2025-2026学年浙江九年级数学上册第1章《二次函数》常考题精选
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．根据二次函数的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，不是二次函数，故选项不符合题意；
B. ，不是二次函数，故选项不符合题意；
C. ，不是二次函数，故选项不符合题意；
D. ，是二次函数，故选项符合题意；
故选：．
2．（本题3分）（24-25九年级上·浙江·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有最小值3 B．当时，函数有最大值3
C．当时，函数有最小值3 D．当时，函数有最大值3
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据的性质进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数中，
∴二次函数当时，函数有最大值3，
故选：D．
3．（本题3分）（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．直接从图上可以分析：时，图象在轴的下方，共有2部分：一是的左边轴的下方
部分，即时图象；二是的右边轴的下方部分，即时函数图象．
【详解】解：观察图象可知，抛物线与轴两交点为，，
，图象在轴的下方，所以答案是或．
故选：B．
4．（本题3分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，则平移方式可以是（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可得到答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，
抛物线向上平移3个单位得到，
平移方式是向上平移3个单位，
故选：C．
5．（本题3分）（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小刚在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（ ）
A． B． C． D．都不对
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题实际作出取舍，然后加上3即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，当时，有：
整理得：，
解得：（舍），，
∴他与篮底的距离（米），
故选：C．
6．（本题3分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）定义符号的含义为：当时；当时．如：．则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义和掌握函数的性质是解题的关键．
【详解】解：依题意在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示．
设它们交于点、．
令，即，
解得：或，
把代入，得出，
把代入，得出，
，，
观察图象可知：
①当时，，函数值随的增大而增大，其最大值为；
②当时，，函数值随的增大而减小，其最大值为小于；
③当时，，函数值随的增大而减小，
最大值为．
综上所述，，的最大值是．
故选：A．
7．（本题3分）（2024·云南怒江·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先求出、、的值，比较即可得解．
【详解】解：∵点，，都在二次函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴，
故选：A．
8．（本题3分）（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口越小，值越大，分和两种情况 建立平面直角坐标系，利用待定系数法，求出a值即可．
【详解】解：二次函数的开口越小，值越大，分以下两种情况：
当，如图，建立平面直角坐标系，
∴二次函数的图象经过其中的3个格点，则只能过，，或，，，或，，，
当时，过，，三点的抛物线的开口最小，
设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：；
当时，如图，建立平面直角坐标系，
二次函数的图象经过、、三点，
设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：；
综上，的最大值为．
故选：A．
9．（本题3分）（2025·浙江杭州·三模）已知抛物线（a，b，c是常数），开口向上，过两点，且．下列四个结论中正确的结论有（ ）
①；
②若时，则；
③若点在抛物线上，，且，则；
④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的对称性，增减性，二次函数与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据二次函数图象开口向上，即，对称轴直线为，且可判定①；根据二次函数对称轴直线的计算方法，图象过点的知识结合可判定②；根据题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，图象开口向下，由离对称轴越远值越小可判定③；根据二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解．
【详解】解：抛物线（，，是常数）开口向上，
∴，
∵二次函数图象过两点，
∴对称轴直线为，
∵，
∴，
∴，故①正确；
若，则，
∴，
把代入抛物线解析式得，，
∴，
∴，故②错误；
∵对称轴直线为，且，
∴，
已知点，在抛物线上，，且，
∴，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，故③正确；
已知抛物线过两点，
∴设抛物线解析式为：，
令，整理得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确．
综上所述，正确的有①③④，
故选：C．
10．（本题3分）（2025·浙江·二模）二次函数的图象上有，两点，选项正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，先将二次函数化成顶点式，然后画出二次函数图像，结合二次函数图像依次分析判断选项即可得出答案．
【详解】解： ，如图，
点，是二次函数图象上的两点，
当时，，由图可得，，故选项A不符合题意；
当时，，由图可得，，故选项B符合题意，选项C不符合题意；当时，，由图可得，，大小关系不确定，故选项D不符合题意，
故选：B．
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（24-25九年级下·浙江·假期作业）若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为，二次函数最高次必须为二次，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：
12．（本题3分）（24-25九年级上·浙江·期末）若抛物线上的顶点坐标为，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据抛物线的顶点坐标，可得，，即可求得的值．
【详解】解：∵抛物线上的顶点坐标为，
∴，，
∴，
故答案为：1．
13．（本题3分）（2025·甘肃武威·二模）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及二次函数的一般式化为顶点式，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．先将化为顶点式，再利用左加右减，上加下减即可得出平移后的表达式．
【详解】解：，
