数学：第四章相似三角形复习课件（浙教版九年级上）2

课件38张PPT。相似三角形复习课1、对应角相等，对应边成比例
2、对应角平分线、对应中线、对应高线、对应周长的比都等于相似比。
3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。1、相似三角形的性质：知识要点练习：1.地图上的1cm2面积表示实际200m2的面积，则该地图的比例尺是__________.2.两个相似三角形的面积比为m,周长比为2,则m=________.43.边长为2的正三角形被平行一边的直线分成等积的两部分,
其中一部分是梯形,则这个梯形的上底长为_______.4. 如图(1)，在△ABC中，DE∥AC，BD=10，DA=15，BE=8，则EC=
.BDECA5.如图(2),已知 ∠ 1 = ∠ 2,若再增加一个条件就能使结论“△ADE∽△ABC”成立,则这条件可以是(1)ADBE(2)C12
6、如图（６）， △ＡＢＣ中，ＤＥ??ＦＧ??ＢＣ，ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ=_________
答案：１：３：５范例分析：易证，△ HMP∽△PDE∽△GPF，得 一.填空选择题:
1、(1) △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED= ∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，从而
(2) △ ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D，连结ED，
则△ AED与△ ABC的相似比为______.
2、如图，DE∥BC, AD:DB=2:3,
则△ AED和△ ABC
的相似比为＿＿＿.
3、 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.
4、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.
AC2:552cm1:25. 如图，△ADE∽ △ACB,
则DE:BC=_____ 。
6. 如图，D是△ABC一边BC
上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是（ ）.
A. AC:BC=AD:BD
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BC
7. D、E分别为△ABC 的AB、AC上
的点，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A，
把每两个相似的三角形称为一组，那
么图中共有相似三角形_______组。
1:3D4二、证明题：
1. D为△ABC中AB边上一点，
∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB.
2. △ABC中,∠ BAC是直角，过斜
边中点M而垂直于斜边BC的直线
交CA的延长线于E，交AB于D，
连AM.
求证：① △ MAD ～△ MEA
② AM2=MD · ME
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，
DF=FB，DF交AC于E，
求证：ED2=EO · EC.E
4. 过◇ABCD的一个顶点A作一直
线分别交对角线BD、边BC、边
DC的延长线于E、F、G .
求证：EA2 = EF· EG .
5. △ABC为锐角三角形，BD、CE
为高 .
求证： △ ADE∽ △ ABC
（用两种方法证明）.
6. 已知在△ABC中，∠BAC=90°，
AD⊥BC,E是AC的中点，ED交
AB的延长线于F.
求证: AB:AC=DF:AF. 解:∵∠AED=∠B, ∠A=∠A

∴△AED∽ △ABC（两角对
应相等，两三角形相似）

∴




1.(1) △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，
且∠AED= ∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，
从而
解 :∵D、E分别为AB、AC的中点

∴DE∥BC，且

∴ △ADE∽△ABC
即△ADE与△ABC的相似比为1:2

(2) △ ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE，
则△ ADE与△ ABC的相似比为______2. 解: ∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∵AD:DB=2:3
∴DB:AD=3:2
∴(DB+AD):AD=(2+3):3
即 AB:AD=5:2
∴AD:AB=2:5
即△ADE与△ABC的相似比为2:5 如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED
和△ ABC 的相似比为＿＿＿.
3.已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙
的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm.解: 设三角形甲为△ABC ，三角
形乙为 △DEF，且△DEF的最大
边为DE，最短边为EF
∵ △DEF∽△ABC
∴ DE:EF=6:3
即 10:EF=6:3
∴ EF=5cm4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在
腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.解: ∵ △ABC ∽△BDC

∴

即
∴ DC=2cm5.解: ∵ △ADE∽△ACB
且
∴如图，△ADE∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 。7. D、E分别为△ABC 的AB、AC上的点，DE∥BC，
∠DCB= ∠ A，把每两个相似的三角形称为一组，
那么图中共有相似三角形_______组。解: ∵ DE∥BC
∴∠ADE= ∠B,
∠EDC=∠DCB=∠A
① ∵ DE∥BC
∴△ADE ∽ △ABC
② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B
∴△ADE∽ △CBD
③ ∵ △ADE ∽ △ABC
△ADE ∽ △CBD
∴ △ABC ∽ △CBD
④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC
∴ △ADC ∽ △DEC1. D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB分析:要证明AC2=AD·AB，需
要先将乘积式改写为比例
式 ，再证明AC、
AD、AB所在的两个三角形相
似。由已知两个三角形有二个
角对应相等，所以两三角形相
似，本题可证。证明:∵ ∠ACD= ∠ ABC
∠A = ∠ A
∴ △ABC △ACD

