2025-2026学年浙江九年级数学上册第三章《圆的基本性质》易错题精选
请同学们注意：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分，考试时间为100分钟。
2.所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。
3.考试结束后，只需上交答题卷。
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知⊙O的半径为3，点M到圆心O的距离为1.5，则点M在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住，若圆半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
比较与的大小即可得出结论．
【详解】解：的半径为3．点到圆心的距离为1.5，
点在圆内．
故答案为：C．
2．（本题3分）（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了旋转的性质，
先根据旋转的性质得，再根据得出答案．
【详解】根据旋转的性质得，
∵，
∴．
故选：D．
3．（本题3分）（23-24九年级上·浙江宁波·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．三角形外心到三边距离相等
D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
【答案】D
【分析】根据圆的认识，垂径定理，三角形的内心与外心，确定圆的条件逐项判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；
B、平分不是直径的弦的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形外心到三个顶点的距离相等，故本选项说法错误，不符合题意；
D、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故本选项说法正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查圆的认识，垂径定理，三角形的内心与外心，确定圆的条件．熟练掌握这些数学概念的解题的关键．
4．（本题3分）（2025·浙江杭州·一模）如图，点，，在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理，即可计算．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：A．
5．（本题3分）（24-25九年级上·浙江宁波·期末）圆内接四边形中，，是对角线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由等边对等角得，再由三角形内角和定理得，再由圆内接四边形的性质得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵是圆内接四边形，
∴．
故选：C．
6．（本题3分）（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，菱形的顶点，，在上，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了扇形面积的计算及菱形的性质，连接和交于点，根据菱形及直角三角形的性质先求出的长及的度数，然后求出菱形及扇形的面积，则由得出答案即可．
【详解】解：如图，连接和交于点，
∵，菱形的顶点，，在上，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴图中阴影部分的面积，
故选：A．
7．（本题3分）（2025·山东菏泽·三模）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，构造辅助线利用垂径定理是解题的关键；作于H，连接，；在中，由含30度直角三角形的性质，可求得，在中，由勾股定理求得，从而可求得的长．
【详解】解：作于H，连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故选：B．
8．（本题3分）（2025·浙江绍兴·三模）如图所示，为的直径，，交于点，交于点，，给出以下结论：①；②；③；④的长度是的2倍．其中正确的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等知识，运用排除法逐条分析判断即可．
【详解】解：连接，
∵是直径，
∴．
，，
，．
又，
∴，故①正确，
且，
平分，，故②正确，
∵，，
∴，，故③错误；
∵，，
∴，，
∴，故④正确；
故正确的有①②④．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等边对等角，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等知识，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．（本题3分）（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，以为直径的与，交于点，，连结，．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了扇形的面积、圆周角定理、中位线定理，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键．
根据直径所对的圆周角是直角得到，点是的中点，从而得出是的中位线，于是，阴影部分的面积转化为扇形的面积，进而求解．
【详解】连接、，如图：
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
即点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C ．
10．（本题3分）（2025·浙江宁波·模拟预测）已知扇形和两个正方形，如图放置，，点在上，若已知正方形的面积，则下列可求的是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．弧的长
【答案】A
【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，先证出，，根据全等三角形的性质可得，，，，再设，，，，则，求出，，然后根据可得，利用勾股定理可得，由此即可得．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可证：，
∴，，
设，，，，
在中，，即，
∵，，，，，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，，，
∴，，
∴，
，
又∵在扇形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴已知正方形的面积，可求出的长，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、圆的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和矩形是解题关键．
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（24-25九年级上·浙江温州·期中）同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了点与圆上各点的距离的最大值与最小值的含义．
【详解】解：∵点P在圆内时，的直径长为，半径为；
的半径长为 ．
故答案为：4．
12．（本题3分）（22-23九年级下·浙江·开学考试）如图，是的直径，弦垂足为P．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，设的半径为，在直角三角形中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：设的半径为，
则
∵，
∴
则：
解得：
∴，
故答案为：．
13．（本题3分）（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，C，D是弧上两点．若，则的度数是 ．
【答案】/25度
