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专题1.6 绝对值中的八类最值问题
最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.的最小值模型 3
考点2.的最小值和最大值模型 5
考点3.的最小值模型 6
考点4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 9
考点5.型或型最值模型 11
考点6.绝对值最值模型的实际应用 12
考点7.绝对值相关运算与最值问题 15
考点8.绝对值最值中的新定义问题 17
模块3：培优训练 21
1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。
结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。
另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。
2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值：
结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义）
3.的最小值模型
结论：找到上述式子中的 零点，按从小到大 排序（假设） ，借助数轴容易得到：
当n 奇数 时 ，则x取 中间数（） 时 取得 最小值 ；
当n 偶数时 ， 则 x取 中间 段（） 时 取得 最小值 。
规律可总结为：“奇中点，偶中段”。
4.型或型最值模型
1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b；
当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。
2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b；
当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。
5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型
①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜
解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。
②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。
解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先 第一步 想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。
第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开 ，然后 利用“奇中点 ，偶中段”来求了 。解 得 当x=-1时 取得 最小值，最小值 为 6。
另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。
考点1.的最小值模型
例1．（24-25七年级上·山东烟台·阶段练习）的最小值是（ ）
A．1 B． C．5 D．
例2．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数a的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
例3．（24-25七年级上·海南儋州·期中）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（ ）
①若，则；②若，则；
③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是．
A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④
例4．（23-24七年级上·福建厦门·期中）在数轴上，点A、点B分别表示数a．b．则线段的长表示为，例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段的长表示为．数轴上的任意一点P表示的数是x．且的最小值为7，若，则b的值为（ ）
A．或5 B．或9 C．或9 D．5或9
例5．（23-24七年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）我国著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在中学数学中，体现数形结合思想的内容较多，本学期学习的“数轴”就是体现数形结合思想的一个有力工具，利用数轴常常可以使一些复杂问题变得容易解决． 例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离；再比如，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
发现问题：的最小值是多少？
探究问题：如图，点，，分别表示数，，，．
∵的几何意义是线段，的长度之和，
∴当点在线段上时，；当点在的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是．
解决问题：（1）表示数轴上所对应的点与数 所对应的点之间的距离，表示数轴上所对应的点与数 所对应的点之间的距离；
（2）的最小值是多少？并利用数轴说明理由；
（3）填空：当为 时，的最小值是．
考点2.的最小值和最大值模型
例 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为（1）若，这样的数x为 ；（2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ．
例2．（2024·福建·七年级校考期中）若代数式的最大值为a，最小值为b，则ab的值_________．
例3．（2024·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为____．
考点3.的最小值模型
例1．（24-25七年级上·福建南平·期中）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）点，表示的数分别为，2，则_______；（2）若，则_________；
【应用】（3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
（4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
例2．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）m是常数，若式子的最小值是7，则m的值为 ．
例3．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）阅读理解：
对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：
(1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ．
(2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ．
(3)的最小值是 ．
例4．（24-25七年级上·江西·阶段练习）课本再现
课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于．
（1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离．
继续探究：结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________；
（3）若数x满足，则__________；
（4），则x的取值范围是__________；
结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________．
拓展应用：（5）当__________时，的值最小，最小值是__________；
（6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？
考点4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型
例1．（24-25七年级上·重庆江津·期中）【用数学的眼光观察现实世界】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【用数学的思维思考现实世界】(1)点A、B表示的数分别为，2，则________，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数________的点的距离．
(2)①求的最小值，并写出此时x的值．
②当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？
(3)当x取何值时，取得最小值，最小值是多少？
例2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点O为数轴上的原点，点A、B在数轴上对应的数分别为a，b满足．
(1)若动点P从点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以v个单位长度/秒的速度沿数轴负方向匀速运动，经过8秒时，．求v的值．
(2)若动点P从O点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以同样速度沿数轴负方向匀速运动，当P点运动到线段上，分别取、的中点E、F，若是定值（其中m，n为常数），试求m与n的等量关系；
(3)若x是数轴上的任意数，代数式的最小值为c，其在数轴上对应点记为点C，动点P从点O出发向点B以1个单位长度/秒的速度运动，动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向点O运动，动点M从点C出发以5个单位长度/秒的速度向点B运动，经过多少秒点M是的中点．
