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题型突破01 认识三角形（考点清单+题型突破+通关专训）
考点清单
【清单01】三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
【清单02】三角形的内角和
三角形的内角和为180°．
注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
【清单03】三角形的分类
按角分类：
注意：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
【清单04】三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边.
要点：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．
（3）证明线段之间的不等关系．
【清单05】三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC．
【清单06】三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
要点归纳：
(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点归纳：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.
要点归纳：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．
题型突破
【考点题型一】三角形的稳定性
【例1】下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正六边形 B．长方形 C．三角形 D．正五边形
【变式1-1】如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
【考点题型二】三角形的分类
【例2】在中，若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
【变式2-1】一个三角形中有两条边相等，则这个三角形是（ ）
A．不等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【考点题型三】构成三角形的三边关系
【例3】以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】若某三角形的两条边分别是，，那么它第三边的取值范围是 ．
【考点题型四】阅读材料：
若，求，的值．
解：，
，
，
，，
．3
根据上述材料，探究下列问题：
(1)若的三边长，，均为正整数，且满足，求周长的最小值；
(2)若的三边长为，，，且满足，试判断是什么形状的三角形，并说明理由．
【变式4-1】已知，，是三角形的三边长．
(1)化简：；
(2)若，，，求（1）中式子的值．
【考点题型五】做三角形的高，中线，角平分线
【例5】如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内是将经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
(1)补全；
(2)画出中线；
(3)画出边上的高线；
(4)在平移过程中，线段扫过的面积为______．
【变式5-1】如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图．
(1)作边上的高线，垂足为D；
(2)在边上取一点E，连接，使得平分的面积；
(3)的面积为_________．
【变式5-2】如图在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．
(1)的面积为______；
(2)将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，补全；
(3)若连接，则这两条线段之间的关系是______；
(4)在图中画出的高．
【考点题型六】三角形的高及与高相关计算
【例6】如图，在中，，是边上的高，求的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】一个三角形的面积是平方米，其中一条边是2米，这边上的高是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．2米
【变式6-2】如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是 ．
【考点题型七】三角形内角和定理的应用
【例7】如图，，点E在上，，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【变式7-1】如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】已知中，，则图中的度数为（ ）
A．180° B．220° C．230° D．240°
【变式7-3】如图，的度数是 ．
【考点题型八】三角形的中线及相关计算
【例8】如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】如图，点D是的边上的点，连接，点E是边的中点，连接．若的面积为12，则阴影部分图形的面积和为 ．
【考点题型九】三角形角平分线及相关计算
【例9】如图，是的角平分线，E为边上一点，过点E作交的延长线于点F．若，则的大小为 度．
【变式9-1】如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．求证：平分．
【考点题型十】三角形的外角
【例10】抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一．如图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】把一副三角板按如图所示的方式摆放，使得，则与的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得则（ ）
A． B． C． D．
通关专训
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6 B．4，4，7 C．5，8，13 D．3，4，8
2．将一把直尺与一块三角板如图放置，若，则为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，D，E是内的两点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，. 则度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，交的延长线于点E，交的延长线于点F，于点D，则在中，边上的高是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，平分 ，平分，，则的度数为 ．
8．如图，在中，分别是与的角平分线，点D在的延长线上，则 ．
9．如图，在中，为边上的中线．
(1)若的面积为4，则的面积为______；
(2)若，比的周长多2，则______．
10．如图，在中，延长至点，如果，则 度．
11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上，则格点四边形的面积为 ．
12．已知a，b，c为三角形的三边长，化简： ．
13．在中，，则与相邻的外角的度数为 ．
14．如图，在中，是的中线，是的中线．
(1)若，求的长；
(2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求AC的长．
15．【问题再现】
如图①，在中，的平分线与外角的平分线交于点E．若，求的度数．
【问题解决】
（1）小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解的过程：
∵平分平分，
∴．
∵ ，
∴，即，
∴，
∴ ．
将小明的过程补充完整
【应用】
（2）如图②，在中，的平分线与外角的平分线交于点E，若，求的度数（用含的代数式表示）．
16．画图并填空，如图：方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点．
(1)请画出平移后的；
(2)若连接，，则这两条线段的关系是 ；
(3)利用网格画出中边上的中线以及边上的高；
(4)线段在平移过程中扫过区域的面积为 ．
17．如图，在中，平分交于点，点分别在的延长线上，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
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题型突破01 认识三角形（考点清单+题型突破+通关专训）
考点清单
【清单01】三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
【清单02】三角形的内角和
三角形的内角和为180°．
注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
【清单03】三角形的分类
按角分类：
注意：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
【清单04】三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边.
