1.7角平分线的性质 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
1.7 角平分线的性质
浙教版八年级上册
在几何作图中,把用没有刻度的直尺和圆规作图,称为尺规作图.
最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图.
注意：直尺是没有刻度的;
1.作一条线段等于已知线段
五种基本作图:
2.作一个角的平分线
3、作一个角等于已知角
4、作已知线段的垂直平分线
5、过一点作已知直线的垂线
例1 已知∠BAC，用直尺和圆规∠BAC的角平分线AD，并说明正确的理由.
B
A
C
1.以点A为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于E、F两点.
3.过点A、D作射线AD.
射线AD为所求的平分线.
2.分别以E、F为圆心，大于 EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠BAC内一点D.
1
2
作法：
E
F
D
角平分线的尺规画法
例2.已知:如图,P是∠BAC的平分线上的一点,PB⊥AB于点B,PC⊥AC于点C.
求证:PB=PC.
什么叫点到直线的距离？
点P到角两边的距离指哪两条垂线段的长？
你能用一句话概括题中的结论吗？
点P是在哪里的点
∵ AP平分∠BAC
且PB⊥AB，PC⊥AC
∴CP=PB
几何语言
角平分线的性质定理:
角平分线上的点
到角两边的距离相等.
已知:如图,P是∠BAC的平分线上的一点,PB⊥AB于点B,PC⊥AC于点C.
求证:PB=PC.
例3. 已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直.求证：PA=PD.
AB∥CD
AD过点P，且与AB垂直
∠BAD+∠CDA= 180°
∠BAD= 90°
∠CDA= 90°
BP平分∠ABC
CP平分∠DCB
PA ⊥ BA
PD⊥ CD
PA =
PD=
归纳
几何证明的方法：综合法
过点P作PE⊥BC于点E
1.如图，已知∠AOB及M、N两点，
求作：点P，使点P到∠AOB的两边距离相等，且到M、N的两点也距离相等。
当堂检测：
2.如图，BD为∠ABC的平分线，AB=BC,，点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,，求证：PM=PN
．
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴△PDM≌△PDN(AAS)，
3.证明：三角形的两条角平分线的交点到各边的距离相等
已知：如图， △ABC的角平分线BD,CE相交于点P。
求证：点P到三边的距离相等。
证明：过点P做PL⊥AB交AB于点L,过点P做PM⊥BC交BC于点M,过点P做PN⊥AC交AC于点N
∵BP平分∠ABC，且PL⊥AB， PM⊥BC
∴PL=PM
同理可证 PN=PM
即PL=PM=PN
L
M
N
4.如图，AD垂直平分BC，D为垂足. DM⊥AC，DN⊥AB，M，N分别为垂足.
求证：DM=DN.
思路①：通过证两次三角形全等来得到.
AD垂直平分BC
∠ADC=∠ADB=90°
BD=CD
AD=AD
△ADC≌△ADB
∠CAD=∠BAD
∠C=∠B
△ADM≌△ADN
△MDC≌△NDB
DM=DN
DM=DN
(SAS)
(AAS)
(AAS)
思路②：通过证一次全等，再利用
角平分线性质来得到.
△ADC≌△ADB
∠CAD=∠BAD
DM⊥AC，DN⊥AB
DM=DN
思路③：利用面积法来得到.
AD垂直平分BC
AB=AC
S△ADC=S△ADB
DM=DN
AB=AC
AD是ABC的中线
证明两条线段相等的方法:
①当题中出现全等三角形的时候，
可以利用全等三角形对应边相等
②当题中出现角平分线的时候，
可以利用角平分线的性质定理
③当题中具有面积相等的三角形时，
可以试试面积法
谢谢
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