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专题1.3 绝对值
1. 从数形两方面理解绝对值的意义（代数意义和几何意义）；
2. 会求已知数的绝对值及已知绝对值求未知数；体会分类讨论思想；
3. 运用绝对值的非负性解决问题；
4. 能利用绝对值的几何意义求最值，体会数形结合思想。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.求已知数的绝对值 2
考点2.绝对值的概念与意义辨析 3
考点3.已知绝对值求数或未知数 4
考点4.绝对值的非负性 5
考点5.绝对值的化简求值 6
考点6.绝对值的实际应用 7
考点7.绝对值的几何意义求最值 8
模块3：培优训练 11
1）绝对值：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。
2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。
3）绝对值的代数意义：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。
即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．
可整理为：，或，或。
4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。
归纳： ①绝对值等于它本身的数是：非负数；②绝对值大于它本身的数是：负数；
③绝对值等于它的相反数的数是：非正数；④绝对值最小的有理数是：0；
⑤绝对值最小的正整数是：1；⑥绝对值最小的负整数是：-1。
考点1.求已知数的绝对值
【解题方法】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，。
例1．（2025·江苏连云港·一模）下列各数是-2025的绝对值的是（ ）
A． B． C．2025 D．-2025
【答案】C
【详解】解：的绝对值的是2025，故选：C．
变式1．（2025·陕西咸阳·一模）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，即的绝对值是，故选：D．
变式2．（2024·重庆·校考二模）2024相反数的绝对值是（ ）
A． B． C．2024 D．
【答案】C
【详解】解：2024的相反数为，的绝对值为2024，
2024相反数的绝对值是2024，故选：C．
变式3．（23-24七年级·广东·期末）若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．
考点2.绝对值的概念与意义辨析
【解题方法】绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。
例1．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（ ）
A．2个 B．1个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0，故①不符合题意；
②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意；
③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意；
④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确，故④符合题意；
综上，符合题意的有②④，共个，故选：A．
变式1．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零
【答案】D
【详解】解：∵一个数的绝对值等于它的相反数，∴这个数为零或负数，故选：．
变式2．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 ．
【答案】/
【详解】解：，，则，
，故答案为：．
变式3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若，则是（ ）
A．非负数 B．负数 C．正数 D．非正数
【答案】D
【详解】解：，为非正数，故选：D．
考点3.已知绝对值求数或未知数
【解题方法】若，当时，；当时，。
根据绝对值的意义，去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，解方程即可。
例1．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题：
(1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ；
(3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______；
【答案】(1)5(2)(3)43或7
【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：，故答案为：5；
（2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：，故答案：；
（3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，
因此或，故答案为：43或7；
变式1．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）已知，则x的值为 ．
【答案】8或2/2或8
【详解】解：∵，∴，
∴或，∴或2．故答案为：8或2．
变式2．（2024·辽宁·模拟预测）绝对值等于的数是（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
【答案】C
【详解】解：由题意知，绝对值等于的数是或，故选：C．
变式3．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则 ．
【答案】3或
【详解】解：；；∴或．故答案为：3或.
