1.1二次函数 同步练习（含答案）
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1.1二次函数
一、单选题
1．（2023九上·宁明月考）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·涿州月考）下列关系式中，属于二次函数的是为自变量（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·芝罘期中）下列所涉及的两个变量满足的函数关系属于二次函数的是（ ）
A．等边三角形的面积S与等边三角形的边长x
B．放学时，当小希骑车速度一定时，小希离学校的距离s与小希骑车的时间t
C．当工作总量一定时，工作效率y与工作时间t
D．正方形的周长y与边长x
5．（2022九上·舟山月考）下列关系式中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数y=（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．-1
7．已知二次函数y=1﹣3x+5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（ ）
A．a=1，b=﹣3，c=5 B．a=1，b=3，c=5
C．a=5，b=3，c=1 D．a=5，b=﹣3，c=1
8．（2020九上·路北期中）下列关系式中，属于二次函数（ 为自变量）的是（ ）
A． B． C． D．y=-x+1
9．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2017年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=100（1﹣x）2 B．y=100（1+x）2
C．y= D．y=100+100（1+x）+100（1+x）2
10．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为 （ ）
A． B．-2 C．- D．
二、填空题
11．（2021九上·新丰期中）已知y＝（k－2）x|k|＋2x－3是二次函数，则实数k＝
12．（2025·虹口模拟）已知是二次函数，那么的值是 ．
13．（2025九上·科尔沁月考）当 时，函数是二次函数．
14．（2025九上·宜兴期末）写出一个图像过点且其对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小的二次函数表达式
15．（2023九上·广阳月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，E在抛物线上，过点A，E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B，F，分别过点E，F作x轴的垂线交线段于C，D两点．已知点．
（1） ；
（2）若四边形为正方形，则线段的长为 ．
16．（2022·南浔模拟）如图，一组x轴正半轴上的点 ， ，… 满足条件 ，抛物线的顶点 ， ，… 依次是反比例函数 图象上的点，第一条抛物线以 为顶点且过点O和 ；第二条抛物线以 为顶点且经过点 和 ；……第n条抛物线以 为顶点且经过点 ， ，依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成 、 、…、 .
（1）请写出所有满足三角形面积为整数的n的值 ；
（2）若三角形是一个直角三角形，它相对应的抛物线的函数表达式为 .
三、计算题
17．（2023九上·建昌期中）已知抛物线的顶点是，与y轴交于点，求该抛物线的解析式．
18．（2025九上·张家口期末）如图，有一个人站在水平球台上去打高尔夫球，球台到x轴的距离为，与y轴相交于点E，弯道：与球台交于点F，且，弯道末端垂直x轴于点B，且，从点E处飞出的球沿抛物线L：运动，落在弯道的D处，且D处到x轴的距离为．
（1）求k，b的值．
（2）高尔夫球落在D处后立即弹起，沿另外一条抛物线G运动，若G的最高点坐标为 P．
① 求抛物线G的解析式，并说明小球能否落在弯道上？
② 在x轴上有托盘，现在把托盘向上平移，若小球能被托盘接住（小球落在托盘边缘不会掉落），直接写出d的取值范围．
19．（2024·三明模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为线段上的动点，过点D作的平行线交于点E，求面积的最大值；
（3）点M是该抛物线上不同于A，B的一个动点，连接，过点O作的平行线，过点B作y轴的平行线，交于点N，判断直线是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．
四、解答题
20．（2023九上·阳春月考）已知抛物线，
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在轴上，求其解析式．
21．（2025·涟水模拟）已知二次函数的图象过，求这个函数的解析式．
22．（2024九下·贵州模拟）平面直角坐标系内，一次函数交于轴于点，交轴于点．点，关于点对称，抛物线过点且交一次函数与点，，点，的横坐标分别为，，抛物线的顶点为．
（1）求点坐标和抛物线的函数表达式；
（2）若，，求的取值范围；
（3）过点作轴的平行线，将抛物线上的部分向上翻折，与原函数共同构成新的函数．若一次函数与新的函数图象只有个交点，直接写出的值．
23．（2025九上·昌平期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点．
（1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
（2）若对于抛物线上的两个点，都有．求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
2．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
3．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的概念；二次函数的定义；正比例函数的概念
5．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
6．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
7．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
8．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
9．【答案】B
【知识点】列二次函数关系式
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；正方形的性质
11．【答案】-2
【知识点】二次函数的定义
12．【答案】
【知识点】二次函数的定义
13．【答案】
【知识点】二次函数的定义
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
15．【答案】1；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质
16．【答案】（1）1或2或5
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
17．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
18．【答案】（1），
（2）①，小球不能落在弯道上；②．
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的定义；待定系数法求二次函数解析式
19．【答案】（1）
（2）2
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；待定系数法求二次函数解析式
20．【答案】（1）直线
（2）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
21．【答案】这个函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
22．【答案】（1），
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的其他应用
23．【答案】（1）
（2）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