例3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）放飞自我：思考：数轴上的个点表示的数分别是，，…，，且，是数轴上一个点，其表示的数是，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：
若为奇数时，当时，的值可取到最小；若为偶数，当时，的值可取到最小．
(1)求的最小值．(2)求的最小值．
考点5.型或型最值模型
例1．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（ ）
A．0 B．5 C．2 D．3
例2．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）当 时，有最大值是 ．
例3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ．
例4．（23-24七年级上·北京西城·期中）当式子取最小值时， ．
考点6.绝对值最值模型的实际应用
例1．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为如图1，数轴上点A表示为点表示为2．
(1)线段的长度是 ；(2)x表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题：
则 ，取最小值是 ，取最小值是 ；
(3)如图2，一条笔直的高速公路边有四个村庄A、B、C、D和某乡镇O，四个村庄A、B、C、D分别位于某乡镇左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个村庄A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．
例2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．
理解：（）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示）
（）当时，则的值为_____；
（）当时，则的值为______；
（）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____．
应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
例3．（24-25七年级上·北京通州·期中）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数2的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，若点P表示的有理数为x，请根据数轴解决以下问题：
(1)式子在数轴上的几何意义是_________，若，则x的值为__________；
(2)当取最小值时，x取整数的值是__________；
(3)当的值最小时，x的取值为__________，最小值是__________．
(4)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．根据小区居民居住人口数和购买力，站点P每天向A小区运送购买物资1次，向B小区运送购买物资2次，向C小区运送购买物资3次．物资运送车往返1千米路程需要花费5元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程．
考点7.绝对值相关运算与最值问题
例1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知式子，则的最大值是 ．
例2．（23-24七年级上·广东深圳·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．
（1）已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，那么A、B两点的距离为 ；
【问题探究】为求代数式的最小值，可以把看作数轴上的分别表示的数为x和的距离，看作数轴上的分别表示的数为x和3的距离，并进行以下讨论：
当x在和3中间时，；当x在-1左边时有，；
当x在3右边时也有；综上所述，代数式最小值为4；
（2）的最小值为 ；
【方法应用】：（3）已知，则 ；
【迁移应用】：（4）若m，n为整数，且m，n满足，则当 ， ，的最大值为 ．
考点8.绝对值最值中的新定义问题
例1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（ ）；
A．1 B．3 C．5 D．7
例2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为．
(1)和3关于1的“相对关系值”为________；
(2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值；
(3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于的“相对关系值”为1．
①的最大值为________；②的值为________（用含的式子表示）．
例3．（23-24七年级上·北京海淀·期中）设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为．
(1)点，，，在数轴上，①__________，__________．
②若，则__________．
(2)点，，在数轴上，，，①当时，__________．
②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（23-24七年级上·广东汕头·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为( )，的最大值为( )
A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1
2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法中，正确的是（ ）
①若，则；②若，则是正数；
③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0；
④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则；
⑤的最小值为2015
A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤
3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，求的最大值（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知是一个有理数，则关于的值的说法，正确的是（ ）
A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3
6．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
7．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若取最小值时，代数式的值是 ．
8．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）已知式子有最小值，则的取值范围是 ．
9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知，则的最大值是 ．
10．（24-25七年级上·浙江·随堂练习）若表示一个有理数，则的最小值是 ．
11．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）规定：，，例如：，，下列结论中，①能使成立的的值为2或；②若，则；③若，则；④式子的最小值是4．正确的是 ．（填序号）
12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ．
三、解答题（本题共12小题，每题7分，共84分。答案写在答题卡上）
13．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）用字母a表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0．根据这个结论完成下列问题：
(1)有最______值______；有最______值______；
(2)当a为何值时，有最值，并求出这个最值；(3)若，求的值．
14．（24-25七年级上·四川眉山·期中）材料探索（数形结合思想是数学的重要思想）
(1)探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数3和6的两点之间距离为；的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点之间的距离为5，由于数轴上数和数7表示的两点到数2的点之间距离都为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值为______．
(2)探索材料2（填空）：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和．不妨记数轴上数2的点为点A，数x为点B，数的点为点C．要求的最小值，即求的最小值．观察数轴可知，当点B在A点和C点之间（包含两点）时，；当点B在A点右侧（不包含A点）或C点左侧（不包含C点）时，的值都不确定，但，综上，的最小值为5．
继续探索当点之间再增加一点D时，点B到三点距离的和是否也有最小值……，根据以上材料探索所学完成以下填空及计算．
①求代数式的最小值为______；②求代数式的最小值为______；
③求代数式的最小值为______，最大值为______；
(3)根据以上材料探索所学求：的最小值．
15．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数．
(1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______；
(2)若，则______；(3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______；
(4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由．
