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数与字母齐飞，形与代数一色；P与“8”字共舞，化简变形666
1． 如图的图形我们把它称为“8字形”，证明：∠A+∠B＝∠C+∠D
2.如图，∠MON＝90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动（不与点O重合），AC平分∠MAB，AC的反向延长线与∠ABO的平分线相交于点D．（1）当∠ABO＝70°时、求∠D的度数
（2）随着点A、B的移动，试问∠D的大小是否变化？请说出你的理由．
3.△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P.求证：
4.如图，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，
猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明
如图2，直线AP平分△BAO的外角∠FAD，CP平分△OCD的外角∠BCE，
若∠ABC＝32°，∠ADC＝22°，求∠P的度数．
6.如图，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
猜想∠P与∠B、∠D的数量关系．
7．如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有 个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
“8”字型专项训练三步---- ①有用捕捉②字母降临③代数式化简、等式变形：666
1.证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°， 在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
2.解：（1）∵∠MON＝90°，∠ABO＝70°，∴∠MAB＝∠AOB+∠ABO＝90°+70°＝160°．
∵AC平分∠MAB，∴∠CAB∠MAB＝80°．∵BD平分∠ABO，∴∠ABD∠ABO＝35°．
又∵∠CAB＝∠ABD+∠D，∴∠D＝∠CAB﹣∠ABD＝80°﹣35°＝45°．
（2）∠D的大小不变，理由如下：
∵∠MAB＝∠AOB+∠ABO＝90°+∠ABO，AC平分∠MAB，
∴∠CAB∠MAB＝45°∠ABO．∵BD平分∠ABO，∴∠ABD∠ABO．
又∵∠CAB＝∠ABD+∠D，∴∠D＝∠CAB﹣∠ABD＝45°∠ABO∠ABO＝45°，
∴∠D的大小不发生变化．
3.【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ③
比较②③式子可知：.==.
（4）解：如图3， ∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，
∴2∠P＝180°+∠D+∠B，∴∠P＝90°+ （∠B+∠D）；
5.，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，
∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠B+∠4，∴2∠P＝∠B+∠D，
∴∠P（∠B+∠D）（32°+22°）＝27°．
6.解：∵直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠FAP＝∠PAO，∠PCE＝∠PCB，
在四边形APCB中，（180°﹣∠FAP）+∠P+∠PCB+∠B＝360°①，
在四边形APCD中，∠PAD+∠P+（180°﹣∠PCE）+∠D＝360°②，
①+②得：2∠P+∠B+∠D＝360°，∴∠P＝180°（∠B+∠D）．
7.解：①3；4；
②以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P（∠B+∠C）（100°+120°）＝110°；
③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP，∴∠BAP∠CAB，∠BDP∠CDB，
以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP（∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP（∠CDB﹣∠CAB）．
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B．∴3∠P＝∠B+2∠C．
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基于角平分线想到的┈
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于 DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝3，AB＝10，求△ABG的面积
2．如图，在四边形中，，平分，，求的面积
3.在△ABC中,AB>AC,∠BAP=∠CAP, P 为AC 上任意一点.求证:AB-AC>PB-PC.
4.如图所示，在 △ABC中， ∠ABC=60°,AD、CE 分别平分∠BAC ，∠ACB求证：AE+CD=AC.
1【解答】解：作GH⊥AB于H，由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，GH⊥AB，∴GH＝CG＝3，∴△ABG的面积＝ ×AB×GH＝15，
2.【解答】解：过D作，交的延长线于F，
∵，平分，，，∴，
∵，∴的面积，
3..提示：(解法一)截长法.在边AB上截取AN=AC，连接NP.由条件∠BAP=∠CAP, 易得△ANP≌△ACP(SAS), 从而得到 PC=PN.在△PNB中,PB-PNPB-PC.
(解法二)补短法.延长AC至AM, 使AM=AB,连接PM、MD.由条件易得△ABP≌△AMP(SAS),从而得到BD=MD.在△PMC中,CM>PM-PC,因此AB-AC>PB-PC.
4.提示:设AD,CE 的交点为O, 在 AC上取一点F,使AF=AE, 连接OF,△AEO≌△AFO,再证△ODC≌△OFC, 得证.
