1.3.2 证明 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
第一章 三角形的初步知识
1.3.2 证明
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
1、进一步体会证明的含义；
2、探索并理解三角形内角和定理的几何证明；
3、通过一些简单命题的证明，训练学生的逻辑推理能力，进一步熟练证明的方法和表述；
4、体验从实验几何向推理几何的过渡.
02
新知导入
要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推出结论成立，这样的推理过程叫做证明 。
【问题1】证明的定义：
【问题2】我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.
除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢
还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？
03
新知探究
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接方法吗？
【探究】在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
新课探究
例3
证明 如图，过点A作直线MN∥BC，
则∠B=∠MAB(两直线平行，内错角相等）
同理，∠C=∠NAC.
∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠MAB+∠NAC=180°.
A
B
C
M
N
证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题.
已知：∠BAC，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
求证：∠BAC+∠B+∠C=180°.
03
新知讲解
已知：如图， △ABC.
求证：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°
证明: 作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则
还有其他证法吗？
∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等）
∠2＝∠Ｂ（两直线平行，同位角相等）
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°
∴∠Ａ+∠Ｂ+∠ACB＝180°
A
B
C
1
2
D
E
03
新知讲解
已知：如图， △ABC.
求证：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°
你还能想到其他证法吗？
证明：在BC上任取一点D，过D作DE//AB，作DF//AC。
A
B
C
∴∠1=∠B，∠2=∠C，∠DEC=∠A，
∵DE∥AB，∴∠3=∠DEC，
∴∠3=∠A，
∵∠1+∠2+∠3=180°
∴∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°
03
新知讲解
如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角.
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
由∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，
得∠ACD=∠A+∠B.
A
B
C
D
这是由三角形的内角和定理直接推理得到的一个推论.
推论也可以作为推理的依据.
03
新知讲解
∠2=∠A+ ∠B
不相邻内角
2
C
A
B
．
D
1
外角
相邻内角
说一说
∠2﹥∠A
∠2﹥∠B
03
新知讲解
例4 已知：如图，∠B+∠D=∠BCD.求证：AB∥DE.
A
B
C
D
E
F
分析 如图，延长BC，交DE于点F.
根据平行线的判定定理，只要证明∠B=∠CFD,或∠B+∠BFE=180°，就能证明AB∥DE.
03
新知讲解
证明 如图，延长BC，交DE于点F.
∵∠B+∠D=∠BCD(已知），
又∵∠BCD=∠D+∠CFD(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠B+∠D=∠D+∠CFD,
∴∠B=∠CFD. ∴AB∥DE(内错角相等，两直线平行）.
A
B
C
D
E
F
例4 已知：如图，∠B+∠D=∠BCD.求证：AB∥DE.
03
新知讲解
关于辅助线
(1)辅助线是为了证明需要在原图上添画的线；
(2)添加辅助线的过程需要写入证明中，通常画成虚线；
(3)添加辅助线，可构造新图形，其作用是把分散的条件集中，把隐含条件凸显出来，起牵线搭桥的作用.
03
新知讲解
归纳概念
证明几何命题时，表述格式一般是：
（1）按题意画出图形。
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论.
（3）在“证明”中写出推理过程.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是(　　)
A．∠HBA是△ABC的外角
B．∠HBG是△ABC的外角
C．∠DCE是△ABC的外角
D．∠GBA是△ABC的外角
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　)
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，在五角星图形中，
求：∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数．
解：如右图所示，
∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，
∴∠1=∠C+∠A+∠D，
又∵∠1+∠B+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案是：180°．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
4.星期天，小明见爸爸愁眉苦脸地在看一张图纸，他便悄悄地来到爸爸身边，想看爸爸为什么犯愁．爸爸见到他，高兴地对他说：“来帮我一个忙，你看这是一个四边形零件的平面图，它要求∠BDC等于140°才算合格．”小明通过测量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下结论说此零件不合格.于是爸爸让小明解释这是为什么？
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
小明很轻松地说出了原因，并用如下的两种方法解出此题．请你代小明分别说出不合格的理由．
①如图(1)，连结AD并延长；②如图(2)，延长CD交AB于E.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
分析：直接利用各个三角形中的外角和等于与它不相邻的两个内角和求解．
解：(1)∠BDC＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B＋∠C＝90°＋19°＋40°＝149°≠140°，故不合格；
(2)∠BDC＝∠1＋∠B＝∠A＋∠C＋∠B＝149°≠140°，故不合格．
05
课堂小结
1、三角形内角和定理的证明，证明思想是运用辅助线将原三角形处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.
2、三角形的外角性质，是由三角形的内角和定理直接推理得到的一个推论.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，在△ABC中，∠A＝50°，点E，F在AB，AC上，沿EF向内折叠△AEF得到△DEF，则∠1＋∠2等于(　　)
A．130° B．120°
C．65° D．100°
D
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
2.证明命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于360°”是真命题.
B
C
A
1
2
3
4
5
6
已知：如图，△ABC的三个内角分别为∠1、 ∠2、 ∠3，相对应的外角为∠4、 ∠5、 ∠6.
求证： ∠4+∠5+∠6=360°.
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
证明：∵ ∠1、 ∠2、 ∠3是△ABC的三个内角，
∴ ∠1+∠2+∠3=180°（三角形内角和定理）,
又∵∠4=∠2+∠3，∠5=∠1+∠3，∠6=∠1+∠2（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠4+∠5+∠6
=2（∠1+∠2+∠3）
=2×180°=360°.
B
C
A
1
2
3
4
5
6
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于O，∠BAC＝50°，∠C＝54°.求：∠AEB和∠AOB的度数．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：∵∠BAC＝50°，∠C＝54°，
∴∠ABC＝180°－∠C－∠BAC＝76°，
∵BE平分∠ABC，
在△ABE中，∠AEB＝180°－∠BAC－∠ABE
＝180°－50°－38°＝92°，
∵AD是高线，∠ABD＝76°，∴ ∠BAD＝14°.
在△OBA中，∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO.
∴∠AOB＝128°.
综上，∠AEB＝92°，∠AOB＝128°.
Thanks!
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