16．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为，
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，，
当A、B两点都不在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边；
②如图3，点A、B都在原点的左边；
③如图4，点A、B在原点的两边，；
综上，数轴上A、B两点之间的距离．
（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和的两点之间的距离是_____．②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______．
（3）探索规律：①当有最_______（填“大”或“小”）值是_______；
②当有最小_______（填“大”或“小”）值是_______；
③当有最_______（填“大”或“小”）值是_______．
（4）规律应用:工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在工作_____处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__；
（5）知识迁移:有最值（最大值或最小值）吗？如果有，请直接写出你的答案．
17．（24-25七年级上·重庆江津·期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为．(1)数轴上表示5和的两点之间的距离是_____；数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______；(2)当取最小值时，符合条件的整数x的和为______；(3)当取最大值时，求符合条件的整数x的和．
18．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ；
【应用】：（4）的最小值为 ；
（5）的最大值为 ．
19．（23-24七年级上·江苏南通·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离为．
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离为______；
(2)当______时，的值最小，最小值为______．
(3)当a满足______时，的值最小，最小值为______．
(4)已知：关于x的代数式的最小值为2，则a的值为______．
20．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”．
小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．”
请你根据他们的解题解决下面的问题：
(1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______．
(2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程．
(3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值．
21．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
(1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ．
(2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
(3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值．
(4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由．
22．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知有理数a，b满足，请回答下列问题：
(1)请直接写出a，b的值： ， ；
(2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置；
(3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值．
23．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是．
问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______；
(2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______；
(3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______．
实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母）
拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______．
24．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题：
数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．
根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______；
(3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
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专题1.6 绝对值中的八类最值问题
最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
考点1.的最小值模型 3
考点2.的最小值和最大值模型 5
考点3.的最小值模型 6
考点4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 9
考点5.型或型最值模型 11
考点6.绝对值最值模型的实际应用 12
考点7.绝对值相关运算与最值问题 15
考点8.绝对值最值中的新定义问题 17
模块3：培优训练 21
1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。
结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。
另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。
2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值：
结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义）
3.的最小值模型
结论：找到上述式子中的 零点，按从小到大 排序（假设） ，借助数轴容易得到：
当n 奇数 时 ，则x取 中间数（） 时 取得 最小值 ；
当n 偶数时 ， 则 x取 中间 段（） 时 取得 最小值 。
规律可总结为：“奇中点，偶中段”。
4.型或型最值模型
1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b；
当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。
2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b；
当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。
5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型
①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜
解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。
②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。
解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先 第一步 想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。
第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开 ，然后 利用“奇中点 ，偶中段”来求了 。解 得 当x=-1时 取得 最小值，最小值 为 6。
另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。
考点1.的最小值模型
例1．（24-25七年级上·山东烟台·阶段练习）的最小值是（ ）
A．1 B． C．5 D．
【答案】C
【详解】解：表示数轴上表示的点到和的距离之和，
当在之间时，有最小值，
即当时，为最小值，故选：C．
例2．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数a的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】C
【详解】解：∵就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，
就是在数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离，
∴当x的取值范围是时，取的最小值．故选：C．
例3．（24-25七年级上·海南儋州·期中）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（ ）
①若，则；②若，则；
③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是．
A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴当时，则：，
∴，∴；故①正确；
当时，则；故②错误；
当时，则：，解得：，故③错误；
