八年级数学下册浙教版 2.2 《一元二次方程的解法》小节复习题（含解析）

2.2 《一元二次方程的解法》小节复习题
题型01 解一元二次方程——直接开方法
1．一元二次方程的根是( )
A． B．2 C．或 D．2或
2．方程的根是( )
A． B． C． D．无实数根
3．若关于的一元二次方程有整数根，则整数的值可以是 (写出一个即可)．
4．一元二次方程的根是 ．
5．解方程：．
题型02 解一元二次方程——配方法
1．用配方法解方程．下列配方结果正确的是( )
A． B． C． D．
2．用配方法解方程，变形后的结果正确的是(　　)
A． B．
C． D．
3．若关于 的一元二次方程 配方后得到方程 ，则 的值为 ．
4.将方程用配方法化为，则 ．
5.用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)； (2)．
题型03 配方法的应用
1．不论x为何值，的值总是( )
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
2．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为( )
A．1 B． C．4 D．
3．代数式的最小值是 ，当取得最小值时，x的值是 ．
4．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例如：求代数式的最小值？解答过程如下：
解：．
，
当时，的值最小，最小值是0，
，
当时，的值最小，最小值是1，
的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式当 时有最 (填“大”或“小”)值，为 ．
5．阅读与思考
【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或其某一部分通过恒等变形，化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
【知识运用】
周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答．
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最值．
题型04 根据判别式判断一元二次方程根的情况
1．一元二次方程根的情况是( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
2．一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
3．一元二次方程根的判别式的值是 ．
4．一元二次方程的根的判别式 ．
5．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，且该方程的两个实数根的积为12，求的值．
题型05 根据一元二次方程根的情况求参数
1.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是( )
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为( )
A．1 B．2 C． D．
3．若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
4．若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个．
5．已知关于x的一元二次方程有两个实数根
(1)求m的取值范围：
(2)当m取最大整数时，求方程的两个根
题型06 公式法解一元二次方程
1．若关于的方程恰有三个根，则的值为( )
A． B．或 C．或 D．或
2．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是( )
A． B． C． D．
3．在实数范围内分解因式： ．
4．用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
5．解方程：．
题型07 因式分解法解一元二次方程
1．方程的解是( )
A． B．
C． D．或
2．若代数式的值与的值相等，则的值是( )
A． B． C．或1 D．或
3．设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 ．
4．若关于的一元二次方程有一个根是0，则 ．
5．解下列方程：
(1)； (2)．
题型08 换元法解一元二次方程
1.若实数，满足，则的值为( )
A．5 B．2.5 C．2.5或 D．5或
2．关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，则方程的解是( )
A．， B．， C．， D．，
3．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 ．
4．若，则的值为 ．
5．请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则所以．
把代入已知方程，得
化简，得
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，并写出系数a、c的取值范围．
参考答案
题型01 解一元二次方程——直接开方法
1．D
【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，然后根据直接开平方解一元二次方程即可求解．
【详解】解：
即
解得：，
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，然后直接开平方法即可，根据求一个数的平方根，这个数得是非负数，据此可得该方程无实数根，掌握概念是解题的关键．
【详解】解：，
移项得：，
∵，
∴方程无实数根，
故选：D．
3．(答案不唯一)
【分析】本题考查了直接开平方法解方程，答案不唯一，
【详解】一元二次方程有整数根，
则整数，
故答案为：1(答案不唯一)．
4．
【分析】本题主要考查利用直接开方法解一元二次方程，将方程移项利用直接开方法求解即可．
【详解】解：移项得，，
开方得，．
故答案为：．
5．解：
或
∴，．
题型02 解一元二次方程——配方法
1．C
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可．
【详解】解：∵，
∴，即：，
∴，
故选：C．
2．D
【分析】此题考查了一元二次方程-配方法，把方程的常数项移到等号右边后，在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边化为完全平方式的形式，再用直接开方法求解．
【详解】解：方程，
移项得：，
配方得：，
即，
故选：D．
3．
【分析】本题考查了配方法，代数式求值，先对方程配方得，再跟方程对照得到，，得到，，代入算式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键．
【详解】解：方程移项得，，
配方得，，
即，
∵一元二次方程 配方后得到方程 ，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
4、22
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程和求代数式的值．把化成一般式，然后根据题意即可得到和的值，从而可以求得的值．
【详解】解：，
，
，，
，
，
故答案为：22．
5、(1)解：去括号得，，
移项、合并同类项得，，
∴，
∴，
∴，；
(2)解： 移项得，，
配方得，，
即，
∴
∴，．
题型03 配方法的应用
1．A
【分析】本题考查配方法的应用，把式子化成判断值的情况是解题的关键．
【详解】解：，
∴不论x为何值，的值总是正数，
故选A．
2．A
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先移项再配成完全平方式，结合，得的值，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
故选：A
3． 7 1
【解析】略
4． 3 小 3
【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴当时，代数式的最小值是3．
故答案为：3，小，3．
5．解：(1)
，
的最小值是1；
(2)，
的最大值是5.