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基于中线想到的┈┈
1.△ABC中，AC=5，中线AD=7，求AB边的取值范围
2.已知AD 为△ABC的中线,∠BDE=∠EDA,∠ADF=∠CDF.求证:BE+CF>EF.
3.如图所示, C是AB 的中点, 点 E 在边CD上,且. AE=BD(1) 求证:∠AEC=∠BDC
(2) 延长AE 交BD 于点F, DF 与EF 相等吗 为什么
4．如图，A，B，C三点共线，D，C，E三点共线，∠A＝∠DBC，EF⊥AC于点F，AE＝BD．
（1）求证：C是DE的中点；（2）求证：AB＝2CF．
基于中点想到的┈┈
1.【解答】如图：延长AD到E使DE=AD，连接BE，
∵D是BC的中点，∴CD=BD，在△ACD和△EBD中 ∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=EB=5，∵AD=7，∴AE=14，由三角形的三边关系为：14-5＜AB＜14+5，即9＜AB＜19．
提示:(解法一)截长法.在AD上截取DG=DB,连接EG、FG.由条件易得△BED≌△GED(SAS),从而得到GE=BE,得DG=DC.在△EFG中,EFEF.
(解法二)补短法.延长ED 至ED=DM,连接MF、MC.由条件易得∠ ，从而得到△BDE≌△CDM(SAS).在△MCF 中,CM+CF>MF,因此BE+CF>EF.
3.提示:(1)如图所示,延长EC到G,使CG=EC.连接BG,得△AEC≌△BGC(SAS),则AE=BG,∠AEC=∠G.由已知AE=BD,所以BG=BD,得∠BDC=∠G,所以∠AEC=∠BDC.
(2)延长 DC 到点G,使CG=DC,连接AG,证△DCB 与△GCA 全等,再由边角关系得 FD=FE.
4.【解答过程】证明：（1）过D作DH⊥AC的延长线与H，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，
在△AEF和△BDH中，，∴△AEF≌△BDH（AAS），∴EF＝DH，
在△EFC和△DHC中∴△EFC≌△DHC（AAS）∴CE＝CD∴C是DE中点；
（2）由（1）得，△AEF≌△BDH，△EFC≌△DHC，∴AF＝BH，CF＝CH，
∴AB+BF＝BF+FH，FH＝2FC，∴AB＝FH，∴AB＝2CF．
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脑海中噼里啪啦，火花爆炸，忽然金箍棒一闪，考神附体-----我以为我是被数学选中的人！
1．如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，AB+DC＝ED，AE＝BC．
（1）求证：△ABC≌△DAE，（2）若∠BAE＝125°，求∠DCB的度数．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．
3.如图，点E在AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，FD∥BC交AC于点D．
（1）求证：△ABF≌△ADF；（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周长．
4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）当AD⊥BC，AE＝2，CF＝1时，求AC的长．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分线段AB．
（1）求∠A；
（2）若DE＝2cm，BD＝4cm，求AC的长．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于 DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝3，AB＝10，求△ABG的面积
7．如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
（1）求证：AE＝AF；（2）求∠EAF的度数．
8．如图，的两条高和交于点．已知，，求的长
1.【解答过程】（1）证明：∵DE＝AB+DC，AB＝AD，∴DE＝AD+DC＝AC，
在△ABC和△DAE中，，∴△ABC≌△DAE（SSS）．
（2）解：∵△ABC≌△DAE，∴∠EAD＝∠B，∴∠B+∠BAC＝∠EAD+∠BAC＝∠EAB＝125°，
∴∠DCB＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝180°﹣125°＝55°．
2.【解答】解：设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x，
∵DE是AB边的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠B＝∠BAD＝2x，
∵∠C＝90°，∴∠BAD+∠CAD+∠B=90°，即2x+2x+x＝90°，解得：x＝18°，则∠B＝2x＝36°，
3.【解答过程】解：（1）∵FD∥BC，∴∠ADF＝∠C，
∵∠ABF＝∠C，∴∠ABF＝∠ADF，∵AF平分∠BAE，∴∠BAF＝∠CAF，
在△ABF和△ADF中，，∴△ABF≌△ADF（AAS）；
（2）∵△ABF≌△ADF，∴AD＝AB＝8，BF＝DF，∵AE＝5，∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝3，
∴△EFD的周长＝EF+DF+DE＝EF+BF+DE＝BE+DE＝7+3＝10．