∵先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
∴平移后的抛物线的表达式为，
故答案为：．
14．（本题3分）（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大．
【答案】150
【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．核心知识点是利用二次函数模型解决最值问题．解题关键在于建立正确的二次函数表达式，通过分析函数对称轴与开口方向，结合自变量实际取值范围，求出日营业收入最大时的房价．设房价提高x个10元，日营业收入为y元，进而构建日营业收入的二次函数关系式．再依据二次函数性质，找到对称轴，结合房价的取值范围，确定使日营业收入最大的房价．
【详解】解：设房价提高x个10元，日营业收入为y元．
此时房价为元，日均入住数为间．
日营业收入，展开并整理：
对于二次函数，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值．
对称轴为．
当时，房价为元，且150元在元范围内．
综上，该宾馆将标准房价格提高到150 元时，客房的日营业收入最大，
故答案为：150．
15．（本题3分）（2025·浙江杭州·三模）若二次函数有最大值为4，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键．
根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值．
【详解】解：∵二次函数有最大值为4，
∴设二次函数的顶点坐标为，
∵向左平移1个单位得到，
∴的顶点坐标为，
∵与关于轴对称，
∴的顶点坐标为，且开口向上，
此时顶点坐标为，则最小值为；
故答案为：．
16．（本题3分）（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标；
（2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得，
∴，
∴该抛物线的顶点坐标为；
（2）设直线的解析式为，
∵，点，
∴，解得：
∴直线的解析式为，
设过点C且与直线平行的直线解析式为，
当直线与抛物线有唯一的公共点，
则点C到的距离最大，
∴面积最大，
∴关于x的方程有两个相等的实数根，
∴有两个相等的实数根，
∴，解得：，
∴过点C且与直线平行的直线解析式为，
∴，解得：，
∴．
作轴交于点D，
则点的横坐标为，
又点在直线上，
∴，
∴点D的坐标为，
∴此时的面积．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式．
17．（本题3分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线，回答下列问题：
（1）无论取何值，抛物线恒过定点 和 ；
（2）当且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点，，满足，则的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意由，令得到或，故当时，；当时，，从而得到无论取何值，抛物线恒过定点；
（2）根据题意得到对称轴为直线
【详解】解：（1）根据题意，，
令，则或，
当时，，
当时，，
无论取何值，抛物线恒过定点，，
故答案为：，；
(2)由题意，先将抛物线化为顶点式：
，
顶点纵坐标为，
展开．
因为时，，
，当且仅当时等号成立，
，对于，
有，
当且仅当，即时等号成立．
此时顶点纵坐标最大，
抛物线为，
其对称轴为．
当时，随的增大而增大．
已知抛物线经过，且，
因为关于对称轴的对称点为，
所以或．
故答案为：或．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，，时，．
(1)求a，c的值．
(2)当时，求函数y的值．
【答案】(1)
(2)21
【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值；
（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）将代入解析式，求出函数y的值即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，解得：，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∴当时，．
19．（本题7分）（2025·浙江金华·三模）已知二次函数．
(1)若二次函数经过点，
①求二次函数解析式；
②当时，求的取值范围；
(2)若，点、、在二次函数图象上，请比较的大小．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据自变量的范围求函数值的范围，二次函数的增减性，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式．
（1）①把代入，求出，就可得二次函数解析式；
②先求出二次函数的最小值，再在自变量范围内求出最大值即可；
（2）先分别求得，， ，判断各自的符号，再比较的大小．
【详解】（1）解：①把代入，得：，解得，
二次函数解析式为；
②在“”范围内，
，
对称轴为直线，二次项系数为，
抛物线的开口向上，
当时，，
当时，，
当时，，
；
（2）当时，
当时，
，
，当时，
，
当时，，
．
20．（本题8分）（2025·浙江·三模）已知二次函数（为常数，）．
(1)求二次函数的对称轴．
(2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
(3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在，①当时，二次函数有最小值；②当时，二次函数有最大值
(3)
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴，最值的计算，与坐标轴交点的计算是关键．
（1）根据对称轴直线的计算公式代入计算即可；
（2）把点代入二次函数得到二次函数的表达式为：，根据二次函数图象的性质求解即可；
（3）二次函数的图象与轴有交点，可得，由此即可求解．
【详解】（1）解：二次函数（为常数，），
∴，
∴二次函数的对称轴是．
（2）解：把点代入二次函数，
得：，
解得，
∴二次函数的表达式为：，
①当时，二次函数有最小值；
②当时，二次函数有最大值．
（3）解：∵二次函数的图象与轴有交点，
∴，
化简得：，
∴．
21．（本题8分）（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数．
(1)当函数图象过点时：
①求二次函数的表达式．
②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值．
(2)当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ．
【答案】(1)①；②
(2)或．
【分析】此题考查了待定系数法求出二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）①利用待定系数法求解即可；
②首先表示出，，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）首先将二次函数配方成，得到对称轴为直线，判断出抛物线开口向上，然后分3种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）①解：∵二次函的图象过点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为；
②解：∵和都是二次函数图象上的点，
，，
，
∵，
∴，
，
∵，
∴的最小值是；
（2）∵
∴对称轴为直线
∵二次项系数为
∴抛物线开口向上
∵当时，二次函数有最小值，
①当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得，不符合题意，舍去；