考点4.绝对值的非负性
【解题方法】1）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或，即：。
2）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0。
例1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ．
【答案】
【详解】∵，∴，∴，故答案为：．
例2．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： x为有理数，式子存在最大值，
当时，式子最大值为，故选：A．
变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ．
【答案】
【详解】解：，，，，，．故答案为：．
变式1．（24-25七年级上·山东威海·期末）若是有理数，则下列说法正确的是（ ）
A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数
【答案】D
【详解】解：A．若是有理数，当时，，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
B．若是有理数，则，故本选项不合题意；
C．若是有理数，则，故本选项不合题意；
D．因为，所以，即一定是正数，故本选项符合题意．故选：D．
变式2．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①若，则，故①错误；
②，总是正数，故②正确；
③，，则的最小值为9，故③正确；
④，，则的最小值是1，故④错误；
错误的是①④，共2个 故选：B．
考点5.绝对值的化简求值
【解题方法】绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。
注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。
例1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示：
(1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）；(2)化简：．
【答案】(1)；；(2)
【详解】（1）解：由数轴可知，，，，且，所以，故答案为：；；
（2）解：因为，，所以．
变式1．（24-25七年级上·重庆江津·期末）有理数，，的位置如图所示，化简 ．
【答案】/
【详解】由数轴可知，，得，
则，故答案为：．
变式2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
(1)比较大小：________．（用“、或”填空）(2)化简：．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由数轴可得：，∴，∴；
（2）解：由数轴可得：，∴，，
∴．
考点6.绝对值的实际应用
【解题方法】常见三种应用：
1）质量问题，绝对值越小，越接近质量标准；
2）小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关；
3）数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。
例1．（2025·河北唐山·一模）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为．则这四个零件中质量最好的是（ ）
A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个
【答案】D
【详解】解：∵，
∴的误差最小，∴这四个零件中质量最差的是第四个．故选：D．
例2．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米）
，问：爬行过程中，若每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？
【答案】小虫可得到315粒芝麻
【详解】，（粒），
答：小虫可得到315粒芝麻．
变式1．（24-25七年级上·河南周口·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：
篮球编号 1 2 3 4 5
与标准质量的差/g
(1)最接近标准质量的是几号篮球；(2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？
【答案】(1)3号篮球(2)见解析
【详解】（1）解：由题意得：∵，∴3号篮球最接近标准质量；
（2）解：由题意得：如果，那么结果为的质量好一些；
如果，那么结果为的质量好一些；如果，那么两个篮球的质量一样好．
变式2．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，．
(1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？(2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？
【答案】(1)立方米；(2)元．
【详解】（1）由，
∴共消耗天然气（立方米），答：共消耗天然气立方米；
（2）（元），
答：小李这天上午共得车费元．
考点7.绝对值的几何意义求最值
【解题方法】几何意义：表示x到点a的距离
（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。
注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。
例1．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和，
当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，的最小值为，故选：B．
变式1．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）的最小值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】解：根据绝对值的意义可知，只有当时，有最小值，
最小值为．故选：B．
变式2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 .
【答案】225
【详解】解：根据数轴的定义可知，代数式表示，表示点的点到1、2、3、30的距离之和，∴当时，有最小值，
当时，．
故答案为：225．
变式3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案．
(1)若，则 ．(2)请找出符合条件的，使得．(3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【答案】(1)1(2)或(3)有最小值，最小值为4
【详解】（1）解：将改写成规定形式：，
表示在数轴上找出某一点，使它到5与它到的距离相等，
根据几何意义可知，它是5和的中点，画出数轴知，；故答案为：1；
（2）解：将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴如下：
观察发现：当在与2之间（包括这两点）时，到与到2的距离之和为.
所以讨论如下：
当时，是负数，也是负数，，解得；
当时，是非负数，是非正数，，无解；
当时，是正数，也是正数，，解得.