4.【解答过程】证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS）；
∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝1，∴AB＝AE+BE＝2+1＝3，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3．
5.【答案】（1）解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠DBE．
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBE．∵∠C＝90°， ∴∠A＝∠DBE＝∠CBD，∴∠A＝30°
（2）解：∵∠C＝90°， ∴DC⊥BC，
∵DE⊥BA，BD平分∠ABC，DE＝DC＝2cm，∴BD＝AD＝4cm，∴AC＝AD+DC＝6cm．
6.【解析】【解答】解：作GH⊥AB于H，
由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，GH⊥AB，∴GH＝CG＝3，∴△ABG的面积＝ 0.5 ×AB×GH＝15，
7【解答过程】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，∴∠ACD＝∠EBA，
在△AEB和△FAC中，，∴△AEB≌△FAC（SAS），∴AE＝FA；
（2）解：∵△AEB≌△FAC，∴∠E＝∠CAF，∵∠E+∠EAG＝90°，∴∠CAF+∠EAG＝90°，即∠EAF＝90°．
.8【解答】解：，，，，
又，，在和中，，
∴，，∴CE=4
，
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构造全等三角形
2.已知:AC=BC,AD=BD,M和N分别是AC 和BC 的中点.求证:DM=DN.
3.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°. BD 平分∠ABC交AC 于点D,又AE⊥BD 交延长线BD 于点E.求证：BD=2AE.
4．在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
1.证明：连结AD.AB=DC，AC=DB,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠B=∠C.
2.如答图所示，连结CD.∵M和N 分别是AC 和BC 的中点,AC=BC,∴CM=CN.
在△ACD和△BCD中, ∴△ACD≌△BCD(SSS).∴∠ACD=∠BCD.
在△CMD 和△CND中, ∴△CMD≌△CND(SAS).∴DM=DN.
3.提示: 补形法)如图(1)所示, 延长AE、BC 交于点F.由条件易得△AEB≌△FEB(ASA),所以AF=2AE.因为BE⊥AE,∠BDC=∠ADE,所以∠CAF=∠CBD(同角的余角相等),得到△CAF≌△CBD(ASA),所以BD=AF,因此BD=2AE
4.【解答过程】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠DBE＝∠DCF＝90°，
在△BDE和△CDF中，∵∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE＝DF；
（2）EF＝FC+BE，理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，
在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴DE＝DG，BE＝CG．
∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠CDF＝60°．∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF在△EDF和△GDF中△EDF≌△GDF（SAS∴EF＝GF∴EF＝FC+CG＝FC+BE．
1.如图:AC和DB相交于点O,若AB=DC，AC=DB，则∠B=∠C,请说明理由.
D
A
O
B
C
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三角形全等证明专项训练
一、SSS 1.如图，已知，，点是的中点，试说明：≌．
2.如图，已知，试说明：．
3.如图所示，，，，求证：．
4.如图，已知，，，，，三点共线，说明的理由．
5.小明用四根木条摆成如图所示的四边形，其中 .当他不断改变. 的大小，使这个四边形的形状发生改变时，他发现∠B与∠C的大小存在着一个规律，那么∠B 与∠C 的大小存在什么关系呢 请说明理由.
二、SAS 1.已知，如图，，点，分别是，的中点，求证：≌．
2.如图，点，，，在同一条直线上，且，若，，求证：F.
3.如图，在和中，，，求证：E.
4.如图,在△ABC和△DAE中,∠BAC=∠DAE,AB=AE,AC=AD,连结BD,CE.求证:△ABD≌△AEC.
5.如图,在△ABC和△EBD中,∠ABC=∠DBE=90°,AB=CB,BE=BD,连结AE,CD,AE与CD 交于点M,AE与BC 交于点N.求证:(1)AE=CD.(2)AE⊥CD.
三、ASA 1.如图，是上一点，，，，试说明：≌．
2.如图，点，在线段上，，，．求证：≌．
3.如图,在△ABC中,点D在边BC上,CD=AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.求证:DE=BC.