，
∴当在和之间时，有最小值为：；故④正确；故选C．
例4．（23-24七年级上·福建厦门·期中）在数轴上，点A、点B分别表示数a．b．则线段的长表示为，例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段的长表示为．数轴上的任意一点P表示的数是x．且的最小值为7，若，则b的值为（ ）
A．或5 B．或9 C．或9 D．5或9
【答案】C
【详解】解：表示点P到点A的距离，表示点P到点B的距离，
当点P在点A、点B两点之间时，的值最小，∴，
∵，∴，∴或9．故选：C．
例5．（23-24七年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）我国著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在中学数学中，体现数形结合思想的内容较多，本学期学习的“数轴”就是体现数形结合思想的一个有力工具，利用数轴常常可以使一些复杂问题变得容易解决． 例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离；再比如，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．
发现问题：的最小值是多少？
探究问题：如图，点，，分别表示数，，，．
∵的几何意义是线段，的长度之和，
∴当点在线段上时，；当点在的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是．
解决问题：（1）表示数轴上所对应的点与数 所对应的点之间的距离，表示数轴上所对应的点与数 所对应的点之间的距离；
（2）的最小值是多少？并利用数轴说明理由；
（3）填空：当为 时，的最小值是．
【答案】（1），；（2），图见解析；（3）或．
【详解】（1）根据绝对值的几何意义，表示数轴上所对应的点与数所对应的点之间的距离，表示数轴上所对应的点与数所对应的点之间的距离，故答案为：，
（2）如图，点，，分别表示，，，．
∵的几何意义是线段与的长度之和，
∴当点在线段上时，；当点在点A的左侧或点B的右侧时，．
∴的最小值是．
（3）根据绝对值的几何意义，最小值为：，
∴或，解得：或，故答案为：或．
考点2.的最小值和最大值模型
例 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为（1）若，这样的数x为 ；（2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ．
【答案】 5或1 6
【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2，
∴，或，∴或1；故答案为：5或1；
（2）当时，即表求x的点在的左侧时，
当时，即表求x的点在和5之间时，
∴，
当时，即表求x的点在5的右侧时，
∴的最大值为6，故答案为：6．
例2．（2024·福建·七年级校考期中）若代数式的最大值为a，最小值为b，则ab的值_________．
【答案】-25
【详解】法1：解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到-3、2两点的距离之差，
∴当时，有最大值；当时，有最小值；
∵代数式的最大值为a，最小值为b，∴a=5，b=-5．∴ab=-25．故答案为：-25．
法2：解：当x≥2时，|x-2|-|x+3|=x-2-x-3=-5；
当-3＜x＜2时，|x-2|-|x+3|=-（x-2）-（x+3）=-2x-1；
当x≤-3时，|x-2|-|x+3|=-（x-2）+（x+3）=5．
∵代数式的最大值为a，最小值为b，∴a=5，b=-5．∴ab=-25．故答案为：-25．
例3．（2024·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______．
【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20
【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为，
数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ；
（2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离，
①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2；
②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；
③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2
（3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4，
的最大值是6，的最大值是8，
∴的最大值是2+4+6+8=20
考点3.的最小值模型
例1．（24-25七年级上·福建南平·期中）【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）点，表示的数分别为，2，则_______；（2）若，则_________；
【应用】（3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．
（4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
【答案】（1）9；（2）1或；（3）有，5；（4）有，最小值为7，
【详解】解：（1）点，表示的数分别为，2，则，故答案为：9；
（2）数轴上与表示的点相距3个单位的点表示的数为1或，
若，则或，故答案为：1或；
（3）有最小值，理由如下：表示数轴上有理数所对的点到和2所对的两点距离之和，当时，有最小值，此时最小值为；
（4）有最小值，理由如下：若表示一个有理数，则有最小值，表示到，和1距离的和，
若想和的值最小，则当表示时，到三点的距离和最小，
当时，的最小值为7．
例2．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）m是常数，若式子的最小值是7，则m的值为 ．
【答案】或8
【详解】∵可以看作数轴上表示x的点距离表示的点的距离之和，且的最小值是7，
①当时，即，则时，原式有最小值，此时，解得：
②当时，即，则时，原式有最小值，此时，故不合题意；
③当时，即，则时，原式有最小值，此时，解得：；
综上，m的值为或8，故答案为：或8．
例3．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）阅读理解：
对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题：
(1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ．
(2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ．
(3)的最小值是 ．
【答案】(1)1或(2)5(3)169
【详解】（1）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离，
若，向右3个单位是1，向左三个单位是，故答案为：1或；
（2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离之和，
当时，的最小值是为，故答案为：5；
（3）解：∵表示x到，0，1，2，3，…24的点的距离的和，
∴当，最小，
最小值为，故答案为：169．
例4．（24-25七年级上·江西·阶段练习）课本再现
课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于．
（1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离．
继续探究：结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________；
（3）若数x满足，则__________；
（4），则x的取值范围是__________；
结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________．
拓展应用：（5）当__________时，的值最小，最小值是__________；
（6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？
【答案】（1）；（2）7；（3）或3；（4）或；结论：7，；（5）1，7；（6）若n为偶数，当时，取得最小值；若n为奇数，当时，取得最小值．
【详解】解：（1），即、两点的距离等于，两数之差的绝对值，
的意义可理解为数轴上有理数和-5这两点的距离．故答案为：-5．
（2）数轴上表示的点位于与2之间，，
，，．故答案为：7．
（3）若，分三种情况：
①当时， ，；
②当，，此时方程无解；
③当时，，．故答案为：或3．
（4）表示数轴上-5与2的点的距离和大于7的数，或．
表示数轴上有理数和-5这两点的距离，表示数轴上有理数和2这两点的距离，
表示数轴上有理数的到-5及与2的距离之和，
当时，最小值为7．故答案为：或；结论：7，．
（5）表示数轴上表示的点到-5，-2，1三点的距离之和，
当时，有最小值，最小值为7．故答案为：1，7．
（6）当为奇数时，中间的点为，
则当时，有最小值；
当为偶数时，中间的点为和，
则当或时，有最小值．
考点4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型
例1．（24-25七年级上·重庆江津·期中）【用数学的眼光观察现实世界】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【用数学的思维思考现实世界】(1)点A、B表示的数分别为，2，则________，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数________的点的距离．
(2)①求的最小值，并写出此时x的值．
②当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？
(3)当x取何值时，取得最小值，最小值是多少？
【答案】(1)，
(2)①当时，取得最小值7；②当时，取得最小值9； (3)14