所以，或满足；
（3）解：有最小值，最小值为4，理由如下：就是规定形式，的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴如下：
观察发现：当在2与6之间时（包括这两点），到2的距离与到6的距离之和是4；
当和时，到2的距离与到6的距离之和都大于4，
所以有最小值，最小值为4．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2024·吉林四平·二模）从一批汤圆中挑选4个汤圆编号后进行称重检查，结果如下（超过标准质量的记为正数，不足的克数记为负数，单位：g），其中最接近标准质量的是（ ）
编号 1 2 3 4
检查结果
A．1号汤圆 B．2号汤圆 C．3号汤圆 D．4号汤圆
【答案】B
【详解】解：依题意，，
∵，∴其中最接近标准质量的是2号汤圆，故选：B．
2.（2025·四川绵阳·一模）的相反数是（ ）
A． B．2025 C． D．
【答案】D
【详解】解：，则的相反数是，故选：D．
3．（2024·广西钦州·一模）的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：的绝对值是，故选：A．
4.（24-25七年级上·四川南充·期中）已知数满足，则不可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【详解】解：∵，∴，由选项可知A，B，C符合，D不符合，故选：D．
5．（24-25·福建莆田·七年级统考期末）在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴上（ ）
A．原点两旁 B．任何一点 C．原点右边 D．原点或其右边
【答案】D
【详解】解：∵任何非数的绝对值都大于，∴任何非数的绝对值所表示的数总在原点的右侧，
∵的绝对值是0，∴的绝对值表示的数在原点．故选：D．
6．（24-25·河北保定·校考模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．相反数是它本身的数是 B．绝对值是它本身的数是正数
C．的绝对值是它本身 D．有理数的相反数仍是有理数
【答案】B
【详解】解：绝对值是它本身的数是非负数（0和正数），故B错误．故选：B．
7．（2024·河南郑州·模拟预测）一个数x的相反数的绝对值为3，则这个数是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【详解】∵一个数x的相反数的绝对值为3，即，∴，∴．故选：D．
8．（24-25八年级上·山东临沂·期中）若，则（ ）
A．2 B．7 C．8 D．5
【答案】D
【详解】解：∵，∴，解得，
∴．故选：D．
9．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】A
【详解】解：∵x为有理数式子存在最大值，∴当，最大为2025，选：A．
10．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由数轴可知：∴；
∴原式，，．故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，则 ．
【答案】2或0/0或2
【详解】∵∴或∴或0．故答案为：2或0．
12．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ．
【答案】//
【详解】∵，∴，∴，故答案为：或或．
13．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个式子有最 值是 ，此
【答案】 大 2021 3
【详解】解：∵，∴当时，的最小值为0，
∴的最大值为2021，此时．故答案为：大；2021；3．
14．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）若，互为相反数，则 ； ．
【答案】
【详解】解：∵，互为相反数，∴，∴，
∵，∴，故答案为：，．
15．（24-25·江苏南京·七年级校考阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为_________.
【答案】1
【详解】的值恒为一常数，P的值与x无关，
,且且且且，，
==1．故答案为：1．
18．（24-25七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则 ．
【答案】1
【详解】解：a、b、c是整数，，是整数，
，又，时，则或时，则，
当时，则，；
当时，则，；
当时，则，
当时，则，，
综上可得：，故答案为：1．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（2023·河南·七年级校考阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图：
(1)比较大小（填“”或“”号）．①______；② ______；③______；
(2)化简：．
【答案】(1)；；(2)
【详解】（1）解：由数轴可得：；；；
（2）解： ．
18．（24-25七年级上·云南文山·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题：
(1)当时，求的值．(2)当时，求的值．(3)若有理数均不等于零，试求的值．
【答案】(1)1(2)(3)2或0或
【详解】（1）解：当时，，∴．
（2）解：当时，，∴．
（3）解：当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．∴的值为2或0或．
19．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米）
，问：(1)小虫是否回到原点0？
(2)爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？
【答案】(1)小虫没有回到原点(2)小虫可得到315粒芝麻
【详解】（1）解：
，
答：小虫没有回到原点．
（2）
，
（粒），
答：小虫可得到315粒芝麻．
20．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，．
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
(2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？
(3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？
【答案】(1)小李在九洲体育馆门口西边处；(2)立方米；(3)元．
【详解】（1）由，
∴小李在九洲体育馆门口西边处；
（2）由，
∴共消耗天然气（立方米），
答：共消耗天然气立方米；
（3）
，
，
（元），
答：小李这天上午共得车费元．
21．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数x1与数x2对应点之间的距离．
例1：已知，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2，所以x的值为或2．
例2：已知，求x的值．
解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和，所以x的值为3或．
仿照材料中的解法，求下列各式中x的值． (1)；(2)．
【答案】(1)x的值为或3；(2)x的值为6或．
【详解】（1）解：∵在数轴上与原点距离为3的点表示的数为和3，所以x的值为或3；
（2）解：∵在数轴上与2对应的点的距离为4的点表示的数为6和，所以x的值为6或．
22．（24-25七年级上·福建泉州·期末）阅读与应用：能够被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 奇偶数的运算性质：
奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数．
奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，偶数偶数偶数．
已知有理数a、b、c、d，满足，问的值是否可能为1？若可能，写出一组a、b、c、d的值；若不可能，请说明理由．
【答案】的值不可能为1，见解析
【详解】解：的值不可能为1
理由如下：∵，∴a、b、c、d的值均为，
∵是奇数，∴的值均为奇数，
∵奇数奇数奇数奇数偶数，∴是偶数，
又∵1是奇数，且偶数奇数，∴的值不可能为1．
23．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题：
（1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空．
①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ．②数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ．
（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于．