4.如图，，，，．
求的度数；若，试说明：．
5.如图，，，，且试说明：．
四、AAS 1.如图，是线段的中点，，求证:△BDC≌△EDF.
2.如图所示,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,且BD=CD.求证:△BDE≌△CDF.
3.如图，，，，求证：．
4.如图，在四边形中，点在上，，且，求证：≌．
5..某产品的商标如图所示，O是线段AC，DB的交点，且AC=BD，AB=DC，求证：△ABO≌△DCO
参考答案
SSS1.解：因为点是的中点，所以．
在和中，所以≌．
解：在和中，所以．所以
.证明 ，，，
在和中，．
4.解：在和中，所以≌．
所以，．因为，，
所以．
5.∠B=∠C.理由如下:连结AD.
在△ABD和△ACD中, ∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C.
SAS 1.证明：，点，分别是，的中点，，
在和中，≌．
2.，，且，，
，，即．
在和中，，F.
3.在和中，E.
4.∵∠BAC=∠DAE,∴∠DAE--∠BAE=∠BAC--∠BAE,即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△AEC中,. ∴△ABD≌△AEC(SAS).
5.(1)∵∠ABC=∠DBE,∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE,即∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中, ∴△ABE≌△CBD(SAS).∴AE=CD.
(2)∵△ABE≌△CBD,∴∠BAE=∠BCD.
∵∠NMC=180°--∠BCD--∠CNM,∠ABC=180°-∠BAE--∠ANB,
又∵∠CNM=∠ANB,∠ABC=90°,∴∠NMC=90°,∴AE⊥CD.
ASA1.解：在和中≌．
2.证明：，，在和中，≌．
3.证明 ∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B.又∵CD=AB,∠DCE=∠A,
∴△CDE≌△ABC(ASA).∴DE=BC.
4.解：因为，，所以．因为，
所以．
在和中，所以≌．所以．
5.解：因为，，所以，，所以，
在和中，所以≌．所以．
AAS.1.解：≌理由如下：是线段的中点，．
在与中，≌．
2.∵BF⊥AC,CE⊥AB,∴∠DFC=∠DEB.在△BDE和△CDF中,∴△BDE≌△CDF(AAS).
3.证明：，，，即．又，．
在与中，．
4.解：，，，
在中，，，
，，
在和中，≌．
5.解：连结 BC.在△ABC和△DCB中, ∴△ABC≌△DCB(SSS).∴∠A=∠D.
在△AOB 和△DOC中, ∴△AOB≌△DOC(AAS).
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旋转型全等：旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度
1．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一条直线上，连结BD.(1)求证：△BAD≌△CAE；(2)试猜想BD，CE有何特殊的位置关系，并给出证明．
2.如图所示,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA3..如图所示,在△AOB 和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α求证:①AC=BD ②∠APB=α°. .
4.如图所示,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC 于点F, ∠1=∠2=∠3,AC=AE.
(1)求证:∠C=∠E.(2)求证:△ABC≌△ADE.
5..如图所示,OA=OB,OC=OD,∠1=∠2=∠3,AC交OB 于点M,BD交OC 于点N.求证:OM=ON.
6.如图，△AOC和△BOD中，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝α（0＜α＜90°），
AD与BC交于点P．（1）求证：△AOD≌△COB；（2）求∠APC（用含α的式子表示）；
（3）过点O分别作OM⊥AD，ON⊥BC，垂足分别为点M、N，直接写出OM和ON的数量关系．
1．解：(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)．
(2)BD⊥CE.证明如下：由(1)知△BAD≌△CAE，∴∠ADB＝∠E.
∵∠DAE＝90°∴∠E＋∠ADE＝90°∴∠ADB＋∠ADE＝90°即∠BDE＝90°∴BD⊥CE.
2. ①【解析】∵∠AOB=∠COD=36°,∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.
在△AOC和△BOD中,
∴△AOC≌△BOD(SAS).∴∠OAC=∠OBD,∠OCA=∠ODB,AC=BD,
②.由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB,∴∠AMB=∠AOB=36°,
3∵∠AOB=∠COD,∴∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中,∵
△AOC≌△BOD(SAS)∴AC=BD∠CAO=∠DBO∵∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB∴∠APB=∠AOB=α°.