【详解】（1）解：，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数的点的距离；
故答案为：，；
（2）解：①表示到的距离与到2的距离以及到3的距离之和，
所以当时，的值最小为；
②∵表示到的距离与到3的距离之和，
∴当时，的值最小为；
（3）解：∵表示到的距离3倍的与到5的距离的2倍之和，
∴x越接近，的值越小，
∴当时，的值最小为．
例2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点O为数轴上的原点，点A、B在数轴上对应的数分别为a，b满足．
(1)若动点P从点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以v个单位长度/秒的速度沿数轴负方向匀速运动，经过8秒时，．求v的值．
(2)若动点P从O点出发，以个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以同样速度沿数轴负方向匀速运动，当P点运动到线段上，分别取、的中点E、F，若是定值（其中m，n为常数），试求m与n的等量关系；
(3)若x是数轴上的任意数，代数式的最小值为c，其在数轴上对应点记为点C，动点P从点O出发向点B以1个单位长度/秒的速度运动，动点Q从点B出发以3个单位长度/秒的速度向点O运动，动点M从点C出发以5个单位长度/秒的速度向点B运动，经过多少秒点M是的中点．
【答案】(1)或6(2)(3)
【详解】（1）解：∵，∴，，解得：，，
∴A为10，B为40由题意可得：当时，P为，Q为，
∵，∴，即，解得或6．
（2）解：由题意可得：、的中点E、F，，A为10，
∴P为，E为， Q为，F为，则，，
∴，设，∴，
∵k为定值，∴且，∴，综上，．
（3）解：∵ 而，
∴总共25个零点，25为奇数，则在第13个零点取最小，此时．∴，
∵P为t，Q为，M为，而为的中点，∴，解得：；
例3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）放飞自我：思考：数轴上的个点表示的数分别是，，…，，且，是数轴上一个点，其表示的数是，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：
若为奇数时，当时，的值可取到最小；若为偶数，当时，的值可取到最小．
(1)求的最小值．(2)求的最小值．
【答案】(1)30(2)
【详解】（1）解：由题意得：当时，
最小，最小值是： ；
（2）解：
共个绝对值相加，即时，
最小，令，得： ．
考点5.型或型最值模型
例1．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）若a是有理数，则的最小值是（ ）
A．0 B．5 C．2 D．3
【答案】B
【详解】解：∵，∴ ，∴的最小值是5，故选：B．
例2．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）当 时，有最大值是 ．
【答案】 1
【详解】解：∵时最小，∴此时，则有最大值是．故答案为：1，．
例3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴∴，
∴的最大值为：；故答案为：．
例4．（23-24七年级上·北京西城·期中）当式子取最小值时， ．
【答案】81
【详解】解：，，当式子取最小值时，，
解得，则，故答案为：81．
考点6.绝对值最值模型的实际应用
例1．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为如图1，数轴上点A表示为点表示为2．
(1)线段的长度是 ；(2)x表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题：
则 ，取最小值是 ，取最小值是 ；
(3)如图2，一条笔直的高速公路边有四个村庄A、B、C、D和某乡镇O，四个村庄A、B、C、D分别位于某乡镇左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个村庄A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．
【答案】(1)5(2)或3；5；5(3)便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14．理由见解析
【详解】（1）由题意知，，故答案为：5；
（2）由题意知，当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，无解；或3；
由绝对值的意义可知，当时，取最小值5，
当时，取最小值是5，故答案为：或3；5；5；
（3）便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14千米，理由如下：记点表示的有理数为0，则、、、表示的有理数分别为，，，，设便民服务点在数轴上表示的点处，
由题意可得便民服务点到四点的距离之和为：，
由绝对值的意义可知，当表示的点在表示和2的点的线段上时有最小值，
此时，
答：便民服务点建在之间（包括点和点，能使到四个村庄、、、总路程最短，最短距离是14．
例2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．
理解：（）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示）
（）当时，则的值为_____；
（）当时，则的值为______；
（）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____．
应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆．
【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是，故答案为：；
（）∵，∴或，∴或，故答案为：或；
（）当时，，解得；
当时，，此时方程无解；
当时，，解得；
综上，的值为或，故答案为：或；
（）∵，
∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为，故答案为：，；
应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案：
由图可得，调出的最少车辆数为辆．
例3．（24-25七年级上·北京通州·期中）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数2的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离，若点P表示的有理数为x，请根据数轴解决以下问题：
(1)式子在数轴上的几何意义是_________，若，则x的值为__________；
(2)当取最小值时，x取整数的值是__________；
(3)当的值最小时，x的取值为__________，最小值是__________．
(4)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．根据小区居民居住人口数和购买力，站点P每天向A小区运送购买物资1次，向B小区运送购买物资2次，向C小区运送购买物资3次．物资运送车往返1千米路程需要花费5元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程．
【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或2(2)，，，0，1(3)，7(4)站点P建在B和C之间，才能使总运送费用最少，最少费用是95元
【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；
表示数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离等于5，由数轴可知为：或2，
故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，或2；
（2）解：表示：数轴上表示有理数x的点到表示有理数的点的距离，与表示有理数x的点到表示有理数1的点的距离之和，所以x应该在表示有理数与1的两点之间的线段上，
所以x可以取整数，，，0，1；故答案为：，，，0，1；
（3）解：表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和，所以x应该在与1之间的线段上，且当时，x到、x到与x到1的距离之和最小，
最小值为到1的距离7；故答案为：，7；
（4）解：以市民广场O为原点，原点右侧为正方向，1千米为单位长度，建立数轴，设居民生活服务站点P所对应的数为x，由题意可知，，，4，
∴物资的往返总运送费用为：元，如图，
∵表示x到的距离与x到4的距离之和，x到的距离与x到4的距离之和的2倍的总和，
当时，取得最小值，
当时，取得最小值，
∴当时，取得最小值，
∵物资运送车往返1千米路程需要花费5元，∴（元）．
∴站点P建在B和C之间，才能使总运送费用最少，最少费用是95元．
考点7.绝对值相关运算与最值问题
例1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知式子，则的最大值是 ．
【答案】8
【详解】解：由题意得：原式可化成：，
表示数轴上表示x的点与表示和2的点的距离和，
当时，有最小值3，
表示数轴上表示y的点与表示和4的点的距离和，
当时，有最小值7，
∵，∴，，
∴的最大值是，故答案为：8．
例2．（23-24七年级上·广东深圳·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．
（1）已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，那么A、B两点的距离为 ；
【问题探究】为求代数式的最小值，可以把看作数轴上的分别表示的数为x和的距离，看作数轴上的分别表示的数为x和3的距离，并进行以下讨论：
当x在和3中间时，；当x在-1左边时有，；
当x在3右边时也有；综上所述，代数式最小值为4；
（2）的最小值为 ；
【方法应用】：（3）已知，则 ；
【迁移应用】：（4）若m，n为整数，且m，n满足，则当 ， ，的最大值为 ．
【答案】（1）18；（2）5；（3）5或；（4）、0、1、2；、、、0、1； 3
【详解】解：（1），故答案为：18；
（2）当x在和3之间时，有最小值，为：，故答案为：5；