【分析】本题考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，运用圆周角定理及圆内接四边形的性质求角的度数是解题关键，根据圆内接四边形的性质可求出的度数，再根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：四边形是圆内接四边形，
，
，
是的直径，
，
；
故答案为：．
14．（本题3分）（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图是门锁的局部图和其示意图，已知门把手为，当握住门把手绕点逆时针旋转时，点到达点的位置，则门把手扫过的图形面积为 （结果保留）
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积的计算，正确理解门把手扫过的图形面积以为半径，圆心角为的扇形的面积是解题的关键．根据扇形的面积公式代入数据计算即可．
【详解】解：根据题意：门把手扫过的图形面积为
故答案为：．
15．（本题3分）（2025·浙江舟山·二模）如图，菱形中，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，连接，当与第一次垂直时，的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握性质、旋转的性质，等边对角的运用是关键．根据菱形，旋转的性质得到，，，如图所示，连接，设与交于点，可证，，由此得到，由，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，
如图所示，连接，设与交于点，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为： ．
16．（本题3分）（2025·浙江杭州·一模）如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则 ．
【答案】/
【分析】连接、，先求出，证明为等腰直角三角形，得出，设，，则，，，根据，得出，求出，最后求出结果即可．
【详解】解：连接、，如图所示：
∵，
∴，
根据折叠可知：，，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，，则，，，
∵，
∴，
整理得：，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
17．（本题3分）（2025·浙江·模拟预测）如图，中，，，，则外接圆的面积为 ．
【答案】
【分析】先连接，在截取一点，连接使得，证明是等腰直角三角形，结合三角形的外角性质以及角的和差关系得，即，设，则，得，
根据，得，整理得，运用圆周角定理以及勾股定理，得再代入数值计算，即可作答．
【详解】解：连接，在截取一点，连接使得，
如图所示：
∵，
∴，
即是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
即，
∴，
设，
则，
∴，
过作，
∴，
同理证明是等腰直角三角形
∴，
∵，
∴，
整理得，
过作，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，
∴，
即，
∴，
∴，
则
即
∴，
∵，
∴，
整理得，
∴，
则外接圆的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点
(1)求证：；
(2)若 ，的度数为，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用，可得，再根据圆内接四边形性质可得，即可得到结论；
（2）利用，可得，根据圆周角定理得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到的度数；
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
即：
（2）∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握垂径定理是是解决本题的关键．
19．（本题8分）（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点三点，请在网格中进行下列操作：
(1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置．
(2)写出D点坐标为_________，并求的半径长．
【答案】(1)答案见详解；
(2)；
【分析】（1）根据垂径定理得到圆的圆心D点的位置及坐标；
（2）从图上可直接读出点D的坐标；根据勾股定理进行计算，得到答案．
【详解】（1）由垂径定理得到圆的圆心D;如图所示：
（2）
D点坐标为；
连接，由勾股定理得：
【点睛】本题考查的是过三点的圆、垂径定理、勾股定理，掌握这些知识点是解题的关键．
20．（本题8分）（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，是的外接圆，点为上一点，连接，过点作交延长线于点，，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当是的中点时，，，求半径的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)半径的长
【分析】本题考查圆，平行四边形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握圆周角的性质，垂径定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，进行解答，即可．
（1）根据平行线的性质，可得，根据等边对等角，则，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，则，根据三角形的内角和，等量代换，得，根据平行四边形的判定，即可；
（2）连接，，设与的交点为点，根据垂径定理，得到，根据平行四边形的性质，则，，根据勾股定理，求出，设，则，解出，即可．
【详解】（1）解：证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵所对的圆周角为，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：连接，，设与的交点为点，
∵是的中点，
∴且是的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
∴半径的长．
21．（本题8分）（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，．
(1)求的度数．
(2)若的半径为1，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理和推论，扇形面积，三角形内角和定理，
（1）由圆周角定理得，根据得，根据得，根据三角形内角和定理即可得；
（2）连结，根据得，根据的半径为1得，根据阴影部分面积等于扇形面积减去三角形的面积即可得；
掌握圆周角定理，扇形面积，添加辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：连结，
∵是直径，
，
∵，
，
∵，
，
．
（2）解：如图所示，连结，
∵，
，
∵的半径为1，
，
．
22．（本题9分）（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，四边形是矩形，与圆相交于点E，，D是上的点，，与交于点C，的半径为．
(1)求的长．
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了直角三角形的性质，弧长的计算，矩形的性质，是基础知识要熟练掌握．
（1）连接，过作于，在 中，由勾股定理得出的长，进而求得的长．
（2）连接，则在直角三角形中，可求得，过点作于，在直角三角形中，可求得，则得出的长度．
【详解】（1）解：连接，过作于，
则四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴．
（2）解：连接，
在直角三角形中，∵，
，
∴，
过点作于，在直角三角形中，
，
，
，
．
23．（本题10分）（23-24九年级上·浙江·期末）如图，是的直径，的平分线交于点C，于点E，于点H与交于点G，与交于M点，且.
