初中数学浙教版九年级下册第1章《解直角三角形》章节检测卷 （含解析）

第1章《解直角三角形》章节检测卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。)
1．的值等于( )
A． B． C． D．
2．在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是( )
A． B． C． D．
3．如图，广场上空有一个气球A，若，，则气球A离地面的高度的长为( )
A． B． C． D．
4．在中，，则的长为(　　)
A．8 B．12 C．13 D．18
5．如图所示，已知在中，弦的长为，测得圆周角，则直径为( )

A． B． C． D．
6．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为∶，即∶∶，若坡面长度米，则坡面的水平宽度长为( )

A． B． C． D．
7．某停车场入口栏杆如图，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则栏杆端点上升的垂直高度的长为( )
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，点P是BC延长线上一点，，且，则的取值范围是( )

A． B． C． D．
9．中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着勾股定理，约1400年后的汉代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的证明．这就是如图所示的“赵爽弦图”，若，则小正方形与直角三角形的面积比为( )

A． B．1∶1 C． D．1∶5
10．如图，矩形，，点E，F分别在边，上，，连结，，过D作，垂足为G，交于P，连结BP，若，则的值是(　　)

A． B． C． D．
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11．若，则锐角的度数是 ．
12．已知在中，，，，那么的值是 ．
13．已知中，，，则 ．
14．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处，观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则旗杆的高度为 (结果保留整数，参考数据：，，)

15．如图，在矩形ABCD中，，，P是上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为 ．

16．下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，，四边形，是正方形．过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形，拼成图2．

(1)若，的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 ．
(2)若，则 ．
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
17．(1)计算：． (2)计算：．
18．在中，，，为锐角且．
(1)求的度数；
(2)求的正切值．
19．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．

(1)求的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．(参考数据：)
20．如图，甲、乙两只捕捞船同时从港出海捕鱼，甲船以千米/小时的速度沿北偏西方向前进，乙船以千米/小时的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度(匀速)沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇．

(1)甲船从处追赶上乙船用了多少时间？
(2)求甲船追赶乙船时的速度．(结果保留根号)
21．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．

(1)转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度．
(2)将(1)中的连杆再绕点C逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？(精确到，参考数据：，)
22．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线上的两点(点E在点F左侧)，且．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当，，时，求的长．
23．如图，矩形中，，点M是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于E，连接．

(1)求证：平分
(2)求证：．
(3)若，，求的值．
24．如图，四边形内接于，，为直径，为一动点，连结交于点，交于点，连结．

(1)设为，请用表示的度数．
(2)如图1，当时，
①求证：．
②当时，求半径的长．
(3)如图2，当过圆心时，若，直接写出的值(用含的代数式表示．)
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．
【详解】解：，故C正确．
故选：C．
2．C
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可．
【详解】解：如图，
∴
故选C．
3．B
【分析】由题意可得即可得到气球A离地面的高度的长．
【详解】解：∵,
∴，
∵，
∴，
故选：B
4．C
【分析】在中，，求出，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：在中，∵，
∴，
∴，
故选：C．
5．B
【分析】连接，可证，，由即可求解．
【详解】解：如图，连接，

，
，
∵是直径，
∴，
()，
故选：B．
6．D
【分析】根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：坡面的坡度为：，
，即，
由勾股定理得，，
则，
解得，
故斜坡的水平宽度的长为米．
故选：D．
7．A
【分析】过点D作于E，由题意得米，根据求出答案．
【详解】解：如图，过点D作于E，
由题意得O米，
在中，，，
∴栏杆端点A上升的垂直距离米，
故选：A．
8．A
【分析】根据，，求出，则，求出，分别求出当时，当时的的度数，即可求出的取值范围．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，
∴，
∴，则；
当时，
∴，
∴，则；
∵，
∴，
故选：A．
9．B
【分析】在中，根据锐角三角函数的定义得出，代入，两边平方得出，由“赵爽弦图”，结合图形可知等于小正方形的边长，那么．再根据，即可求解．
【详解】解：如图．

在中，∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
设，则，
∴，
∴．
故选：B．
10．D
【分析】作于点H，交于点I，可证明，得，由等腰三角形的性质得，再证明四边形是矩形，则，由，，得所以，再根据即可得出答案
【详解】解：作于点H，交于点I，
∵于点G，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴
故选：D．