（3）当时，方程化为：，解得：，
当时，方程化为：，解得：，
当时，方程化为：，无解，故答案为：5或；
（4）根据题意，得，，
∵m，n为整数，∴、为整数，
∵，∴，，
∴m的值为：-、0、1、2；，n的值为：、、、0、1，∴的最大值为：3，
故答案为：、0、1、2；、、、0、1； 3．
考点8.绝对值最值中的新定义问题
例1．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数，则显示的结果，如依次输入1，2，则输出的结果是．此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是（ ）；
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【详解】解：根据题意，依次输入2，3，6，则；
依次输入2，6，3，则；依次输入3，2，6，则；
依次输入3，6，2，则；依次输入6，3，2，则；
依次输入6，2，3，则；
综上，全部输入完毕后显示的结果的最大值是5．故选：C．
例2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为．
(1)和3关于1的“相对关系值”为________；
(2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值；
(3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于的“相对关系值”为1．
①的最大值为________；②的值为________（用含的式子表示）．
【答案】(1)(2)或(3)①；②或或或
【详解】（1）解：，
∴和3关于1的“相对关系值”为，故答案为：
（2）解：和关于的“相对关系值”为，，
当时，则，解得；
当时，则，解得；综上所述，的值为或；
（3）解：①和关于的“相对关系值”为，；
分四种情况：当，时，，则；
当，时，，则，得到；
当，时，，则，得到；
当，时，，则，由此可知的最大值为；故答案为：
②分五种情况，当时，，解得，
由可得，，可得，；
当时，，，此种情形不存在；
当时，，，，；；
当时，，，，，
，，，，，即，
，即，同理可得：，，，
，，，，，
；
当，时，由可得，
即，此种情形不存在；
当，时，可得，，，，，
，，，，，
；
综上，的值为或或或；
故答案为：或或或
例3．（23-24七年级上·北京海淀·期中）设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为．
(1)点，，，在数轴上，①__________，__________．
②若，则__________．
(2)点，，在数轴上，，，①当时，__________．
②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值．
【答案】(1)①0，2；②或(2)①4；②的最小值为2，此时或．
【详解】（1）解：①，
故答案为：0，2；
②∵，∴，即，∴，解得：或，
∴或，故答案为：或；
（2）解：①∵，，，∴，解得：，
设B为上一点，记为，∴，∴，
∴当时，即时，有最大值4，∴，
②根据题意，得，
当5位于线段的中点时，的值最小，
当时，，∴，∴；
当时，，，此时无法取最小值，故舍去；
当时，，∴，
综上， 的最小值为2，此时或．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（23-24七年级上·广东汕头·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为( )，的最大值为( )
A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1
【答案】C
【详解】解：∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之和，
∴当表示x的点位于表示3的点和表示的点之间时，取得最小值，最小值为．
∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之差，
∴当表示x的点位于表示3的点的左侧，或位于表示的点的右侧时，取得最大值，最大值为．故选：C
2．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法中，正确的是（ ）
①若，则；②若，则是正数；
③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0；
④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则；
⑤的最小值为2015
A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤
【答案】B
【详解】解：若，则，则说法①错误；
若，当，且时，则，所以，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
当时，所以，综上，若，则是正数，则说法②正确；
如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中至少有一个数为0，则说法③错误；
∵、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，且相邻两点的距离相等，
∴当点在点的左侧时，则，解得，
当点在点的中间时，则，解得，
当点在点的右侧时，，解得，综上，或或，则说法④错误；
当时，则，
当时，则，
当时，则，
所以的最小值为2013，则说法⑤错误；综上，说法正确的是②，故选：B．
3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，求的最大值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：当时，，
∵，∴，∵，∴，∴，
∵，∴，∴；
当时，，
∵，∴，∴，
∵，∴；
当时，，
∵，∴，∴；
当时，；
∵，即，∴，∴；
综上，的最大值，故选：B．
4．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①若，则，故①错误；
②，总是正数，故②正确；
③，，则的最小值为9，故③正确；
④，，则的最小值是1，故④错误；
错误的是①④，共2个故选：B．
5．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知是一个有理数，则关于的值的说法，正确的是（ ）
A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3
【答案】D
【详解】解：∵，∴，∴，∴有最大值3，故选：D．
6．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：，，均为整数，且，，或，，
①当，时，，，；
②当，时，，；
综上，的值为2．故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
7．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若取最小值时，代数式的值是 ．
【答案】3
【详解】解：∵当取最小值时，∴，则．
故答案为：3．
8．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）已知式子有最小值，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：表示到得距离，表示到的距离，表示到的距离，表示到的距离，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，，
①当点位于点左侧时，此时，
；
②当点位于上时，此时，
；
③当点位于上时，此时，
；
④当点位于上时，此时，
；
⑤当点位于点右侧时，此时，
；
综上，当时，，有最小值，故答案为：．
9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知，则的最大值是 ．
【答案】7
【详解】解：∵表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，
∴．同理：，，
∵，
∴、，．
∴．∴的最大值为．故答案为：7．
10．（24-25七年级上·浙江·随堂练习）若表示一个有理数，则的最小值是 ．
【答案】11
【详解】解：根据点在数轴上的位置可知，当时，有最小值，
最小值为：，故答案为：．
11．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）规定：，，例如：，，下列结论中，①能使成立的的值为2或；②若，则；③若，则；④式子的最小值是4．正确的是 ．（填序号）
【答案】①②④
【详解】解：∵，∴或，解得：或，故①正确；
∵，，，∴，，
∴，故②正确；
∵，∴+=0，∴且，解得：，，
∴，故③不正确；
∵，
∴表示数轴上表示x的点到表示和表示的点的距离的和，
∵时，数轴上表示x的点到表示和表示的点的距离的和最小，
∴的最小值为，故④正确，
综上所述：正确的结论有①②④，故答案为：①②④．
12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ．
【答案】 或
【详解】解：∵，∴，∴或，
∵，
∴式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和，
可知，当在的位置时，距离之和最小，最小值为，
故答案为：或，．
三、解答题（本题共12小题，每题7分，共84分。答案写在答题卡上）
13．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）用字母a表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0．根据这个结论完成下列问题：
(1)有最______值______；有最______值______；
(2)当a为何值时，有最值，并求出这个最值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)小, , 大, (2)当时,有最小值(3)
【详解】（1）∵有最小值为,有最大值为,
∴有最小值,有最大值,故答案为: 小, , 大, ；
（2）∵当, 即时, 有最小值，∴当时,有最小值；
（3）由题意得, ,∴且,解得,.