（3）应用：①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值．
②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值．
③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．
【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为．
【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是，故答案为：；
②数轴上表示和的两点之间的距离是，故答案为：；
③数轴上表示和2的两点之间的距离是，故答案为：；
（3）①，解得：；
②∵数轴上表示数m的点位于与4之间，∴，∴ ；
③，表示点到三点的距离和，
∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小，
∴，
∴当时，的值最小，最小值为．
24．（24-25七年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于．
参考阅读材料，解答下列问题．
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
【问题探究】（3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：；
（4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围；
【实际应用】（5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值；
（6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母）
【答案】（1）3；（2）；（3）8；（4）；（5）2；（6）
【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是；
（2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是；
（3），；
（4）①如图1，当时，，
②如图2，当时，，
③如图3，当时，，
∴当取最小值时，相应的数a的取值范围是；
（5）∵表示在数轴上数的点与表示数、和3的点的距离之和，
∴当时，取最小值，且最小值为：；
（6）为了使 2023 户居民到快餐店的距离总和最小，快餐店应建在中间位置，即第1012户居民处，即．
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专题1.3 绝对值
1. 从数形两方面理解绝对值的意义（代数意义和几何意义）；
2. 会求已知数的绝对值及已知绝对值求未知数；体会分类讨论思想；
3. 运用绝对值的非负性解决问题；
4. 能利用绝对值的几何意义求最值，体会数形结合思想。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.求已知数的绝对值 2
考点2.绝对值的概念与意义辨析 3
考点3.已知绝对值求数或未知数 4
考点4.绝对值的非负性 5
考点5.绝对值的化简求值 6
考点6.绝对值的实际应用 7
考点7.绝对值的几何意义求最值 8
模块3：培优训练 11
1）绝对值：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。
2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。
3）绝对值的代数意义：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。
即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．
可整理为：，或，或。
4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。
归纳： ①绝对值等于它本身的数是：非负数；②绝对值大于它本身的数是：负数；
③绝对值等于它的相反数的数是：非正数；④绝对值最小的有理数是：0；
⑤绝对值最小的正整数是：1；⑥绝对值最小的负整数是：-1。
考点1.求已知数的绝对值
【解题方法】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，。
例1．（2025·江苏连云港·一模）下列各数是-2025的绝对值的是（ ）
A． B． C．2025 D．-2025
变式1．（2025·陕西咸阳·一模）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·重庆·校考二模）2024相反数的绝对值是（ ）
A． B． C．2024 D．
变式3．（23-24七年级·广东·期末）若，则 ．
考点2.绝对值的概念与意义辨析
【解题方法】绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。
例1．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（ ）
A．2个 B．1个 C．3个 D．4个
变式1．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零
变式2．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 ．
变式3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）若，则是（ ）
A．非负数 B．负数 C．正数 D．非正数
考点3.已知绝对值求数或未知数
【解题方法】若，当时，；当时，。
根据绝对值的意义，去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，解方程即可。
例1．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题：
(1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ；
(3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则___；
变式1．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）已知，则x的值为 ．
变式2．（2024·辽宁·模拟预测）绝对值等于的数是（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
变式3．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则 ．
考点4.绝对值的非负性
【解题方法】1）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或，即：。
2）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0。
例1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ．
例2．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ．
变式2．（24-25七年级上·山东威海·期末）若是有理数，则下列说法正确的是（ ）
A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数
变式3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点5.绝对值的化简求值
【解题方法】绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。
注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。
例1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示：
(1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）；(2)化简：．
变式1．（24-25七年级上·重庆江津·期末）有理数，，的位置如图所示，化简 ．
变式2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
(1)比较大小：________．（用“、或”填空）(2)化简：．
考点6.绝对值的实际应用
【解题方法】常见三种应用：
1）质量问题，绝对值越小，越接近质量标准；
2）小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关；
3）数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。
例1．（2025·河北唐山·一模）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为．则这四个零件中质量最好的是（ ）
A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个