要点：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．
（3）证明线段之间的不等关系．
【清单05】三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC．
【清单06】三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
要点归纳：
(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点归纳：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.
要点归纳：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．
题型突破
【考点题型一】三角形的稳定性
【例1】下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正六边形 B．长方形 C．三角形 D．正五边形
【答案】C
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【详解】解：具有稳定性的是三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记．
【变式1-1】如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
【答案】A
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．熟知三角形的稳定性是关键．
【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故其所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：．
【考点题型二】三角形的分类
【例2】在中，若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的分类，解题的关键是掌握三角形的内角和是180度，有一个角是直角的三角形是直角三角形．根据题意得出，求出，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴一定是直角三角形，
故选：B．
【变式2-1】一个三角形中有两条边相等，则这个三角形是（ ）
A．不等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形，根据至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形，即可判断．
【详解】解：至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形．
故选：D．
【考点题型三】构成三角形的三边关系
【例3】以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边即可判断求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴不能组成三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴不能组成三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴能组成三角形，该选项符合题意；
、∵，
∴不能组成三角形，该选项不合题意；
故选：．
【变式3-1】若某三角形的两条边分别是，，那么它第三边的取值范围是 ．
【答案】第三边
【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
【详解】解：设三角形的第三边长为，
∴，
解得：，
∴它第三边的取值范围是，
故答案为：第三边．
【考点题型四】阅读材料：
若，求，的值．
解：，
，
，
，，
．3
根据上述材料，探究下列问题：
(1)若的三边长，，均为正整数，且满足，求周长的最小值；
(2)若的三边长为，，，且满足，试判断是什么形状的三角形，并说明理由．
【答案】(1)11(2)等边三角形，见解析
【分析】本题考查的是配方法的应用、三角形的三边关系、等边三角形的判定，灵活运用配方法是解题的关键．
（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质分别求出、，根据三角形的三边关系确定的范围，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质得到，根据等边三角形的概念判断即可．
【详解】（1）解：，
则，
，
，，
，，
则，即，
为正整数，
的最小值为，
周长的最小值为：；
（2）为等边三角形．
理由如下：，
则，
，
，
，，
，
为等边三角形．
【变式4-1】已知，，是三角形的三边长．
(1)化简：；
(2)若，，，求（1）中式子的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理、绝对值的性质、代数式求值等知识点，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可确定绝对值符号内的式子的符号，从而去绝对值再化简即可；
（2）将代入，，代入（1）化简的代数式求值即可．
【详解】（1）解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴，
∴，
∴．
（2）解：把，，，代入（1）中式子可得：
原式．
【考点题型五】做三角形的高，中线，角平分线
【例5】如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内是将经过一次平移后得到的．根据下列条件，利用网格点和直尺画图：
(1)补全；
(2)画出中线；
(3)画出边上的高线；
(4)在平移过程中，线段扫过的面积为______．
【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)画图见解析(4)
【分析】（1）根据题意，将的三个顶点向左平移4个单位，向下平移2个单位得到对应的点，然后进一步连接起来即可；
（2）连接C点与的中点即可；
（3）取格点，满足，连接交的延长线于即可；
（4）结合图形可知，线段扫过的面积为，据此进一步加以计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
；
（2）解：如图所示，线段即为所求；
（3）解：如图，取格点，满足，连接交的延长线于，
则线段即为所求；
（4）解：，
∴．
即线段扫过的面积为16．
【点睛】本题主要考查了画平移图形，图形的平移的性质，画三角形的高，求解网格三角形的面积，熟练画图是解题关键．
【变式5-1】如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图．
(1)作边上的高线，垂足为D；
(2)在边上取一点E，连接，使得平分的面积；
(3)的面积为_________．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8
【分析】本题主要考查了画三角形的高，画三角形中线，求三角形面积．
（1）根据三角形高的画法作图即可；
（3）只需要令为的中点即可；
（3）直接利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：的面积为．
故答案为：8．
【变式5-2】如图在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．
(1)的面积为______；
(2)将经过平移后得到，图中标出了点B的对应点，补全；
(3)若连接，则这两条线段之间的关系是______；
(4)在图中画出的高．
【答案】(1)10(2)见解析(3)，(4)见解析
【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，画平移图形，平行四边形的判定与性质，在网格中作图，准确画出平移后的图形是解题关键．
（1）根据三角形的面积公式结合网格即可求解；