(1)求证：
(2)求证：
(3)若半径为4，求的长.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图：连接，先说明，得到，再说明,进而说明，然后根据角的运算和等量代换即可证明结论；
（2）先说明是等边三角形可得，进而说明，最后根据直角三角形中所对的边是斜边的一半即可证明结论；
（3）如图：连接，由（2）可得，根据垂径定理可得，再根据直角三角形中所对的边是斜边的一半可得，同理得到；再运用勾股定理求得，最后根据垂径定理可得即可.
【详解】（1）解：如图：连接
∵
∴，
∵的平分线交于点C，
∴
∴
∴
∵
∴，即
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∵,
∴
∴
∴
∵
∴
（2）解：∵、
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∵
∴
∴.
（3）解：如图：连接
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
由垂径定理可得：.
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、垂径定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2025-2026学年浙江九年级数学上册第三章《圆的基本性质》易错题精选
请同学们注意：
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分，考试时间为100分钟。
2.所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。
3.考试结束后，只需上交答题卷。
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知⊙O的半径为3，点M到圆心O的距离为1.5，则点M在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
2．（本题3分）（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（23-24九年级上·浙江宁波·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．三角形外心到三边距离相等
D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
4．（本题3分）（2025·浙江杭州·一模）如图，点，，在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）（24-25九年级上·浙江宁波·期末）圆内接四边形中，，是对角线，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，菱形的顶点，，在上，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）（2025·山东菏泽·三模）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为( )
A． B． C． D．
8．（本题3分）（2025·浙江绍兴·三模）如图所示，为的直径，，交于点，交于点，，给出以下结论：①；②；③；④的长度是的2倍．其中正确的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．（本题3分）（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，以为直径的与，交于点，，连结，．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）（2025·浙江宁波·模拟预测）已知扇形和两个正方形，如图放置，，点在上，若已知正方形的面积，则下列可求的是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．弧的长
二、填空题（共21分）
11．（本题3分）（24-25九年级上·浙江温州·期中）同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ．
12．（本题3分）（22-23九年级下·浙江·开学考试）如图，是的直径，弦垂足为P．若，则的长为 ．
13．（本题3分）（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，C，D是弧上两点．若，则的度数是 ．
14．（本题3分）（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图是门锁的局部图和其示意图，已知门把手为，当握住门把手绕点逆时针旋转时，点到达点的位置，则门把手扫过的图形面积为 （结果保留）
15．（本题3分）（2025·浙江舟山·二模）如图，菱形中，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，连接，当与第一次垂直时，的度数为 ．
16．（本题3分）（2025·浙江杭州·一模）如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则 ．
17．（本题3分）（2025·浙江·模拟预测）如图，中，，，，则外接圆的面积为 ．
三、解答题（共49分）
18．（本题6分）（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点
(1)求证：；
(2)若 ，的度数为，求的度数．
19．（本题8分）（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点三点，请在网格中进行下列操作：
(1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置．
(2)写出D点坐标为_________，并求的半径长．
20．（本题8分）（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，是的外接圆，点为上一点，连接，过点作交延长线于点，，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当是的中点时，，，求半径的长．
21．（本题8分）（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，．
(1)求的度数．
(2)若的半径为1，求图中阴影部分的面积．
22．（本题9分）（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，四边形是矩形，与圆相交于点E，，D是上的点，，与交于点C，的半径为．
(1)求的长．
(2)若，求的长．
23．（本题10分）（23-24九年级上·浙江·期末）如图，是的直径，的平分线交于点C，于点E，于点H与交于点G，与交于M点，且.
(1)求证：
(2)求证：
(3)若半径为4，求的长.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
