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1.2二次函数的图像
一、单选题
1.(2023九上·昭阳月考)直线不经过第三象限,那么的图像大致为( )
A. B.
C. D.
2.(2025九下·西城开学考)将抛物线向左平移个单位长度,平移后抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
3.(2023九上·曾都期末)抛物线 的对称轴是( )
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
4.(2021九上·天门期末)抛物线 可以由下列哪条抛物线平移得到( )
A. B. C. D.
5.(2024九上·江门月考)如图,二次函数的图象与轴交于点,两点,对称轴是直线,下列结论中,正确结论的序号为( )
①;②点的坐标是;③;④对于任意实数,都有.
A.①② B.②③ C.②③④ D.②④
6.(2020九上·海淀期末)如图,在同一平面直角坐标系中,函数 与 的图象可能是( ).
A. B.
C. D.
7.(2018九上·内蒙古期末)一次函数 与二次函数 在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.(2022九上·茂南期末)已知函数的图像如图所示,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
9.(2023九上·温州月考)将抛物线y=x2+3向左平移1个单位长度后,得到的抛物线的解析式是( )
A.y=x2+4 B.y=x2+2
C.y=(x﹣1)2+3 D.y=(x+1)2+3
10.(2024九下·乌鲁木齐期末)如图,在平画直角坐标系中,抛物线经过点A(-2,0)和B(4,0),点C为抛物线的顶点,则下列结论:
①abc>0;
②关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为-2<x<4;
③3a+c<0;
④若是直角三角形,则点C的坐标为(1,-3);
⑤若m为任意实数,则
其中结论正确的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题
11.(2024九下·绿园模拟)在平面直角坐标系中,若抛物线的顶点在轴,则的值为 .
12.(2025·崇明模拟)如果将抛物线向左平移3个单位,那么所得抛物线的表达式是 .
13.(2019九上·柳江期中)如图,抛物线 向右平移 个单位得到抛物线 .
14.(2021九上·黄浦期末)如果抛物线的对称轴是轴,那么顶点坐标为
15.(2025九下·青铜峡月考)抛物线化成顶点式是 .
16.(2020九上·江都月考)如图, 的顶点 在抛物线 上,将 绕点 顺时针旋转 得到 ,现将抛物线沿 轴向上平移 个单位,使得抛物线与边 只有一个公共点 ,则 的取值范围为 .
三、计算题
17.(2023九上·惠城期中)通过计算,求出二次函数的对称轴和顶点坐标.
18.(2024九上·南京月考)请利用配方法求出下列函数的最值.
(1);
(2).
19.(2024·沭阳模拟)如图,在平面直角坐标系中抛物线与轴交于点,,与轴交于点,其中,.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点是直线下方抛物线上一动点,过点作于点,求的最大值及此时点的坐标;
(3)在()的条件下,将该抛物线向右平移个单位,点为点的对应点,平移后的抛物线与轴交于点,为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.求出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标.
四、解答题
20.(2023九上·剑河月考)已知点在抛物线上.
(1)求点A的坐标;
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标.
21.(2024九上·乌鲁木齐月考)(1)将抛物线化简成的形式,并写出顶点坐标;
(2)判断是否在图像上?
22.(2024九上·海淀期中)在平面直角坐标系中,已知抛物线.
(1)求抛物线的顶点坐标(用含a的代数式表示);
(2)已知点,是抛物线上的两点.若对于,,都有,求a的取值范围.
23.(2025九下·温州模拟)已知二次函数的图象经过点.
(1)求二次函数解析式及其对称轴;
(2)将函数图象向上平移个单位长度,图象与轴相交于点A,B(在原点左侧),当时,求的值;
(3)当时,二次函数的最小值为2n,求的值.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系;一次函数图象、性质与系数的关系
2.【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
3.【答案】C
【知识点】二次函数y=a(x-h)²+k的图象
4.【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
5.【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
6.【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系;一次函数图象、性质与系数的关系
7.【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系;一次函数图象、性质与系数的关系
8.【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
9.【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
10.【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
11.【答案】9
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
12.【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
13.【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
14.【答案】(0,-1)
【知识点】二次函数y=a(x-h)²+k的图象
15.【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
16.【答案】0<m<2或
【知识点】二次函数图象的几何变换
17.【答案】对称轴为直线,顶点坐标为.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
18.【答案】(1)最大值为;
(2)最小值为.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
19.【答案】(1);
(2)的最大值为,此时点;
(3)点的坐标为或或.
【知识点】二次函数图象的几何变换;待定系数法求二次函数解析式
20.【答案】(1)点A的坐标为或;
(2)抛物线的对称轴是直线,顶点坐标为.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
21.【答案】(1),顶点坐标为;(2)不在
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
22.【答案】(1)该抛物线的顶点坐标为
(2)或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
23.【答案】(1)解:将代入,得.
,
对称轴为直线
(2)解:函数图象向上平移个单位长度后解析式为
在原点左侧,
设点坐标为,点坐标为
,解得
将代入,得
(3)解:当即时,当时有最小值为2n,
,解得(舍),(舍)
当即时,当时有最小值为,
,解得
综上,
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象的平移变换
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