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1.1二次函数
一、单选题
1．（2023九上·宁明月考）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·涿州月考）下列关系式中，属于二次函数的是为自变量（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·芝罘期中）下列所涉及的两个变量满足的函数关系属于二次函数的是（ ）
A．等边三角形的面积S与等边三角形的边长x
B．放学时，当小希骑车速度一定时，小希离学校的距离s与小希骑车的时间t
C．当工作总量一定时，工作效率y与工作时间t
D．正方形的周长y与边长x
5．（2022九上·舟山月考）下列关系式中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数y=（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．-1
7．已知二次函数y=1﹣3x+5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（ ）
A．a=1，b=﹣3，c=5 B．a=1，b=3，c=5
C．a=5，b=3，c=1 D．a=5，b=﹣3，c=1
8．（2020九上·路北期中）下列关系式中，属于二次函数（ 为自变量）的是（ ）
A． B． C． D．y=-x+1
9．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2017年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=100（1﹣x）2 B．y=100（1+x）2
C．y= D．y=100+100（1+x）+100（1+x）2
10．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为 （ ）
A． B．-2 C．- D．
二、填空题
11．（2021九上·新丰期中）已知y＝（k－2）x|k|＋2x－3是二次函数，则实数k＝
12．（2025·虹口模拟）已知是二次函数，那么的值是 ．
13．（2025九上·科尔沁月考）当 时，函数是二次函数．
14．（2025九上·宜兴期末）写出一个图像过点且其对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小的二次函数表达式
15．（2023九上·广阳月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，E在抛物线上，过点A，E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B，F，分别过点E，F作x轴的垂线交线段于C，D两点．已知点．
（1） ；
（2）若四边形为正方形，则线段的长为 ．
16．（2022·南浔模拟）如图，一组x轴正半轴上的点 ， ，… 满足条件 ，抛物线的顶点 ， ，… 依次是反比例函数 图象上的点，第一条抛物线以 为顶点且过点O和 ；第二条抛物线以 为顶点且经过点 和 ；……第n条抛物线以 为顶点且经过点 ， ，依次连结抛物线的顶点和与x轴的两个交点，形成 、 、…、 .
（1）请写出所有满足三角形面积为整数的n的值 ；
（2）若三角形是一个直角三角形，它相对应的抛物线的函数表达式为 .
三、计算题
17．（2023九上·建昌期中）已知抛物线的顶点是，与y轴交于点，求该抛物线的解析式．
18．（2025九上·张家口期末）如图，有一个人站在水平球台上去打高尔夫球，球台到x轴的距离为，与y轴相交于点E，弯道：与球台交于点F，且，弯道末端垂直x轴于点B，且，从点E处飞出的球沿抛物线L：运动，落在弯道的D处，且D处到x轴的距离为．
（1）求k，b的值．
（2）高尔夫球落在D处后立即弹起，沿另外一条抛物线G运动，若G的最高点坐标为 P．
① 求抛物线G的解析式，并说明小球能否落在弯道上？
② 在x轴上有托盘，现在把托盘向上平移，若小球能被托盘接住（小球落在托盘边缘不会掉落），直接写出d的取值范围．
19．（2024·三明模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为线段上的动点，过点D作的平行线交于点E，求面积的最大值；
（3）点M是该抛物线上不同于A，B的一个动点，连接，过点O作的平行线，过点B作y轴的平行线，交于点N，判断直线是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．
四、解答题
20．（2023九上·阳春月考）已知抛物线，
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在轴上，求其解析式．
21．（2025·涟水模拟）已知二次函数的图象过，求这个函数的解析式．
22．（2024九下·贵州模拟）平面直角坐标系内，一次函数交于轴于点，交轴于点．点，关于点对称，抛物线过点且交一次函数与点，，点，的横坐标分别为，，抛物线的顶点为．
（1）求点坐标和抛物线的函数表达式；
（2）若，，求的取值范围；
（3）过点作轴的平行线，将抛物线上的部分向上翻折，与原函数共同构成新的函数．若一次函数与新的函数图象只有个交点，直接写出的值．
23．（2025九上·昌平期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点．
（1）求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
（2）若对于抛物线上的两个点，都有．求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
2．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
3．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的概念；二次函数的定义；正比例函数的概念
5．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
6．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
7．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
8．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
9．【答案】B
【知识点】列二次函数关系式
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；正方形的性质
11．【答案】-2
【知识点】二次函数的定义
12．【答案】
【知识点】二次函数的定义
13．【答案】
【知识点】二次函数的定义
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
15．【答案】1；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质
16．【答案】（1）1或2或5
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
17．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
18．【答案】（1），
（2）①，小球不能落在弯道上；②．
【知识点】函数自变量的取值范围；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数的定义；待定系数法求二次函数解析式
19．【答案】（1）
（2）2
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；待定系数法求二次函数解析式
20．【答案】（1）直线
（2）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
21．【答案】这个函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
22．【答案】（1），
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的其他应用
23．【答案】（1）
（2）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
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