3.1 圆 同步练习（含答案）
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3.1 圆
一、单选题
1．（2022九上·南开期中）已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为（ ）cm．
A．2 B．4 C．8 D．16
2．（2024九下·龙湾开学考）已知⊙O的半径为7，点A在⊙O外，则OA的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2025九下·射洪月考）下列四个命题中，正确的有（ ）
①圆的对称轴是直径；②经过三个点确定一个圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2020九上·江都月考）已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ）
A．一定在⊙O的内部 B．一定在⊙O的外部
C．一定在⊙O的上 D．不能确定
5．（2024九上·武胜期末）同一平面内，已知的直径是，线段，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定
6．已知线段QP，AP=AQ，以QP为直径作圆，点A与此圆的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
7．（2024九上·湖南期末） 在平面直角坐标系中，过点（﹣1，0）的直线与以C （2，2）为圆心、4为半径的圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
8．（2024九上·江苏月考）⊙O的直径为8cm，点A到圆心O的距离OA＝6cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆内 C．点A在圆上 D．无法确定
9．（2021九上·长兴期中）根据已有的圆规作图痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024九上·射阳月考）如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023八上·虞城月考）到点p(-3，0)的距离等于2的点的轨迹是 .
12．（2024九上·无锡月考）若的半径为4，点A到圆心O的距离为3，则点A在 ．
13．是不在上的一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是 .
14．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．
15．（2020九上·慈溪月考）已知⊙O的半径是5，点P不在⊙O外，则线段OP的长得取值范围是 .
16．（2024九上·雨花台月考）如图，点C是上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，为的垂直平分线，，若半径为2，点B到点A的距离为4，则在C点运动过程中，的最大值为 ．
三、计算题
17．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′ OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
四、解答题
18．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．
19．（2024九上·梁溪期中）如图， 是的直径， 是的弦， 、的延长线交于点，． 若 求的度数．
20．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个最小的圆去覆盖△ABC，请你在如图所示的网格中，用直尺画出该圆的圆心（保留作图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明）
21．（2024九下·兰州模拟）定义：在平面直角坐标系中，图形 G 上点 P（x，y）的纵坐标 y 与其横坐标 x 的差 y﹣x 称为 P 点的“坐标差”，而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G 的“特征值”．
（1）①点 A（1，3）的“坐标差”为 ；
②抛物线的“特征值”为 ；
（2）某二次函数的“特征值”为﹣1，点 B（m，0）与点 C 分别是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴的交点，且点 B 与点 C 的“坐标差”相等．
①直接写出 m＝ ；（用含 c 的式子表示）
②求此二次函数的表达式．
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 M（2，3）为圆心，2 为半径的圆与直线 y＝x 相交于点 D、E，请直接写出⊙M 的“特征值”为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆的相关概念
2．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
3．【答案】D
【知识点】圆的相关概念；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；真命题与假命题
4．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
5．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
6．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
7．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
8．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
9．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的相关概念；轴对称的性质
11．【答案】以P为圆心，2为半径的圆.
【知识点】圆的相关概念
12．【答案】内
【知识点】点与圆的位置关系
13．【答案】或
【知识点】点与圆的位置关系
14．【答案】7
【知识点】点与圆的位置关系；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
15．【答案】0≤OP<5
【知识点】点与圆的位置关系
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；圆的相关概念
17．【答案】【解答】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，∵OA′ OA=42，而r=4，OA=8，∴OA′=2，∵OB′ OB=42，∴OB′=4，即点B和B′重合，∵∠BOA=60°，OB=OC，∴△OBC为等边三角形，而点A′为OC的中点，∴B′A′⊥OC，在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，∴A′B′=4sin60°=．
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
18．【答案】解：⑴当d=4cm时，
∵d∴点P在圆内；
⑵当d=5cm时，
∵d=r，
∴点P在圆上；
⑶当d=6cm时，
∵d>r，
∴点P在圆外.
