3.4圆心角 同步练习（含答案）
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3.4圆心角
一、单选题
1．（2020九上·净月期末）如图，在⊙O中， ＝ ，∠A＝40°，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．40° C．50° D．70°
2．（2025九下·织金月考）将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·肇源期中）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径
4．（2024九上·许昌月考）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5．（2024九上·南京月考）一个扇形的半径为4，弧长为，其圆心角度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018九上·宁波期中）下列四个命题中，正确的有（ ）
①三点确定一个圆 ②平分弦的直径平分弦所对的弧
③弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 ④相等的弧所对的圆心角相等
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2020九上·建水期末）如图，在⊙O中， ，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．（2024·旺苍模拟）如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·长春期中）如图，在中，是直径，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·宜宾模拟）如图，在中，，点D、E分别是的中点．将绕点A顺时针旋转，射线与射线交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：
①；②存在最大值为；③存在最小值为；④点P运动的路径长为．其中，正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
二、填空题
11．（2022九上·鄞州月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则 的度数为 .
12．（2025·酒泉模拟）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变，已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为 ．
13．（2024九下·邵东期中）如图，在⊙O中，，，则的度数为 ．
14．（2023八下·丰城期末）如图，在半径为3的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，则的长度是 ．
15．可以用圆的旋转不变性来理解圆心角定理及圆心角、弧、弦、弦心距这四个量之间的对应关系，要注意的是同一条弦对应 条弧．
16．（2024九上·铁岭期末）如图，边长为4的正方形内接于，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②一定是等腰三角形；③四边形的面积随点E位置的变化而变化；④周长的最小值为．其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号填上）
三、计算题
17．如图，A、B、C、D均为⊙O上的点，其中A、B两点的连线经过圆心O，线段AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数．
四、解答题
18．（2021·秦淮模拟）如图， 的弦 相交于点P，且 .求证 .
19．（2023九上·临洮期末）如图，是的直径，，，求的度数．
20．（2025·织金模拟）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若．
（1）求的度数；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的基础上求的值．
21．（2023·自贡）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线解析式及，两点坐标；
（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
2．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
3．【答案】C
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
4．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
5．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
6．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件
7．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
9．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
11．【答案】50°
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；直角三角形的性质
12．【答案】90
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
13．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
14．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
15．【答案】两
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
16．【答案】①②④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
17．【答案】解：连接OD，
∵AB=2DE=2OD，
∴OD=DE，
又∵∠E=18°，
∴∠DOE=∠E=18°，
∴∠ODC=36°，
同理∠C=∠ODC=36°
∴∠AOC=∠E+∠OCE=54°．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
18．【答案】证明：连接BD.
∴
即
【知识点】等腰三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系
19．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
20．【答案】（1）解：如图，连接，
，
，．
又，
，
即，
，
，
．
（2）解：，
．
，
．
又，
，
，
．
（3）解：由（2）得，，
.
，，
，
．
，
，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
21．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
（2）∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；等腰直角三角形
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3.4圆心角
一、单选题
1．（2020九上·净月期末）如图，在⊙O中， ＝ ，∠A＝40°，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．40° C．50° D．70°
2．（2025九下·织金月考）将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·肇源期中）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等
D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径
4．（2024九上·许昌月考）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5．（2024九上·南京月考）一个扇形的半径为4，弧长为，其圆心角度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018九上·宁波期中）下列四个命题中，正确的有（ ）
①三点确定一个圆 ②平分弦的直径平分弦所对的弧
③弦长相等，则弦所对的弦心距也相等 ④相等的弧所对的圆心角相等
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2020九上·建水期末）如图，在⊙O中， ，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8．（2024·旺苍模拟）如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·长春期中）如图，在中，是直径，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·宜宾模拟）如图，在中，，点D、E分别是的中点．将绕点A顺时针旋转，射线与射线交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：
①；②存在最大值为；③存在最小值为；④点P运动的路径长为．其中，正确的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
二、填空题
11．（2022九上·鄞州月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则 的度数为 .
12．（2025·酒泉模拟）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变，已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为 ．
13．（2024九下·邵东期中）如图，在⊙O中，，，则的度数为 ．
14．（2023八下·丰城期末）如图，在半径为3的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，则的长度是 ．
15．可以用圆的旋转不变性来理解圆心角定理及圆心角、弧、弦、弦心距这四个量之间的对应关系，要注意的是同一条弦对应 条弧．
16．（2024九上·铁岭期末）如图，边长为4的正方形内接于，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②一定是等腰三角形；③四边形的面积随点E位置的变化而变化；④周长的最小值为．其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号填上）
三、计算题
17．如图，A、B、C、D均为⊙O上的点，其中A、B两点的连线经过圆心O，线段AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数．
四、解答题
18．（2021·秦淮模拟）如图， 的弦 相交于点P，且 .求证 .
19．（2023九上·临洮期末）如图，是的直径，，，求的度数．
20．（2025·织金模拟）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若．
（1）求的度数；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的基础上求的值．
21．（2023·自贡）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线解析式及，两点坐标；
（2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
2．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
3．【答案】C
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
4．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
5．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
6．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；确定圆的条件
7．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
9．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
11．【答案】50°
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；直角三角形的性质
12．【答案】90
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
13．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
14．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
15．【答案】两
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
16．【答案】①②④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS
17．【答案】解：连接OD，
∵AB=2DE=2OD，
∴OD=DE，
又∵∠E=18°，
∴∠DOE=∠E=18°，
∴∠ODC=36°，
同理∠C=∠ODC=36°
∴∠AOC=∠E+∠OCE=54°．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
18．【答案】证明：连接BD.
∴
即
【知识点】等腰三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系
19．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
20．【答案】（1）解：如图，连接，
，
，．
又，
，
即，
，
，
．
（2）解：，
．
，
．
又，
，
，
．
（3）解：由（2）得，，
.
，，
，
．
，
，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
21．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
（2）∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；等腰直角三角形
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