二、填空题
11．
【分析】利用特殊角的三角函数值计算即可得到锐角的度数．
【详解】解：∵，
∴，
那么锐角的度数为．
故答案为：．
12．
【分析】画出图形，直接利用正弦函数值的定义进行求解即可．
【详解】
在中，，，
∴．
故答案为：．
13．2
【分析】过点A作交于点D，根据三角形内角和定理，得到，进而得到，再利用勾股定理求得，然后解直角三角形即可求解．
【详解】解：过点A作交于点D，

，
，
，
，
在中，，
，
∵，
∴，
故答案为：2．
14．8
【分析】根据正切的定义，得出，再根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的定义，得出是等腰直角三角形，进而得出，再根据线段之间的数量关系，计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，，，，
在中，
，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∴旗杆的高度为．
故答案为：8．
15．
【分析】取的中点F，连接，作于H，作于T，设，分别表示出，进而表示出和，进而表示出，进一步得出结果．
【详解】解：如图，取的中点F，连接，作于H，作于T，设，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵E是的中点，
∴，
∴，
，
在中，
，
∴当时，的最小值为．
故答案为：
16． 9
【分析】(1)在图1中，过作于，由，可得，，故，而的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为；
(2)标识字母如图，设，证明，可得，由，有，即，可得或，而，，即可得到答案．
【详解】(1)在图1中，过作于，如图：

，
，
，
，即，
，
，
，即，
，
，
的面积为16，
，
，
，
纸片Ⅲ的面积为；
故答案为：9；
(2)如图：

，
，
设，则，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
解得或，
当时，，这情况不符合题意，舍去；
当时，，
而，，
．
故答案为：．
三、解答题
17．解：(1)
；
(2)
．
18．解：(1)∵∠B为锐角且，
∴∠B＝60°；
(2)作AD⊥BC于D，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝，
∵BC＝4，BD＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝1，
∴tanC＝＝＝3．
19．(1)解：∵，
∴，
∵，
∴．
(2)该运动员能挂上篮网，理由如下．
如图，延长交于点，

∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴该运动员能挂上篮网．
20．(1)解：如图，过作于点，作交于点，

∵甲船沿北偏西方向前进，乙船沿东北方向前进，
∴，，，
∴；
∵，
∴，
∵甲船沿北偏东的方向追赶乙船，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，，，
∴，
∴，
∵甲船以千米/小时的速度航行小时到达处，
∴(千米)；
在中，，
∴(千米)，
∴(千米)，
∵，，
∴(千米)，
且乙船以千米/小时的速度沿东北方向前进，
故甲船从处追赶上乙船的时间是：(小时)．
(2)解：在中，，
∴(千米)，
故甲船追赶乙船的速度是(千米/小时)．
21．(1)如图2中，作于点O．

根据题意有：，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴()，
∴()；
(2)作于F，于P，于G，于H．
则四边形是矩形，

∵根据(1)求出，，
∴，
∵，
∴，
∴()，()，
∴()，
∴下降高度：()．
22．(1)∵，
∴，，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
(2)∵在中，，
∴设，，
∵在中，，
即，
解得或(舍去)
∴，．
由(1)得：四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：或(舍去)，
即，
由(1)得，
∴，
∴．
23．(1)证明：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠性质可得：，
∵延长交于E，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
由折叠性质可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
(2)证明：由折叠性质可得：，
由(1)得：，
∵，
∴，
∵∠B=90°，
∵，
∴，
∵，
∴；
(3)解：由(2)得：，
∵，
∴，
由(2)得：，
由折叠性质得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由(1)得：，
∴，
∴，
由折叠性质的：，
∴，
∴，
∴；
24．(1)为直径，

，
又，，
．
，
，
．
(2)①连接．
，，，
，
，．
，
，
又，，
，
，，
．
②过点作，垂足为．

，，
，，
，，
．
由，得．
．
，
，
∵
∴．
由勾股定理得．
(3)解：如图所示，连接交于点，

，，
，
为直径，
．
为中点．
为的中位线，
，．
，
，
，
．
，
，
令，则，，
，，
．