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第1章 三角形的初步认识（单元测试培优卷）
一、单选题（共10小题）
1．下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等形的定义，掌握能够完全重合的图形是全等形成为解题的关键．
运用全等形的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；
B、两个图形能够完全重合，故本选项正确
C、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；
C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误．
故选D．
2．可以用来说明“，则”是假命题的反例是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明“若，则”是假命题，通过满足但的例子逐一排除即可，理解题意是解题关键．
【详解】解：、∵，，
∴，，此时，不满足，不符合题意；
、∵，，
∴，，满足，
∵，
∴成立，不是反例，排除，不符合题意；
、∵，，
∴ ，，此时，不满足，排除，不符合题意；
、∵，，
∴，，满足，
∵，∴不成立，符合反例条件，符合题意；
故选：．
3．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（ ）
A．10，5，5 B．5，8，4 C．12，5，6 D．3，6，13
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系，任意两边之和需大于第三边．对各选项逐一验证，仅需检查最大边是否小于另两边之和即可．
【详解】解：A：最大边10，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形．
B：最大边8，，且，均满足条件，能构成三角形．
C：最大边12，，不满足条件，不能构成三角形．
D：最大边13，，不满足条件，不能构成三角形．
故选：B
4．如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据三角形中线平分三角形面积，得到，即可得到答案．
【详解】解：∵点，分别为，边上的中点，
∴，，
∵的面积为12，
∴，
故选：A．
5．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．由两直线平行，同旁内角互补，可得，再结合三角形外角的性质，即可求出的度数．
【详解】解：，，
，
，，
，，
，
，
故选：A．
6．在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
延长至点，使，利用证明，得，再利用三角形三边关系可得答案．
【详解】解：延长至点，使，则，
为边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
∵
∴，即，
∴．
故选：B．
7．如图，点、、、在同一条直线上，，，需要再补充一个条件，使．以下补充条件中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形判定逐个即判断可得到答案．
【详解】解：A、添加，可用“”证明；
B、由得到，即，可用“”证明；
C、由得到，即，可以“”证明；
D、添加不能证明．
故选：D
8．如图，已知，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若是上一点，过点作的平行线交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线，平行线以及的三角形内角和定理及外角的性质，熟练掌握相关的角平分线性质是求解本题的关键．依据尺规作图可得是的角平分线，进而可得，根据平行线的性质，即可得到，再根据三角形的内角和定理及外角的性质，即可得到的度数．
【详解】解：以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，
是的角平分线，
，
，
过点作的平行线交于点，
，
，
，
故选：D．
9．如图，在四边形ABCD中，，M，N分别是BC，DC上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，即可得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值．作延长线，
∵，
∴，
∴，
∵，
且，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称 最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
10．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（ ）
A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤
【答案】B
【分析】设，，由角平分线的定义结合三角形内角和定理可得，再由三角形内角和定理计算即可判断①；证明，得出即可判断②；由平分，但与不一定相等即可判断③；在边上截取，连接，证明，，即可判断④；作于，于，由④可得，，推出，证明，得出，再由三角形面积公式即可判断⑤，从而得出答案．
【详解】解：①设，，
∵在中，，平分交于点，平分交于点，
∴，，，
∴，
∴，故①正确；
②∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵平分，但与不一定相等，
∴与不一定相等，故③错误；
④如图，在边上截取，连接，
，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤如图，作于，于，
，
由④可得，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
二、填空题（共6小题）
11．已知、、是三角形的三边长，化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 ）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键．利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简．
【详解】解：∵ 、、是三角形的三边长
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
∴ ，即；，即
∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数
∴ ，
则
故答案为： ．
12．如图，，若，，，则的度数为 °．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等．首先根据三角形内角和定理求出，然后根据全等三角形的性质得到，，最后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
13．如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形的方法有是解题的关键．本题中根据证明，即可求解．
【详解】解：由题意知：，
∵是、的中点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：9．
14．如图，在中，，，平分，于点E，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据角角边证明，继而得出，再根据勾股定理求出的长度，根据的周长为求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴,
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
15．已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，请写出与之间的数量关系 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的定义．
延长交延长线于M，延长交于E，根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到，结合平角定义和角平分线的定义得到，根据三角形外交的性质求出，列等式计算即可．
【详解】解：如图，延长交延长线于M，延长交于E，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∵，，
∴，
即
∴，
故答案为：．
16．如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等．