（2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（3）由图形可知，若连接，根据平行四边形的判定与性质可得则这两条线段之间的关系是，；
（4）在网格中作图即可．
【详解】（1）解： ；
故答案为：10；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，连接，
，且，
四边形为平行四边形，
，，
故答案为：，；
（4）如图，即为所求．
【考点题型六】三角形的高及与高相关计算
【例6】如图，在中，，是边上的高，求的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】考查三角形的内角和定理以及高的性质.根据三角形的内角和定理与，即可求得三个内角的度数，再根据三角形的内角和定理求得的度数．
【详解】∵，，
∴，
解得，，
则，
∵是边上的高，
∴，
∴，
故选：C．
【变式6-1】一个三角形的面积是平方米，其中一条边是2米，这边上的高是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．2米
【答案】B
【分析】本题考查三角形的面积公式，由三角形的面积＝底×高÷2，可得这边上的高＝面积×2÷底，据此即可解答．
【详解】解：（米），
因此这边上的高是米．
故选：B
【变式6-2】如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，垂线段最短，根据题意，当时，有最小值，利用即可解答．
【详解】解：根据题意得：当时，有最小值，
中，，于E，，
，
，
，
故答案为：．
【考点题型七】三角形内角和定理的应用
【例7】如图，，点E在上，，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义、三角形内角和．
根据邻补角的定义求出即可判断①；
根据平行线的性质及等量代换即可判断②；
根据平行线的性质和邻补角的定义即可判断③；
根据三角形内角和求出，再根据平行线的性质及等量代换即可判断④．
【详解】解：
，
，故①成立；
，故②不一定成立；
，故③成立；
由①知，
，故④成立；
故选D．
【变式7-1】如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，有同位角相等，即 ，进而求出 ，根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】如图：
故答案选A
【点睛】本题考查平行线的性质、两角互补与三角形内角和定理，找到为关键．
【变式7-2】已知中，，则图中的度数为（ ）
A．180° B．220° C．230° D．240°
【答案】C
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件．
【变式7-3】如图，的度数是 ．
【答案】/360度
【分析】本题考查三角形内角和定理，对顶角的性质，掌握三角形内角和是是正确解答的前提．
根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得答案．
【详解】解：如图，
，，，
，
，
故答案为：．
【考点题型八】三角形的中线及相关计算
【例8】如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键．根据三角形中线的定义可得，结合题意可得，进而获得答案．
【详解】解：∵是的边上的中线，
∴，
∵的周长比的周长大，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【变式8-1】如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形中线的性质，解决问题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．根据中线的性质，得到，，进而推出，，即可解题．
【详解】解： 的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，
，
，
，
，
，
连接，
，
的面积是，
故选：D．
【变式8-2】如图，点D是的边上的点，连接，点E是边的中点，连接．若的面积为12，则阴影部分图形的面积和为 ．
【答案】6
【分析】此题考查三角形中线的性质，三角形的面积，解题关键在于利用面积等量替换解答，根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可．
【详解】解：∵点E是边的中点，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为6，
故答案为：6．
【考点题型九】三角形角平分线及相关计算
【例9】如图，是的角平分线，E为边上一点，过点E作交的延长线于点F．若，则的大小为 度．
【答案】13
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理及外角的性质，先利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，进而求出，由即可解答．
【详解】解： ，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：13．
【变式9-1】如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义以及判定，平行线的性质，由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，，进而可得出， 即可得出平分．
【详解】证明：∵是的角平分线，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴平分．
【考点题型十】三角形的外角
【例10】抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一．如图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，延长交于F，根据两直线平行，同位角相等得到，再由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长交于F，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【变式10-1】把一副三角板按如图所示的方式摆放，使得，则与的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形的外角，根据三角板及三角形外角求解即可．
【详解】如图，与的交点为，
由三角板可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即与的夹角的度数为，
故选：C．
【变式10-2】如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据平行线的性质结合对顶角得，再根据外角定理即可求解．
【详解】解：两条平行线记为，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
通关专训
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6 B．4，4，7 C．5，8，13 D．3，4，8
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，“三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边”．根据三角形的三边关系判断即可．
【详解】解：A、，
长为2，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、，
长为4，4，7的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
C、，
长为5，8，13的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
D、，
长为3、4、8的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：B．