例2．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米）
，问：爬行过程中，若每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？
变式1．（24-25七年级上·河南周口·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：
篮球编号 1 2 3 4 5
与标准质量的差/g
(1)最接近标准质量的是几号篮球；(2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？
变式2．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，．
(1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？(2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？
考点7.绝对值的几何意义求最值
【解题方法】几何意义：表示x到点a的距离
（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。
注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。
例1．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式1．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）的最小值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
变式2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 .
变式3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案．
(1)若，则 ．(2)请找出符合条件的，使得．(3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2024·吉林四平·二模）从一批汤圆中挑选4个汤圆编号后进行称重检查，结果如下（超过标准质量的记为正数，不足的克数记为负数，单位：g），其中最接近标准质量的是（ ）
编号 1 2 3 4
检查结果
A．1号汤圆 B．2号汤圆 C．3号汤圆 D．4号汤圆
2.（2025·四川绵阳·一模）的相反数是（ ）
A． B．2025 C． D．
3．（2024·广西钦州·一模）的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
4.（24-25七年级上·四川南充·期中）已知数满足，则不可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（24-25·福建莆田·七年级统考期末）在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴上（ ）
A．原点两旁 B．任何一点 C．原点右边 D．原点或其右边
6．（24-25·河北保定·校考模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．相反数是它本身的数是 B．绝对值是它本身的数是正数
C．的绝对值是它本身 D．有理数的相反数仍是有理数
7．（2024·河南郑州·模拟预测）一个数x的相反数的绝对值为3，则这个数是（ ）
A．3 B． C． D．
8．（24-25八年级上·山东临沂·期中）若，则（ ）
A．2 B．7 C．8 D．5
9．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
10．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知，则 ．
12．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ．
13．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个式子有最 值是 ，此
14．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习）若，互为相反数，则 ； ．
15．（24-25·江苏南京·七年级校考阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为_________.
18．（24-25七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（2023·河南·七年级校考阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图：
(1)比较大小（填“”或“”号）．①______；② ______；③______；
(2)化简：．
18．（24-25七年级上·云南文山·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题：
(1)当时，求的值．(2)当时，求的值．(3)若有理数均不等于零，试求的值．
19．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米）
，问：(1)小虫是否回到原点0？
(2)爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？
20．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，．
(1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？
(2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？
(3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？
21．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数x1与数x2对应点之间的距离．
例1：已知，求x的值．
解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2，所以x的值为或2．
例2：已知，求x的值．
解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和，所以x的值为3或．
仿照材料中的解法，求下列各式中x的值． (1)；(2)．
22．（24-25七年级上·福建泉州·期末）阅读与应用：能够被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数． 奇偶数的运算性质：
奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数．
奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，偶数偶数偶数．
已知有理数a、b、c、d，满足，问的值是否可能为1？若可能，写出一组a、b、c、d的值；若不可能，请说明理由．
23．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题：
（1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空．
①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ．②数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ．
（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于．
（3）应用：①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值．
②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值．
③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．
24．（24-25七年级上·山东烟台·期末）【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于．
参考阅读材料，解答下列问题．
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
【问题探究】（3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：；
（4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围；
【实际应用】（5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值；
（6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母）
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