∴
∴ AC2=AD·AB2. △ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于
斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM.
求证：① △ MAD ～△ MEA ② AM2=MD · ME分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。AM是△ MAD 与△ MEA 的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项。证明：①∵∠BAC=90°
M为斜边BC中点
∴AM=BM=BC/2
∴ ∠B= ∠MAD
又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90°
∠E+ ∠ADE= 90°
∠BDM= ∠ADE∴∠B=∠E
∴∠MAD= ∠E
又 ∵ ∠DMA= ∠AME
∴△MAD∽ △MEA② ∵ △MAD∽ △MEA

∴
即AM2=MD·ME3. 过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边
BC、边DC的延长线于E、F、G .
求证：EA2 = EF· EG . 分析：要证明
EA2 = EF· EG ，
即 证明 成
立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：△AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED.证明：∵ AD∥BF AB∥BC
∴△AED ∽△FEB
△AEB ∽△GED
∴
∴4. △ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .
求证：△ ADE∽ △ ABC（用两种方法证明）.证明一：
∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠ABD+∠A=90°，
∠ACE+∠A= 90°
∴ ∠ABD= ∠ACE
又∵ ∠A= ∠A
∴△ ABD ∽ △ ACE
∴
∵ ∠A= ∠A
∴ △ ADE ∽ △ ABC
证明二：∵ ∠BEO= ∠CDO
∠ BOE=∠COD
∴ △BOE ∽ △COD
∴

即
又∵ ∠BOC= ∠EOD
∴ △BOC ∽△EOD
∴ ∠1= ∠2
∵ ∠1+ ∠BCD=90°，
∠2+ ∠3= ∠ 90°
∴ ∠ BCD= ∠3
又∵ ∠A= ∠A
∴ △ ADE∽ △ ABC6. 已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的
中点，ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.分析：因△ABC∽△ABD，所以
， 要证

即证 ，
需证△BDF∽△DAF.证明：∵ ∠BAC=90°
AD⊥BC
∴ ∠ABC+∠C= 90°
∠ABC+∠BAD= 90°
∴ ∠BAD= ∠C
∵ ∠ADC= 90°
E是AC的中点，
∴ED=EC
∴ ∠EDC= ∠C
∵ ∠EDC = ∠BDF
∴ ∠BDF= ∠C= ∠BAD
又∵ ∠F =∠F
∴ △BDF∽△DAF.
∴
∵ ∠BAC=90°， AD⊥BC
∴ △ABC∽△ABD
∴
∴
1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．满足什么条件时△ ACP∽△ABC． 解:⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB （或∠2= ∠B）时，△ ACP∽△ABC
⑵ ∵∠A= ∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时，
△ ACP∽△ABC
⑶ ∵∠A= ∠A，
当∠4＋∠ACB＝180°时， △ ACP∽△ABC答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC或∠4＋∠ACB＝180°时,△ ACP∽△ABC.1、条件探索型二、探索题2.如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，两三角形相似１ 这类题型结论是明确的，而需要完备使结论成立的条件．解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思考寻求使结论成立的条件． 1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来.C解：有相似三角形，它们是：△ADE∽ △BAE, △BAE ∽ △CDA ，△ADE∽ △CDA（ △ADE∽ △BAE ∽ △CDA）2、结论探索型2.△在ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.EEEE　　这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这些条件下可能出现的结论．解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明. 3、存在探索型 1、 如图, DE是△ABC的中位线，在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似,若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.证明：连结MC，　　　　　　　　　　　∵DE是△ABC的中位线，　　　　　∴DE∥BC，AE＝EC，　　　　　　又∵ME⊥AC, 　　　　　　　　　　∴AM＝CM，　　　　　　　　　　　∴ ∠1= ∠2 ，　　　　　　　　　　　∵∠B=90°，　　　　　　　　　　　∴ ∠4＝ ∠B= 90°，　　　　 　　　　∵AF ∥BC，AM ∥DE, 　　　　　　∴ ∠1= ∠2 ，　　　　　　　　　　　∴ ∠3= ∠2 ,　　　　　　　　　　　∵ ∠ADE＝ ∠MEC=90 ° ， 　　∴ △ADE ∽△MEC．123M解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,即M点(或作∠MCA= ∠AED).4例2、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14.
问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。P（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则
则有AB:PD=PB:CD设PD=x，则PB=14―x，
∴6： x =（14―x）: 4∴x=2或x=12∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似46x14―xDBCAp　　所谓存在性问题，一般是要求确定满足某些特定要求的元素有或没有的问题．解题思路是：先假定所需探索的对象存在或结论成立，以此为依据进行计算或推理，若由此推出矛盾，则假定是错误的，从而给出否定的结论，否则给出肯定的证明． ②探究:在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由。Q练习：∽ABCDFE三、位似 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的相似叫做位似,点O叫做位似中心．利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小