【知识点】点与圆的位置关系
19．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的相关概念
20．【答案】解：分别作出线段AB，BC，AC的垂直平分线，以它们的交点为圆心，以OA，OB或OC为半径画圆，即为所求．
【知识点】三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
21．【答案】（1）①2；②4；
（2）①m＝ c；
②解：∵C（0，c），
又∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴B（ c，0），
把（ c，0）代入y＝ x2＋bx＋c，得到：0＝ c2 bc＋c，
∴c＝1 b，
∵二次函数（c≠0）的“特征值”为 1
所以的最大值为 1，
∴＝ 1，
解得b＝3，
∴c＝ 2，
∴二次函数的解析式为．
（3）1＋2．
【知识点】圆的相关概念；二次函数y=ax²+bx+c的性质
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3.1 圆
一、单选题
1．（2022九上·南开期中）已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为（ ）cm．
A．2 B．4 C．8 D．16
2．（2024九下·龙湾开学考）已知⊙O的半径为7，点A在⊙O外，则OA的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2025九下·射洪月考）下列四个命题中，正确的有（ ）
①圆的对称轴是直径；②经过三个点确定一个圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2020九上·江都月考）已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ）
A．一定在⊙O的内部 B．一定在⊙O的外部
C．一定在⊙O的上 D．不能确定
5．（2024九上·武胜期末）同一平面内，已知的直径是，线段，则点与的位置关系是（ ）
A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定
6．已知线段QP，AP=AQ，以QP为直径作圆，点A与此圆的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
7．（2024九上·湖南期末） 在平面直角坐标系中，过点（﹣1，0）的直线与以C （2，2）为圆心、4为半径的圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
8．（2024九上·江苏月考）⊙O的直径为8cm，点A到圆心O的距离OA＝6cm，则点A与⊙O的位置关系为（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆内 C．点A在圆上 D．无法确定
9．（2021九上·长兴期中）根据已有的圆规作图痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024九上·射阳月考）如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023八上·虞城月考）到点p(-3，0)的距离等于2的点的轨迹是 .
12．（2024九上·无锡月考）若的半径为4，点A到圆心O的距离为3，则点A在 ．
13．是不在上的一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是 .
14．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．
15．（2020九上·慈溪月考）已知⊙O的半径是5，点P不在⊙O外，则线段OP的长得取值范围是 .
16．（2024九上·雨花台月考）如图，点C是上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，为的垂直平分线，，若半径为2，点B到点A的距离为4，则在C点运动过程中，的最大值为 ．
三、计算题
17．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′ OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
四、解答题
18．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．
19．（2024九上·梁溪期中）如图， 是的直径， 是的弦， 、的延长线交于点，． 若 求的度数．
20．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个最小的圆去覆盖△ABC，请你在如图所示的网格中，用直尺画出该圆的圆心（保留作图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明）
21．（2024九下·兰州模拟）定义：在平面直角坐标系中，图形 G 上点 P（x，y）的纵坐标 y 与其横坐标 x 的差 y﹣x 称为 P 点的“坐标差”，而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G 的“特征值”．
（1）①点 A（1，3）的“坐标差”为 ；
②抛物线的“特征值”为 ；
（2）某二次函数的“特征值”为﹣1，点 B（m，0）与点 C 分别是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴的交点，且点 B 与点 C 的“坐标差”相等．
①直接写出 m＝ ；（用含 c 的式子表示）
②求此二次函数的表达式．
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 M（2，3）为圆心，2 为半径的圆与直线 y＝x 相交于点 D、E，请直接写出⊙M 的“特征值”为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆的相关概念
2．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
3．【答案】D
【知识点】圆的相关概念；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；真命题与假命题
4．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
5．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
6．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
7．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
8．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
9．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆的相关概念；轴对称的性质
11．【答案】以P为圆心，2为半径的圆.
【知识点】圆的相关概念
12．【答案】内
【知识点】点与圆的位置关系
13．【答案】或
【知识点】点与圆的位置关系
14．【答案】7
【知识点】点与圆的位置关系；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
15．【答案】0≤OP<5
【知识点】点与圆的位置关系
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；圆的相关概念
17．【答案】【解答】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，∵OA′ OA=42，而r=4，OA=8，∴OA′=2，∵OB′ OB=42，∴OB′=4，即点B和B′重合，∵∠BOA=60°，OB=OC，∴△OBC为等边三角形，而点A′为OC的中点，∴B′A′⊥OC，在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=，∴A′B′=4sin60°=．
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
18．【答案】解：⑴当d=4cm时，
∵d
⑵当d=5cm时，
∵d=r，
∴点P在圆上；
⑶当d=6cm时，
∵d>r，
∴点P在圆外.
【知识点】点与圆的位置关系
19．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的相关概念
20．【答案】解：分别作出线段AB，BC，AC的垂直平分线，以它们的交点为圆心，以OA，OB或OC为半径画圆，即为所求．
【知识点】三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线
21．【答案】（1）①2；②4；
（2）①m＝ c；
②解：∵C（0，c），
又∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴B（ c，0），
把（ c，0）代入y＝ x2＋bx＋c，得到：0＝ c2 bc＋c，
∴c＝1 b，
∵二次函数（c≠0）的“特征值”为 1
所以的最大值为 1，
∴＝ 1，
解得b＝3，
∴c＝ 2，
∴二次函数的解析式为．
（3）1＋2．
【知识点】圆的相关概念；二次函数y=ax²+bx+c的性质
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