题型04 根据判别式判断一元二次方程根的情况
1．B
【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
【详解】解：由方程，
得：，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式；把，，代入，然后计算，最后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
3．33
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为．根据根的判别式的定义，计算的值即可．
【详解】解：由得，
，，，
．
故答案为：33
4．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据，进行计算即可求解．
【详解】解：一元二次方程的根的判别式，
故答案为：．
5．(1)证明：，
，
无论取何值时，，即，
原方程总有两个实数根；
(2)解：，即：，
，
该方程的两个实数根的积为12
，
，
，
．
题型05 根据一元二次方程根的情况求参数
1．B
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】∵的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：．
2．B
【分析】本题考查了根的判别式．根的判别式建立关于m的等式，即可求解．
【详解】解：原方程可化为，
由题意知，
解得．
故选：B．
3．
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义；根据判别式的意义得到，然后解关于k的方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
4．3
【分析】若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出根的判别式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有整数根，
∴且，
解得且，
∴方程的根为，
根据根与系数的关系可得，，且为正整数，
∴，
∵为完全平方数且为正整数，
∴或或，
解得或6或13，
即满足条件的共有3个，
故答案为：3．
5．(1)∵方程，，
∴，
∴，
解得．
(2)∵且取最大整数，
∴，
∴，
解得．
题型06 公式法解一元二次方程
1．B
【分析】先化简绝对值方程为两个一元二次方程①和②，再分三种情况讨论：(1)方程①有两个不相等的实根，方程②有等根；(2)方程②有两个不相等的实根，方程①有等根；(3)两个方程均有两个不相等的实根，且两个方程恰有一个相同的根．针对每种情况分别利用根的判别式列出方程或不等式求解并验证，即可得到答案．
【详解】，
或，
整理得①或②，
设方程①的判别式为，方程②的判别式为，
若原方程恰有三个根，则有三种可能：
(1)，
，
，
此时，，
或，
解得，或，
满足题意的t的值是；
(2)，
，
，
当时，，
或，
解得，或，
，
，
但，不满足题意，舍去；
(3)，且两方程恰有一个相同的根，
，
，
设相同的根为，
则，
解得，，
当时，，
解得或或，符合题意；
当时，，
解得或或，
但此时，三个解均不合题意，舍去；
综上所述，的值为或．
故选B．
2．C
【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键在于熟知关于一元二次方程若有解，则其解为．
【详解】解：由题意得：，，，
∴该方程为，
故选：．
3．
【分析】本题主要考查在实数范围内分解因式，解题的关键是利用求根公式因式分解．时，，根据求根公式的分解方法和特点即可求解．
【详解】解：时，，
，
故答案为：．
4．
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题的关键．
根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案．
【详解】解：根据题意及求根公式，
得，，，
该一元二次方程为，
故答案为：．
5．解：，
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
题型07 因式分解法解一元二次方程
1．C
【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择合适的方法解方程是解题关键．先移项，再根据因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得：．
故选C．
2．D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据题意列方程得，解出这个一元二次方程即可．
【详解】解：由题意得，，
整理得，
，
解得，
故选：D．
3．
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力和勾股定理，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．将看作整体解方程得或(舍)，从而得出，即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：或(舍)，
则，
∴这个直角三角形的斜边长为，
故答案为：．
4．
【分析】把代入方程中，得出关于的一元二次方程，解方程求的值，注意原方程的二次项系数．本题考查的是一元二次方程解的定义和一元二次方程的解法．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的定义．
【详解】解：把代入方程中，得
，
解得或，
当时，，舍去，
故答案为：．
5.(1)解：，
，
，
，
．
(2)解：，
，
所以，
所以．
题型08 换元法解一元二次方程
1．A
【解析】略
2．C
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程．根据关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，可知或，进一步求解即可．
【详解】解：关于的方程的解是，(a，m，b均为常数，)，
∴在方程中，或，
解得，
故选：C．
3．2
【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，此题实际上求的值．设，将原方程转化为关于t的一元二次方程，通过解方程求得t的值即可．
【详解】解：设，则由原方程，得
，
整理，得
，
解得或(舍去)．
则，
∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长，
∴这个直角三角形的斜边长为．
故答案为：2．
4．4
【分析】本题考查了因式分解法求值，一元二次方程的解法，正确分解，把握非负数的属性是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴(舍去)，
故答案为：4．
5．(1)解：设所求方程的根为y，则所以．
把代入已知方程，得
化简，得
故所求方程为．
(2)设所求方程的非零实根为y，则所以．
把代入已知方程，得
化简，得
故所求方程为；
因为新方程和原方程分别有两个非零实数根，根据一元二次方程一般性质和特点，则有
， ．