2．将一把直尺与一块三角板如图放置，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，根据三角形外角的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数．
【详解】解：由三角形外角的性质可得，
∵直尺的对边平行，
∴
故选：C．
3．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，依此即可求解，熟悉它们的定义和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线，
∴，，，无法确定，
故选：．
4．如图，在中，D，E是内的两点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和与角平分线，设，则，即，判定点E为三条角平分线的交点，且和，则．
【详解】解：设，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴点E为三条角平分线的交点，
∴．
故选：B．
5．如图，，，. 则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，根据，可得，再由三角形内角和定理求出的度数，即可求解，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
故选：A．
6．如图，交的延长线于点E，交的延长线于点F，于点D，则在中，边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴在中，边上的高是，
故选：C．
7．如图，，平分 ，平分，，则的度数为 ．
【答案】/85度
【分析】本题主要考查了三角形外角．熟练掌握三角形外角性质，角平分线性质，是解决问题的关键．
设与相交于点G，与相交于点H，根据，，得到，，根据角平分线定义得到，，则根据三角形外角性质得到，，得到，即得．
【详解】如图，设与相交于点G，与相交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分 ，平分，
∴，，
∵①，②，
，得，，
∴，
∴．
故答案为：．
8．如图，在中，分别是与的角平分线，点D在的延长线上，则 ．
【答案】/18度
【分析】本题考查三角形外角的性质及角平分线的定义，根据点D在的延长线上，得到，由角平分线的定义可得，根据三角形外角的性质即可求的度数．
【详解】解：点D在的延长线上，
是的一个外角，
，
分别是与的角平分线，
，
，
，
故答案为：．
9．如图，在中，为边上的中线．
(1)若的面积为4，则的面积为______；
(2)若，比的周长多2，则______．
【答案】(1)2(2)6
【分析】本题考查了三角形中线的应用，掌握相关结论是解题关键．
（1）设边上的高为，根据、、即可求解；
（2）根据、即可求解
【详解】（1）解：∵为边上的中线．
∴
设边上的高为
∴
∵
∴
故答案为：2
（2）解：
∵为边上的中线．
∴
∴
∴
故答案为：6
10．如图，在中，延长至点，如果，则 度．
【答案】55
【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据题意的是的一个外角，根据即可求解．
【详解】解：根据题意的是的一个外角，
，，
，
故答案为：55．
11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上，则格点四边形的面积为 ．
【答案】13
【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，直接利用长方形的面积，再减去三个三角形的面积即可．
【详解】解：如图，作长方形，
∵正方形网格中的每一个小正方形的边长为1，
∴，，，，，，，
∴．
故答案为：
12．已知a，b，c为三角形的三边长，化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，解题的关键是熟练掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据三角形三边关系得到，，，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【详解】解：，，是一个三角形的三条边长，
∴，，，
，
故答案为：．
13．在中，，则与相邻的外角的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴与相邻的外角的度数，
故答案为：．
14．如图，在中，是的中线，是的中线．
(1)若，求的长；
(2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求AC的长．
【答案】(1)16(2)11
【分析】（1）根据三角形的中线的概念计算；
（2）根据三角形的周长公式得到，，进而求出．
本题主要考查了三角形中线的定义和性质，熟练掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：是 的中线，，
，
是的中线，
；
（2）解：是 的中线，
，
与的周长差为3，
，
，
的周长为37，，
，
，
．
15．【问题再现】
如图①，在中，的平分线与外角的平分线交于点E．若，求的度数．
【问题解决】
（1）小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解的过程：
∵平分平分，
∴．
∵ ，
∴，即，
∴，
∴ ．
将小明的过程补充完整
【应用】
（2）如图②，在中，的平分线与外角的平分线交于点E，若，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】（1）；； （2）
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握外角性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到，于是得到结论；
（2）由角平分线的定义得到，然后根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）∵平分平分，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴；
（2）∵平分平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
16．画图并填空，如图：方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点．
(1)请画出平移后的；
(2)若连接，，则这两条线段的关系是 ；
(3)利用网格画出中边上的中线以及边上的高；
(4)线段在平移过程中扫过区域的面积为 ．
【答案】(1)见解析(2)平行且相等(3)见解析(4)20
【分析】此题主要考查了平移的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系；
（3）利用网格得出的中点即可得出答案；利用网格得出高即可得出答案；
（4）直接线段在平移过程中扫过区域的面积进而得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：根据平移的性质可得，，，
故答案为：平行且相等；
（3）解：中线以及高如图所示；
（4）解：线段在平移过程中扫过区域的面积．
故答案为：20．
17．如图，在中，平分交于点，点分别在的延长线上，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)．
【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义等，解题的关键是熟练进行等量代换．
（1）由角平分线的定义可得，由可得，等量代换可得，利用内错角相等、两直线平行，可证；
（2）由可得，由平分可得，结合，可得，根据求出，最后根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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