4.(1)∵∠2=∠3,∠AFE=∠CFD,∴∠C=∠E.
(2)∵∠1=∠2∴∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中 ∴△ABC≌△ADE(ASA).
5.∵∠1=∠3,∴∠1+∠2=∠3+∠2,即∠AOC=∠BOD.
在△AOC 和△BOD中,∴ ∴△AOC≌△BOD(SAS).∴∠OAC=∠OBD.
在△AOM 和△BON中, ∴△AOM≌△BON(ASA).∴OM=ON.
6.解：（1）∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD，∴∠AOD＝∠COB，
在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（SAS）；
（2）由（1）可知△AOD≌△COB，∴∠OAD＝∠OCB，令AD与OC交于点E，
则∠AEC＝∠OAD+∠AOC＝∠OCB+∠APC，∴∠AOC＝∠APC，∵∠AOC＝α，∴∠APC＝α；
（3）∵△AOD≌△COB，∴∠PAP＝∠BCO，即∠MAO＝∠NCO，
∵OM⊥AD，ON⊥BC，∴∠AMO＝∠CNO＝90°，
在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴OM＝ON．
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一标二判三要使，顺推逆推两头凑；噼里啪啦火花爆炸，脑海中金箍棒一闪（1）
夯实基础，稳扎稳打1．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.
2．如图，A，C，D，B四点共线，AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF.求证：DE＝CF.
3．如图，AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，且EC∥BF，连结AD，分别与EC，BF相交于点G，H.若AB＝CD，求证：AG＝DH.
4．如图，点A，C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE＝CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：AB＝CD
5.如图，为的平分线，，点在上，于，于，求证：．
6.,已知在四边形 ABCD 中,点 E 在AD 上,∠BCE=∠ACD=90°,∠BAC=∠D,BC=CE.求证:AC=CD.
7.如图所示,B,C,E三点在同一条直线上,AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B.
(1)求证:BC=DE.(2)若∠A=40°,求∠BCD的度数.
8．如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，BC⊥CD，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F。证明：（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD。
连续递推，豁然开朗9.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于点E,AD=AC,AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC 于点G.求证：(1)DF∥BC.(2)FG=FE.
10．已知：△ABN和△ACM的位置如图所示，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．
求证：（1）∠BAN＝∠CAM；（2）∠ODA＝∠OEA．
1．证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE－∠CAE＝∠DAC－∠CAE，即∠BAC＝∠DAE.
在△ABC与△ADE中，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴∠C＝∠E.
2．证明：∵AC＝BD，∴AC＋CD＝BD＋CD，即AD＝BC.
在△AED和△BFC中，∵∴△AED≌△BFC(ASA)，∴DE＝CF.
3．证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D.∵EC∥BF，∴∠CGD＝∠AHB.
又∵AB＝CD，∴△ABH≌△DCG，∴AH＝DG，∴AH－GH＝DG－GH，即AG＝DH.
4.【解答过程】（1）证明：∵AD∥BC∴∠DAC＝∠BCA，
又∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，∴∠EAD＝∠FCB，
∵DE∥BF，∴∠E＝∠F，
在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），
（2）∵△ADE≌△CBF，∴DA＝BC．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，
在△ADC和△CBA中，，∴△ADC≌△CBA（SAS），∴AB＝CD；
5.证明：为的平分线，，
在和中，≌，，
点在上，，，，
在和中，≌，．
6..∵∠BCE=∠ACD=90°,∴∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE.∴∠ACB=∠DCE.
在△ABC和△DEC中, ∴△ABC≌△DEC(AAS).∴AC=CD.
7.(1)∵AC∥DE,∴∠ACB=∠E,∠ACD=∠D.∵∠ACD=∠B,∴∠D=∠B.
在△ABC和△CDE中,
∴△ABC≌△CDE(AAS).∴BC=DE.
(2)∵△ABC≌△CDE,∴∠A=∠DCE=40°.
8．如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，BC⊥CD，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F。证明：（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD。
8.【答案】（1）证明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD（全等三角形的性质）．
（2）解：∵△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），
∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF，
9.(1)∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠DAF.在△ACF和△ADF中,∵
∴△ACF≌△ADF(SAS).∴∠ACF=∠ADF.