14．（24-25七年级上·四川眉山·期中）材料探索（数形结合思想是数学的重要思想）
(1)探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数3和6的两点之间距离为；的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点之间的距离为5，由于数轴上数和数7表示的两点到数2的点之间距离都为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值为______．
(2)探索材料2（填空）：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和．不妨记数轴上数2的点为点A，数x为点B，数的点为点C．要求的最小值，即求的最小值．观察数轴可知，当点B在A点和C点之间（包含两点）时，；当点B在A点右侧（不包含A点）或C点左侧（不包含C点）时，的值都不确定，但，综上，的最小值为5．
继续探索当点之间再增加一点D时，点B到三点距离的和是否也有最小值……，根据以上材料探索所学完成以下填空及计算．
①求代数式的最小值为______；②求代数式的最小值为______；
③求代数式的最小值为______，最大值为______；
(3)根据以上材料探索所学求：的最小值．
【答案】(1)8或(2)①6； ②7； ③，6(3)
【详解】（1）表示的意义为，数轴上表示数x的点到数3的点之间的距离为5，
或，解得或．
（2）①由材料2可得，当时，有最小值，，最小值为．
②代数式表示，数轴上表示数x的点到数的点，数的点，数2的点的距离和，
当表示数x的点正好落在数的点上时，它们的距离和最小，即当时，有最小值，
．
③代数式表示数轴上表示数x的点到数的点，数的点的距离差，
当数x的点落在数的点上及数的点的左侧时，它们的距离差最小，
即时，，
当数x的点落在数的点上及数的点的右侧时，它们的距离差最大，
即时，，代数式的最小值为，最大值为6．
（3），
表示数轴上表示数x的点到数的点的距离和，
由材料可知，当在这个数中间时，距离之和最小，这个数中间的数为，
当时，有最小值，
．
15．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数．
(1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______；
(2)若，则______；(3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______；
(4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)6或2(3)8，(4)
【详解】（1）∵数轴上有两个点，分别表示有理数，∴数轴上点到点的距离为；
∴数轴上到点的距离相等的点的位置表示的有理数为；故答案为：；
（2）根据题意， ；，解得：或故答案为：6或2
（3）∵表示数轴上x到3两点之间的距离，表示数轴上x到两点之间的距离，
由图可知，当或时，，当时，
∴式子的最小值为8，此时x的取值范围为；故答案为：8，
（4），
当式子的最小值为8时，有最大值；
此时的最大值为
16．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为，
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，，
当A、B两点都不在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边；
②如图3，点A、B都在原点的左边；
③如图4，点A、B在原点的两边，；
综上，数轴上A、B两点之间的距离．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和的两点之间的距离是_______．
②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_______，如果，那么x为_______．
（3）探索规律：①当有最_______（填“大”或“小”）值是_______；
②当有最小_______（填“大”或“小”）值是_______；
③当有最_______（填“大”或“小”）值是_______．
（4）规律应用:工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在工作_____处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__；
（5）知识迁移:有最值（最大值或最小值）吗？如果有，请直接写出你的答案．
【答案】（2）①3；4；②；1或；（3）①小，1；②小，2；③小，4；（4）E；40；（5）有最大值9，最小值．
【详解】解：（2）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，
数轴上表示1和的两点之间的距离是，故答案为：3，4；
②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是，
∵，∴，∴或，解得或3，故答案为：；1或；
（3）①∵表示数轴上有理数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，
∴当时，有最小值，最小值为1，故答案为：小，1；
②表示数轴上有理数x所对应的点到1、2和3所对应的点的距离之和，
∴当时，有最小值，最小值为2，故答案为：小，2；
③表示数轴上有理数x所对应的点到1、2、3和4所对应的点的距离之和，
∴当或时，有最小值4，故答案为：小，4；
（4）以E点为原点，1米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，
则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8，
设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置，
当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，∴当时，有最小值40，
∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米，故答案为：E，40；
（5）有最大值和最小值，理由如下：当时，，
当时，，当时，，
∴有最大值9，最小值．
17．（24-25七年级上·重庆江津·期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为．
(1)数轴上表示5和的两点之间的距离是_____；数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______；
(2)当取最小值时，符合条件的整数x的和为______；
(3)当取最大值时，求符合条件的整数x的和．
【答案】(1)8；；或(2)(3)
【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示5和的两点之间的距离是；
数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是；
∵，∴，∴或，解得或；
（2）解：由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数和数的距离之和，
∴当时，取最小值，∴满足题意的整数x有
∴符合条件的整数x的和为；
（3）解：当时，，
当时，，当时，，
∴当时，的值为7，当时，的值大于等于0且小于7，当时，的值为7，∴当时或当时，的值有最大值，且最大值为7，
∵互为相反数的两个数的和为0，∴小于等于和大于等于5时符合题意的所有整数x的和为0，
∴符合条件的整数x的和为．
18．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ；
【应用】：（4）的最小值为 ；
（5）的最大值为 ．
【答案】（1）0或；（2）1；（2）1；（4）；（5）1012．
【详解】（1）解：，∴或，解得或，故答案为：0或．
（2）的意义即数轴上点x与1，2的距离和，
当时，距离和为；当时，距离和为；当时，距离和为；
故对于任何有理数，有最小值， 当时，即点x在1和2之间（包含1和2）时，最小值为1．
（3）的意义即数轴上点x与1，2的距离差；