【答案】或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，①点在上时，由全等三角形的性质，即可求解；②点在上时，同理可求；掌握全等三角形的性质，能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：①点在上时，如图，
，
，
运动秒；
②点在上时，如图，
，
，
，
的运动路程为：
，
，
运动秒；
运动或秒；
故答案为：或．
三、解答题（共8小题）
17．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．
【答案】见解析
【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一）
【详解】
【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
18．已知三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当为最大边时，求三边长．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形三边关系，首先设边的长度分别是a、b、c，则；然后根据三边长都是整数且互不相等，由三边关系得出，即可判断出，判断出三边长分别是5、3、4；再分情况讨论即可．
【详解】解：设边的长度分别是a、b、c，
的周长为12，
；
为最大边，
，
，
三边长都是整数且互不相等，
，即，
，且，
或，
或．
19．如图，一块三角板，D是边上一点，现要求在边上确定点E，使．
(1)通过尺规作图确定点E．（不写作法，留下作图痕迹，要有结论）
(2)请直接写出（1）中的作图理论依据．
【答案】(1)见解析(2)同位角相等，两直线平行．
【分析】本题考查作一个角等于圆周角、平行线的判定；
（1）过点作，交于点，则点即为所求．
（2）结合平行线的判定可得答案．
【详解】（1）解：如图，过点作，交于点，
则，
则点E即为所求．
（2）作图理论依据为：同位角相等，两直线平行．
20．如图，，，，，．
(1)试说明：；
(2)求的长度．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查全等三角形的性质，属于基础题型：
（1）根据，得到，再根据线段的和差关系即可得出结论；
（2）根据（1）中的结论，求出的长，进而求出的长度即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴．
21．在和中，，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】证明，根据全等三角形的性质得出，即可得证．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
22．如图，在和中，点在边上，边交边于点，若，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据SSS定理得出（SSS），故，再根据是的外角，可知，可得出，故可得出答案．
【详解】解：在和中，
∴（SSS）
∴；
∵，
∴
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，同时涉及三角形外角和定理，掌握相关定理知识是解题的关键．
23．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到≌的理由是______．
（2）求得的取值范围是______．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长至点，使，连接、，证明≌，得到，根据三角形三边关系解答即可．
【详解】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案为：1＜AD＜7．
（3）证明：延长至点，使，连接、，
如图所示：
∵点是的中点，∴．
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵，，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
24．【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论．
【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）．理由见解答过程．
证明见解析
【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
（1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出；
（3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】解：（1）．理由如下：
如图1，延长到点，使，连接，
，
，
又，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，
即，
；
在与中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）（1）中的结论仍成立，理由如下：
如图2，延长到点，使，连接，
，，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
又，
，
；
（3）．
证明：如图3，延长到点，使，连接，
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
即，
．
试卷第2页，共23页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第1章 三角形的初步认识（单元测试培优卷）
一、单选题（共10小题）
1．下列各组的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．可以用来说明“，则”是假命题的反例是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（ ）
A．10，5，5 B．5，8，4 C．12，5，6 D．3，6，13
4．如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点、、、在同一条直线上，，，需要再补充一个条件，使．以下补充条件中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若是上一点，过点作的平行线交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在四边形ABCD中，，M，N分别是BC，DC上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（ ）
A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤
二、填空题（共6小题）
11．已知、、是三角形的三边长，化简： ．
12．如图，，若，，，则的度数为 °．
13．如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ．
14．如图，在中，，，平分，于点E，则的周长为 ．
15．已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，请写出与之间的数量关系 ．
16．如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等．
三、解答题（共8小题）
17．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．
18．已知三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当为最大边时，求三边长．
19．如图，一块三角板，D是边上一点，现要求在边上确定点E，使．
(1)通过尺规作图确定点E．（不写作法，留下作图痕迹，要有结论）
(2)请直接写出（1）中的作图理论依据．
20．如图，，，，，．
(1)试说明：；
(2)求的长度．
21．在和中，，，，求证：．
22．如图，在和中，点在边上，边交边于点，若，，．求证：．
23．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到≌的理由是______．
（2）求得的取值范围是______．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．
24．【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论．
试卷第6页，共6页
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