∵CE⊥AB,∠ACB=90°∴∠ACE+∠CAE=90°,∠CAE+∠B=90°∴∠ACF=∠B∴∠ADF=∠B.∴DF∥BC.
(2)∵DF∥BC,BC⊥AC,∴FG⊥AC.∵FE⊥AB,AF平分∠CAB,∴FG=FE.
10.【解答过程】证明：（1）∵∠1＝∠2，∴∠1+∠MAN＝∠2+∠MAN，即∠BAN＝∠CAM；
（2）在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（SAS），∴∠M＝∠N，
在△ADN和△AEM中，，∴△ADN≌△AEM（ASA），∴∠NDA＝∠MEA，
即∠ODA＝∠OEA．
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一标二判三要使，顺推逆推两头凑；噼里啪啦火花爆炸，脑海中金箍棒一闪（2），
夯实基础，稳扎稳打1．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE＝CD.求证：AB＝AC.
2．如图，C是AE的中点，∠A＝∠ECD，AB＝CD.求证：∠B＝∠D.
3．如图，AB＝BC，BD＝EC，AD与BE交于点O，AB⊥BC，EC⊥BC.求证：AD⊥BE.
4．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．（1）AD和BC相等吗？为什么？（2）BF和BD相等吗？为什么？
5．已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD＝AE．
如图，点 B 为 AC 上一点，AD//CE，∠ADB = ∠CBE，BD = EB
求证： （1）△ABD≌△CEB；
（2）AC = AD+ CE.
7..如图所示,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AC和AB的中点.求证:BD=CE.
8．如图，已知∠AOB，以O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交OA，OB于F，E两点，再分别以E，F为圆心，大于 EF的一半长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线OP，过点F作FD∥OB交OP于点D. 若FM⊥OD，垂足为M，求证：△FMO≌△FMD.
连续递推，豁然开朗9.已知:AC=BC,AD=BD,M和N分别是AC 和BC 的中点.求证:DM=DN.
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P点作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H. （1）
求证：△ABP≌△FBP； （2） 求证：AH+BD=AB.
夯实基础，稳扎稳打
1．证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BEA＝90°.
又∵∠A＝∠A，CD＝BE，∴△ACD≌△ABE.∴AB＝AC
2．证明：∵C是AE的中点，∴EC＝CA.
在△CAB和△ECD中，∵∴△CAB≌△ECD(SAS)，∴∠B＝∠D.
3．证明：∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠ABD＝∠C＝90°.
在△ABD和△BCE中，∵∴△ABD≌△BCE，∴∠A＝∠CBE.
∵∠CBE＋∠ABE＝90°，∴∠A＋∠ABE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴AD⊥BE.
4.解：（1）AD＝CB，理由如下：∵AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，同理可得，∠ADB＝∠CBD，
在△ABD与△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（ASA），∴AD＝CB；
（2）BF＝BD，理由如下：∵AD＝CB，BE＝AD，∴BC＝BE，
∵∠DEF＝∠ADC，∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB，即∠EFB＝∠CDB，
在△EFB与△CDB中，，∴△EFB≌△CDB（ASA），∴FB＝DB．
5（1）证明：在△ABF和△ACF中，，∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴∠B＝∠C，BF＝CF．
在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（ASA），∴BD＝CE，
∴AB﹣BD＝AC﹣CE，∴AD＝AE．
6.（1）证明：∵AD//CE， ∴∠A=∠C，又∠ADB =∠CBE，BD = EB∴△ABD≌△CEB（AAS）
（2）证明：∵△ABD≌△CEB ∴AD=CB，AB=CE∴AC= AB+ BC= CE+AD，即AC = AD+CE
7∵AB=AC,D,E分别为AC,AB的中点,∴AD=AE.在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE.
8.【答案】证明：由作法知，OP是∠AOB的平分线，∴∠DOB= ∠AOB；
∵OP平分∠AOB， ∴∠AOD=∠DOB，
∵OB∥FD，∴∠DOB=∠ODF，∴∠AOD=∠ODF，又∵FM⊥OD，∴∠OMF=∠DMF，
在△MFO和△MFD中 ，∴△MFO≌△MFD（AAS）．
9.如答图所示，连结CD.∵M和N 分别是AC 和BC 的中点,AC=BC,∴CM=CN.