当时，；当时， ；当时， ；
故对于任何有理数，有最大值， 当时，即点x在2上或右边时，最大值为1．
（4）表示数轴上点与1，2，……2024的距离和，
由（2）可知：当时，有最小值；
此时：
=；
（5）表示x到1的距离与x到2的距离的差、x到3距离与x到4距离的差 …x到2023距离与x到2024距离的差的和，
由（3）可知：当x在最大数右边（或最大数上）时有最大值；
即：时，
．
19．（23-24七年级上·江苏南通·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离为．
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离为______；
(2)当______时，的值最小，最小值为______．
(3)当a满足______时，的值最小，最小值为______．
(4)已知：关于x的代数式的最小值为2，则a的值为______．
【答案】(1)3(2)1；9(3)；24(4)3或
【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离为：；故答案为：3；
（2）解：∵表示数轴上表示a的点到的距离，到1的距离，到4的距离之和，
∴当时，的值最小，且最小值为：；故答案为：1；9．
（3）解：当时，，
∵，∴此时；
当时，，
∴此时的值为24；
当时，，
∵，∴此时；
当时，，
∵，∴此时；∴当时，的值最小，且最小值为24；
故答案为：；24．
（4）解：∵表示在数轴上表示x的点到1的距离与到表示a的点的距离之和，
∴当表示x的点在1和表示a的点之间时，的值最小，且最小值为，
∴，解得：或．故答案为：3或．
20．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”．
小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．”
请你根据他们的解题解决下面的问题：
(1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______．
(2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程．
(3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值．
【答案】(1)，(2)当最大值为；当最小值为(3)，最小值为
【详解】（1）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是．
故答案为；．
（2）解：当时，；
当时，此时；
当时，；
∴当最大值为；当最小值为；
（3）解：，
表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和，
当时，有最小值，最小值为
．
21．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：
(1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ．
(2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ．
(3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值．
(4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由．
【答案】(1)(2)，，，(3)或(4)有，最小值为，和为
【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为，故答案为；
（2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，，
为到之间的整数，这样的整数有、、、，故答案为、、、；
（3）∵的最小值是，即表示到的和为
由于与之间的距离为，小于最小值，则或；
①当时，即，则在到之间时，最小值为
∴∴
②当时，即，∴
综上所述，或
（4）有最小值，理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，∴当在和之间时，取得最小值，
∴最小值为∴符合条件的整数为
∴所有符合条件的整数的和为
22．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知有理数a，b满足，请回答下列问题：
(1)请直接写出a，b的值： ， ；
(2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置；
(3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值．
【答案】(1)，2024 (2)当时，值为4051；当时，值为4047；当时，值为4049，当的值最小时，点X在数轴上的线段上；
(3)当n为奇数时，最小值为，当n为偶数时，最小值为
【详解】（1）解：∵，∴，
∴；故答案为：，2024；
（2）∵，
∴当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
∴当的值最小时，点X在数轴上的线段上；
（3）当为奇数时，分包机器人在最中间的机器人处时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为： ；
当为偶数时，分包机器人在中间两个机器人之间时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为：．
23．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是．
问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______；
(2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______；
(3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______．
实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母）
拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______．
【答案】(1)3(2)8(3)(4)2(5)(6)
【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为：，故答案为：3；
（2）解：数轴上表示数a的点位于与5之间，，
，故答案为：8；
（3）解：表示数a到点1与2的距离之和，
当时，取最小值，故答案为：；
（4）解：表示数a到点1、2、3的距离之和，
当时，取得最小值，最小值为：，故答案为：2；
（5）解：点，，，，，…，中，最中间的点是，
故点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小，故答案为：；
（6）解：表示数a到点1与3的距离之和，当时，取得最小值；
表示数b到点4与的距离之和，
当时，取得最小值，此时，
∵a的最小值为1，b的最小值为，的最小值为：，故答案为：．
24．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题：
数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．
根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______；
(3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
【答案】(1)(2)(3)有5种方案调运车辆数最小，都为10辆．
【详解】（1）解：与3的距离是；
（2）解：∵表示在数轴上数对应的点与数，对应的点的距离之和，
∴当数在与之间时，即时，最小，
∴当时，式子有最小值，最小值是，
（3）解：根据题意，（辆），（辆），即共有40辆车，每个公司10辆，
∴调运方案如下：
∴有5种方案调运车辆数最小，都为10辆．
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