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1.3 二次函数的性质
一、单选题
1.(2024·五华模拟)抛物线的部分图象如图所示,则一元二次方程的根为( )
A. B.,
C., D.,
2.(2024九上·珠海期中)如图,抛物线经过,对称轴为直线.有如下结论:①;②;③对于任意实数m,总有;④对于a的每一个确定的值,若一元二次方程(P为常数,且)的根为整数,则满足条件的P的值有且只有三个.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(2023九上·门头沟期中)在平面直角坐标系xOy中,抛物线的示意图如图所示,下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
4.(2025·江门模拟)设是抛物线上的三点,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.(2024九上·邯郸经济技术开发月考)抛物线的图象与x轴交于点,,t为常数,则y的最小值为( )
A. B. C. D.
6.(2022九上·顺庆期末)如图,抛物线过点和点,且顶点在第四象限,设,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
7.(2024九上·丛台月考)若抛物线的开口向下,则的值可以是( )
A. B. C. D.
8.(2021九上·甘井子月考)已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表:
… -2 -1 0 1 2 …
… -1 2 3 2 -1 …
关于此函数的图象和性质有如下判断:
①抛物线开口向下.②当 时,函数图象从左到右上升.③方程 的一个根在-2与-1之间.
其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
9.抛物线y=-3x2-x+4 与坐标轴的交点个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
10.(2024·亭湖模拟)已知 , 均为关于x的函数,当 时,函数值分别为 , ,若对于实数a,当 时,都有 ,则称 , 为亲函数,则以下函数 和 是亲函数的是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
二、填空题
11.(2020九上·洛宁期末)抛物线y=5(x﹣4)2+3的顶点坐标是 .
12.(2021九上·磐石期中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表:
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣7 ﹣1 3 5 5 …
则 的值为 .
13.(2023九上·门头沟期中)已知某二次函数,当时,y随x的增大而增大,解析式可以是 .
14.(2023·双峰模拟)如图,二次函数的图象过点,对称轴为直线,给出以下结论:①;②;③抛物线与轴的另一个交点的坐标为;④若,为函数图象上的两点,则.其中正确的结论是 .(填写代表正确结论的序号)
15.(2019九上·黄石月考)已知 , 是抛物线 上的两点,且 ,若 ,则 (填“ ”、“ ”或“ ”)
16.(2025·长沙模拟)如图,点为等边的边上的一个动点,,过点作于点,交边于点,连接,则的面积最大值为 .
三、计算题
17.(2023九上·东阳月考)求二次函数与轴、轴的交点坐标.
18.(2024九上·北京市月考)在平面直角坐标系中,点,点在抛物线
上.设抛物线的对称轴为直线.
(1)当时,
①直接写出与满足的等量关系;
②比较,的大小,并说明理由;
(2)已知点在该抛物线上,若对于,都有,求的取值范围.
19.(2021九上·东莞月考)如图,在正方形ABCD中,点A的坐标为( , ),点D的坐标为( , ),且AB∥y轴,AD∥x轴. 点P是抛物线 上一点,过点P作PE⊥x轴于点E,PF⊥y轴于点 F.
(1)直接写出点 的坐标;
(2)若点P在第二象限,当四边形PEOF是正方形时,求正方形PEOF的边长;
(3)以点E为顶点的抛物线 经过点F,当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时,求a的取值范围.
四、解答题
20.(2023九上·徐汇模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,二次函数 的图像经过点A(1,0)、B(0,-5)、C(2,3).求这个二次函数的解析式,并求出其图像的顶点坐标和对称轴.
21.(2024九上·昆明开学考)已知二次函数,确定抛物线的开口方向和顶点坐标;
22.(2023九上·广州期中) 已知是的二次函数,、满足下列表
… 0 1 2 3 4 …
… 5 2 1 2 5 …
(1)求二次函数解析式;
(2)当时,直接写出的取值范围.
23.(2024九上·宁波期中)已知二次函数(b,c为常数),
(1)若抛物线与x轴正半轴的交点坐标是(1,0),对称轴为直线,求抛物线的解析式;
(2)若,设函数图象的顶点坐标为,当b的值变化时,求m与n的关系式;
(3)已知二次函数图象经过两点,若时,总有,求q-p的取值范围.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
2.【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题
3.【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题
4.【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
5.【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
6.【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象上点的坐标特征
7.【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
8.【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数y=ax²+bx+c的图象;二次函数y=ax²+bx+c的性质
9.【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
10.【答案】D
【知识点】反比例函数的性质;二次函数的最值;不等式的性质
11.【答案】(4,3)
【知识点】二次函数y=a(x-h)²+k的性质
12.【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
13.【答案】(答案不唯一)
【知识点】二次函数y=a(x-h)²+k的性质
14.【答案】②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题
15.【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
16.【答案】
【知识点】二次函数的最值;等边三角形的性质;含30°角的直角三角形;勾股定理
17.【答案】、、
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
18.【答案】(1)解:①,∴;
②∵抛物线中,,
∴抛物线开口向上,
∵点点在抛物线上,对称轴为直线,
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离,
∴;
(2)解:由题意可知,点)在对称轴的左侧, 点在对称轴的右侧,,都有,
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离,
,解得,
∴的取值范围是
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax²+bx+c的性质
19.【答案】(1) ( , );
(2)设点 ( , ).
当四边形 是正方形时, ,
当点 在第二象限时,有 .
解得 , .
∵ ,
∴ .
∴正方形 的边长为 .
(3)设点 ( , ),则点E( , ),则点F( , ).
∵ 为抛物线顶点,
∴该抛物线解析式为 .
∵抛物线经过点 ,
∴ ,化简得 .
对于 ,令 ,解得 ; 令 ,解得 .
∵点 在正方形 内部,
∴ < < ,且 .
①当 < < 时
由反比例函数性质知 ,∴ < .
②当 < < 时
由反比例函数性质知 ,∴ > .
【知识点】反比例函数的图象;反比例函数的性质;正方形的性质;二次函数图象上点的坐标特征
20.【答案】解:由这个函数的图象经过点A(1,0)、B(0,-5)、C(2,3),得
解得
所以,所求函数的解析式为 .
.
所以,这个函数图象的顶点坐标为(3,4),
对称轴为直线x = 3.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数y=ax²+bx+c的性质
21.【答案】解:因为二次函数解析式为,
所以二次函数开口向下,且顶点坐标为.
【知识点】二次函数y=a(x-h)²+k的性质;二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
22.【答案】(1)解:由表格可知,二次函数图象的顶点为,
设二次函数解析式为,
将代入,得:,
解得:,
二次函数的解析式为,即;
(2)解:的取值范围为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征
23.【答案】(1)解:根据题意可得,解得
则解析式为;
(2)解:由可得,
由顶点坐标为,可得
可得,代入可得,
即;
(3)解: 二次函数图象经过两点
则对称轴为直线
∵,开口方向向下,
将代入可得,
,且
可得:,
则二次函数解析式为:,
顶点坐标为,
令,即
方程的两根满足:,,
∴
即抛物线与直线y=-7的两个交点的横坐标之差为4,
若 若时 , 总有 ,则 q-p 的最大值为;
当或时,有最小值,为,
∴;
【知识点】列二次函数关系式;二次函数y=ax²+bx+c的性质;二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化;利用一般式求二次函数解析式
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