在△ACD和△BCD中,
∴△ACD≌△BCD(SSS).∴∠ACD=∠BCD.
在△CMD 和△CND中,
∴△CMD≌△CND(SAS).∴DM=DN.
10.【答案】（1）解：∵∠APB=135°. ∴∠DPB=45°，∵PF⊥AD，∴∠BPF=135°，
在△ABP和△FBP中 ∴△ABP≌△FBP（ASA）
（2）解：∵△ABP≌△FBP， ∴∠F=∠BAD，AP=PF，AB=BF，
∵∠BAD=∠CAD，∴∠F=∠CAD，
在△APH和△FPD中 ∴△APH≌△FPD（ASA）∴AH=DF，
∵BF=DF+BD∴AB=AH+BD
∵AD＝CF（已证），∴AB＝BC＋AD（等量代换）．
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开心图形：三点一线三等角，开心图形显本色；全等图形藏其中，用上性质定靠谱
夯实基础，稳扎稳打:
1．如图所示，等腰直角三角形中，，，直线经过点，于点，于点．(1)求证：；(2)求证：；
2．如图，在△ABC中，AB＝CA，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角． 证明：①△ADB≌△CEA ②DE＝BD＋CE
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．求证：①△BCE≌△CAD； ②DE＝AD － BE
4．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在DE上，点和分别与木墙的顶端重合，求两堵水墙之间的距离DE的长度
5．小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆的点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点作于点，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点，测得.（1）求证：；（2）求AE的长.
连续递推，豁然开朗
6. 如图，在四边形中，是边上一点，，
求证：．
7．已知∠ABC＝90°，点D是直线AB边上的点，AD＝BC．
（1）如图1，点D在线段AB上，过点A作AF⊥AB，且AF＝BD，连接DC、DF、CF，试判断△CDF的形状并说明理由；（2）如图2，点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，以上结论是否仍然成立？请说明理由．
思维拓展，更上一层
8．在等腰中，，过A、B两点分别向过C点的直线l作垂线，垂足分别为D、E．(1)求证：(2)设，求证：
开心图形：三点一线三等角，开心图形显本色；全等图形藏其中，用上性质定靠谱
夯实基础，稳扎稳打:
（1）证明：∵，，∴，∴，又∵，∴，∴；
（2）证明：在和中∵，∴，
∴，，又，∴．
2.证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠EAC＝180°－α，∴∠DBA＝∠EAC.
在△ADB和△CEA中，∵∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
3.（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．
在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS）；
(2)由(1)知△BCE≌△CAD，∴CE＝AD，BE＝CD，∴DE＝CE－CD＝AD－BE．
4.【解答】解：由题意得：，，，，
，，，，
在和中，，；
由题意得：，，，
5.【答案】（1）证明：∵OB⊥OC，∴∠BOC=90°，
，
∵BD⊥OA，∴∠BDO=90°，∴在Rt中，，
（2）解：在和中，
，的长为．
6.【答案】证明：，，，
，，在与中，，≌，
，，．
7.【解答过程】（1）△CDF是等腰直角三角形，
理由如下：∵AF⊥AB，∴∠A＝90°，
在△FAD和△DBC中，∵，∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴∠ADF＝∠BCD，DF＝DC，
∵∠BDC+∠BCD＝90°，∴∠ADF+∠CDB＝90°，∴∠FDC＝180°﹣90°＝90°，
又∵DF＝DC，∴△CDF是等腰直角三角形；
（2）仍然成立，理由如下：
∵AF⊥AB，∴∠A＝90°，在△FAD和△DBC中，∵，∴△FAD≌△DBC（SAS），
∴∠ADF＝∠BCD，DF＝DC，∵∠BDC+∠BCD＝90°，∴∠ADF+∠BDC＝90°，即∠FDC＝90°，
又∵DF＝DC，∴△CDF是等腰直角三角形．
8【详解】（1）证明：∵，∴，
∴，∴，
又∵，∴；
（2）证明：∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，即．
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