1)证明:∵,
∴,
∵D为斜边的中点,F为中点,
∴是的中位线,
∴,
∴,
∴,
∴为的角平分线;
(2)解:∵D为斜边的中点,F为中点,,
∴,
∵,
∴,
在中,D为斜边的中点,
∴.
题型02 三角形中位线与三角形面积问题
1.B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定、三角形的面积计算,正确作出辅助线、证明是解题的关键.过点作交于,证明,根据全等三角形的性质得到,计算即可.
【详解】解:过点作交于,
则,
在和中,
,
,
,,
,是的中点,
,
,
的面积为2
的面积为6,
故选:.
2.B
【分析】延长交于E,利用“”证明得到,,再根据三角形的中线平分三角形的面积得到,进而可求解.
【详解】解:延长交于E,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,,
∴,又,
∴,
故选:B.
3.10
【分析】根据线段的中点得出,依次求出、的面积,求出的面积,即可求出答案.
【详解】解:∵点D,E,F分别是,,的中点,
,
∵的面积等于40,
,
,,
,
.
故答案为:10.
4.
【分析】利用是中位线,M是的中点,根据各边关系可以求出结果;把各边关系转换为面积的关系来解答即可.
【详解】解:是中位线,M是中点,
,
,
,
是中位线,
,
,
连接,,
,
,
,
,
,
,
,
,
故答案为:;.
5.(1)解:
证明:
(2)解:
=
故答案为:
(3)解: =
即
题型03 与三角形中位线有关的证明
1.B
【分析】利用三角形的中位线定理求出四边形的周长即可得出结论.
【详解】解:点、、、分别是线段、、、的中点,
、、、分别是、、、的中位线,
,
四边形的周长只与、有关,
故选:B.
2.C
【分析】由中位线的性质定理,得,,,,可证四边形是平行四边形,由,求得四边形周长.
【详解】解:∵点D,E,F分别是,,的中点,
∴,,,,
∴四边形是平行四边形,
∴ 四边形周长为:,
故选:C.
3.14
【分析】先证明四边形是平行四边形,根据三角形中位线定理求出、即可解决问题.
【详解】解:∵点D,E分别是边,上的中点,
∴,,
∴, ,
∵点E,F分别是边,上的中点,
∵,,
∴, ,
∴四边形是平行四边形,
∴四边形的周长.
故答案为14.
4.
【分析】根据勾股定理求得,根据中位线的判定和性质可得,,根据角平分线的性质可得,根据平行线的性质可得,推得,根据等角对等边可得,即可求解.
【详解】解:∵,,,
∴,
∵,分别为,的中点,
∴是的中位线,,
∴,,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
则,
故答案为:.
5.(1)证明:四边形是平行四边形,
,
又
,
四边形是平行四边形;
(2).
四边形是平行四边形,
,
又中,,
是的中位线,
,
.
题型04 三角形中位线的实际应用
1.C
【分析】根据三角形中位线定理解答即可.
【详解】解:点分别为,的中点,
是的中位线,
∴.
故选:C.
2.B
【分析】根据题意可知为三角形的中位线,结合三角形中位线的性质即可获得答案.
【详解】解:如下图,连接,
∵、分别为、的中点,
∴为的中位线,
又∵米,
∴米.
故选:B.
3.
【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键.根据三角形中位线定理解答即可.
【详解】解:∵点D,E是,的中点,,
∴,
故答案为:.
4.3600
【分析】根据三角形中位线定理即可作答.
【详解】∵点D、E分别为AC、BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴AB=2DE,
∵DE=1800米,
∴AB=1800×2=3600(米),
即隧道的长度为3600米,
故答案为:3600.
5.(1)证明:∵四边形是平行四边形,
∴,,
,
∵E、F分别为,的中点,
,,
∴,
在和中,
,
,
,,
,
∴四边形是平行四边形.
(2)如图②,设交于点L,连接,
,,
,
,
,
∴四边形是矩形,
,
,
,
,,
,
∴的长是4.
题型05 三角形中位线的综合问题
1.A
【分析】
本题考查了动点函数图象,三角形中位线的性质,从函数图象获取信息是解题的关键.
根据题意结合函数图象分析可知当到达点时,取最大值,可得,根据是的中位线即可求得,即可求得当运动到点时,的值,即可求得,根据即可求得的值.
【详解】
解:由图2得,当点运动到时的路程为,即,
当点运动到点时的路程为,即,
是的中位线,
,
,
当点运动到点时,此时,即.
故选A.
2.A
【分析】本题考查了勾股定理,三角形中位线定理,熟练掌握勾股定理是解题的关键.
过作于,得到,求得,根据勾股定理得到,根据三角形中位线定理即可得到结论.
【详解】解:如图,过作于,
,
,
,
为的中点,
点是的中点,
,
,,
,
,
,
,
,
为的中点,点是的中点,
是的中位线,
.
故选:A.
3.
【分析】
本题考查了坐标和图形的性质,三角形的中位线定理等知识.先证点在半径为1的上,可知,在与圆的交点时,最小,根据三角形的中位线定理可得结论.
【详解】
解:∵点A、B的坐标分别为,
,
点为坐标平面内一点,,
在上,且半径为1,
取,连接,
为线段的中点,,
是的中位线,
∴OM= CD,
当最小时,即最小,而,,三点共线时,
当在线段上时,最小,
,,
,
,
,
即的最小值为,
故答案为:.
4.
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点,证得是的中位线成为解题的关键.
如图:延长交于点M,根据平行四边形与等边三角形的性质可证是等边三角形可得,可求出,可得是和的中点,最后根据中位线的性质即可解答.
【详解】解:如图:延长交于点M,,,
平行四边形的顶点C在等边的边上,
,
是等边三角形,
.
∴,,
又是等边三角形,
,
.
G为的中点,,
是的中点,
∴是的中位线,
.
故答案为:.
5.(1)证明:∵,,,
∴,
∴,
∴,则,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴;
(2)①过点作,则,
∵,则,
∴,则,
∵,,
∴,
又∵,则,
∴;
②取中点,连接,分别交,于,,
∵,是,的中点,
∴是的中位线,是的中位线,
∴,,,,
∴四边形是平行四边形,则,
∵,
∴,
∴,
过点作,
∴,
由勾股定理可得:,
∴,
∴.
6.(1)证明:∵四边形是正方形,
∴,,
在 ADE和中,,
∴,
(2)解:是等腰三角形,理由如下:
∵,
∴,
又∵,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴是等腰三角形,
(3)解:如图,连接DF,
∵,
∴,
∴,
∴,
又∵点是的中点,
∴,
∴,
故答案为:.
7.(1)证明:∵,
∴,
∵,
∴,
又∵是的中线,
∴,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形;
(2)解:四边形是平行四边形,理由如下:
延长,交于,取中点,连接,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵是的中线,点为的中点,
∴为的中位线,
∴,,即
又∵,即,
∴四边形为平行四边形,
∴,则,
∴,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形.