4.5 相似三角形的性质及应用 同步练习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
4.5 相似三角形的性质及应用
一、单选题
1．（2022九上·西安月考）两个相似三角形对应中线的长分别为6cm和12cm，若较大三角形的面积是12cm2，则较小的三角形的面积为（　　）cm2.
A．1 B．3 C．4 D．6
2．（2025·龙马潭模拟）如图，，若，，则与的相似比是(　　)
A． B． C． D．
3．（2024九下·泰州月考）如图，已知等边的面积为1，D、E分别为的中点，若向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023九上·平南期中）如图，在中，点分别在上，平分交于点，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2019九上·定边期中）已知△ABC∽△A B C ，且△ABC与△A B C 的周长比为 ，则△ABC与△A B C 的面积比为（　　）
A． B． C． D．
6．已知两个相似三角形周长分别为8和6，则它们的面积比为（　　）。
A．4：3 B．16：9 C． D．
7．（2019九上·乐亭期中）如图，在 ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（　　）
A． B． C． D．
8．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　）
A．1：4 B．2：1 C．1：2 D．4：1
9．已知小丽同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为（　　）
A．20米 B．30米 C．40米 D．50米
10．（2018九上·港南期中）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（　　）
①OH= BF；②∠CHF=45°；③GH= BC；④DH2=HE HB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2023九上·秦皇岛期末）在阳光下的某一时刻，测得教学楼在地面上的影子长为 ，此时 高的标杆竖立在地面上的影子长为 ，则教学楼的高度为　 　．
12．（2023九上·柳州月考）如图，某学生利用一根长0.5米的标杆测量一棵树的高度，测得米，米，那么树的高度为　 　米．
13．（2025九上·东台期末）如图，，点分别是上的点且，若，时，则的长等于　 　．
14．（2021九下·武汉月考）如图，四边形ABCD是菱形，E为对角线BD的延长线上一点，且 ， ，∠BAE=45°，则AB的长为　 　.
15．（2022九上·奉贤期中）如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，且Rt△ABC与△AEM在同一个平面内．已知AC=0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD=1.5米，到旗杆的水平距离AE=20米，则旗杆MN的高度为 　 　米．
16．（2022八下·惠山期末）如图，四边形OACB是平行四边形，OB在x轴上，反比例函数（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F.若点F为BC的中点，△AOF的面积为6，则 k的值为　 　.
三、计算题
17．（2023九上·南山月考）党的二十大报告提出要“全面推进乡村振兴”，这是对党的十九大报告所提出的“实施乡村振兴战略”的进一步发展，彰显出新时代新征程在工农城乡关系布局上的深远谋划，为不断推进乡村振兴、加快农村现代化进程指明了方向某市为了加快城乡发展，保障市民出行方便，在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在的延长线上取点，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为60米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度．
18．（2023·云安模拟）木匠黄师傅用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了三种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆（如图1）；
方案二：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆（如图2）；
方案三：锯一块小矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆（如图3）．
（1）通过计算说明方案一和方案二中，哪个圆的半径较大？
（2）在方案三中，设，圆的半径为y．
①求y关于x的函数解析式；
②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明三种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．
19．（2023九上·乐陵月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点．
（1）求抛物线的解析式：
（2）点P是第一象限抛物线上一动点，连接，的延长线与x轴交于点Q，过点P作轴于点E，以为轴，翻折直线，与抛物线相交于另一点R．设P点横坐标为t，R点横坐标为s，求出s与t的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接，点G在上，且，连接，若，求点Q坐标．
四、解答题
20．（2022九上·佛山期中）小明想要利用所学知识测量教学楼AB的高度．如图，小明竖直站在教学楼的影子末端C点处，此时小明测量出自己的身高，影子的的长度，以及小明站的位置到教学楼的距离，求教学楼AB的高度．
21．（2023九上·涟源期末）如图，已知河宽，在河的两岸各取一点，，与相交于点，于点，于点，测得，，求的长．
22．（2023九上·高州月考）如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求CG的长．
23．（2024·河南模拟）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线的对称轴是直线x=2．
（1）求出该抛物线的解析式．
（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C．现在利用图2进行如下探究：
①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出的值．
②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；几何概率；三角形的中位线定理
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
10．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
11．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
12．【答案】2
【知识点】相似三角形的应用
13．【答案】6
【知识点】相似三角形的判定与性质
14．【答案】
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
15．【答案】14
【知识点】相似三角形的应用
16．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
17．【答案】桥的长度为80米．
【知识点】相似三角形的应用
18．【答案】（1）方案二中圆的半径较大
（2）①当时，；当时，；当时，；②当时，最大为，方案三中圆形桌面的半径最大
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质
20．【答案】教学楼AB的高度为．
【知识点】相似三角形的应用
21．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
22．【答案】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴，又，
在和中，
，
∴（SAS），
∴；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，即，
∴，
又，
∴；
（3）解：由（2）得，
∴，即，
∴或（舍去），根据（1）中的结论得，
∴．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
23．【答案】（1）
（2）①的值不变，；②存在点F（，0）或F（，0），使△DMF为等腰三角形．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；等腰三角形的概念
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 10