②当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得或（不符合题意，舍去）；
③当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得；
综上所述，实数k的值为或．
22．（本题10分）（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”．
(1)任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”．
(2)已知二次函数．
①求证：该函数图象上一定存在两个“点”．
②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)①证明见解析；②
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题意是解题关键．
（1）对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，则方程有解；即：方程有解；推出即可求解；
（2）①令，则，根据即可求证；②设，由题意得函数图象与轴相交于点，，根据该函数图象开口向上，且，可推出当时，即，即可求解；
【详解】（1）解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，
则方程有解；
即：方程有解；
∴；
二次函数满足要求；
（2）解：①令，则，
，
一定存在两个“点”．
②设，
是的解，
函数图象与轴相交于点，，
该函数图象开口向上，且，
当时，即，
．
23．（本题10分）（2025·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）．
(1)若该函数图象经过点，，且．
①当时，求的值．
②当时，，求的取值范围．
(2)若该函数的最小值为，求的最小值．
【答案】(1)①；②；
(2)取得最小值
【分析】（）①利用二次函数的对称性可得，据此即可求解；②由对称性质可得点关于直线的对称点的坐标为，再根据二次函数的性质解答即可求解；
（）由函数的最小值可得，进而可得，再利用二次函数的性质解答即可求解；
本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：①当时，，是一组对称点，
∴对称轴为直线，
解得；
②点关于直线的对称点的坐标为，
∵，
∴，
∵，抛物线开口向上，
，
解得；
（2）解：∵函数的最小值为，
∴当时，，
∴，
∴，
∴当时，取得最小值为．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2025-2026学年浙江九年级数学上册第1章《二次函数》常考题精选
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）（24-25九年级上·浙江·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数有最小值3 B．当时，函数有最大值3
C．当时，函数有最小值3 D．当时，函数有最大值3
3．（本题3分）（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
4．（本题3分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，平移抛物线得到，则平移方式可以是（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
5．（本题3分）（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小刚在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（ ）
A． B． C． D．都不对
6．（本题3分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）定义符号的含义为：当时；当时．如：．则的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
7．（本题3分）（2024·云南怒江·一模）已知点，，都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
9．（本题3分）（2025·浙江杭州·三模）已知抛物线（a，b，c是常数），开口向上，过两点，且．下列四个结论中正确的结论有（ ）
①；
②若时，则；
③若点在抛物线上，，且，则；
④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①④
10．（本题3分）（2025·浙江·二模）二次函数的图象上有，两点，选项正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（24-25九年级下·浙江·假期作业）若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ．
12．（本题3分）（24-25九年级上·浙江·期末）若抛物线上的顶点坐标为，则的值为 ．
13．（本题3分）（2025·甘肃武威·二模）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为 ．
14．（本题3分）（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大．
15．（本题3分）（2025·浙江杭州·三模）若二次函数有最大值为4，则的最小值是 ．
16．（本题3分）（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ．
17．（本题3分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线，回答下列问题：
（1）无论取何值，抛物线恒过定点 和 ；
（2）当且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点，，满足，则的取值范围是 ．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，，时，．
(1)求a，c的值．
(2)当时，求函数y的值．
19．（本题7分）（2025·浙江金华·三模）已知二次函数．
(1)若二次函数经过点，
①求二次函数解析式；
②当时，求的取值范围；
若，点、、在二次函数图象上，请比较的大小．
20．（本题8分）（2025·浙江·三模）已知二次函数（为常数，）．
(1)求二次函数的对称轴．
(2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
(3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围．
21．（本题8分）（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数．
(1)当函数图象过点时：
①求二次函数的表达式．
②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值．
当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ．
22．（本题10分）（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”．
(1)任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”．
(2)已知二次函数．
①求证：该函数图象上一定存在两个“点”．
②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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