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题型突破02 全等三角形（考点清单+11大题型突破+通关专训）
考点清单
【清单01】全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
要点诠释：
1.对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。
2.找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
【清单02】全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；
②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
【清单03】全等三角形判定1——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
【清单04】全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【清单05】全等三角形判定3——“角边角”
全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
【清单06】全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
【清单07】判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
【清单08】判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”
定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
题型突破
【考点题型一】全等图形
【例1】下列图形与如图所示的图形全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等图形的定义，根据根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．即可解答．
【详解】解：根据全等的定义可得D和原图形全等，
故选：D．
【考点题型二】将已知图形切割成全等图形
【例2】把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，结合图形的对称性和互补性，利用面积相等以及图形全等分别分割即可．
【详解】解：分割线如图所示：
【变式2-1】如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了画全等图形，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义．
【详解】解：如图所示：
【考点题型三】全等三角形的概念与性质
【例3】如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得出答案．掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
【详解】解：如图所示：
，
∵两个三角形全等，
∴，
∴的度数为．
故选：A．
【变式3-1】如图，，和，和是对应边，则的对应角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键．
【详解】∵，
∴∠的对应角是，
故选：．
【变式3-2】如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】②④
【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角．
根据全等三角形的有关概念，即可求解．
【详解】解：∵，
∴与是对应边，故①错误；
与是对应边，故②正确；
与是对应角，故③错误；
与是对应角，故④正确．
所以正确的有②④．
故答案为：②④
【变式3-3】已知，的三边长分别为、、，的三边长分别为、、．若的三边长均为整数，则的最大值为 ．
【答案】25
【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键，根据全等三角形对应边相等可得、中有一边为，、有一边为，剩下的两边相等，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长的边，然后相加即可．
【详解】解：，
、中有一边为，
、中有一边为，
、与、中剩余两边相等，
，
两三角形剩余两边最大为，
的最大值为：．
故答案为∶．
【变式3-4】如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为．当与全等时，x的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可．
【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，，
∴，，，
∵，
∴当与全等时，有两种情况：
①当时，
，
，，
解得，；
②当时
，，
解得，，
综上所述，x的值是或，
故答案为：或．
【考点题型四】全等三角形的四种直接判定方式
【例4】如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由得出，再利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：如图：
，
∵，
∴，
∴．
【变式4-1】如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结．
(1)求的度数．
(2)试说明：．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据得出，进而根据三角形外角的性质可得出答案；
（2）证明，根据全等三角形的性质即可得出．
【详解】（1）解：．
．
，
；
（2）证明：在中，，，
．
．
在和中，
，
，
．
【变式4-2】如图，点A，F，C，D在同一直线上，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先证明，再证明，最后证明全等即可．
本题考查了平行线的性质，等式性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：，
，
，
，
即，
在和中，
．
【变式4-3】如图，中，，延长到点，过点作于点E，与交于点，若．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是：
（1）利用证明即可得证；
（2）利用等式性质证明，再利用证明，得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴．
【考点题型五】直角三角形全等的判定
【例5】如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到 平分，，则，即可证明，则，即可得到的长．
，通过等边代换计算即可．
【详解】连接，如图：
∵垂直平分，
∴
又∵平分，，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：
【变式5-1】已知：如图，中，D是中点，垂足为E，垂足为F，且，求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．由点是中点，可得，再证明可得，然后根据等角对等边可得即可证明结论．
【详解】证明：∵D是中点，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即是等腰三角形．
【变式5-2】如图，在中，，于点D，平分交于点E，交于点F，过点E作，交AB于点G，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)10
【分析】（1）根据，，得到得到即可证明．
（2）根据平分，且，继而得证．
（3）先证明，再判定线段垂直平分线，利用三角形面积公式解答即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵平分，且，，
∴．
（3）解：∵
∴．
∴．
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式5-3】如图，中，，于点D．
(1)求证：；
(2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
（1）由“”即可证；
（2）由直角三角形的性质可得，，从而得出，再由“”可证，可得，再证明即可得结论．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
【考点题型六】一线三等角模型证明全等
【例6】综合与实践：
在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D．
(1)问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________．
(2)探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系．
【答案】(1)；(2)，理由见解析(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型是解答本题的关键．
（1）根据证明，得，，进而可证；
（2）过点B作于点H，根据证明，得，由三线合一得，进而可得；
（3）如图3，作于点H，作，作于点F，作于点E，可证四边形和四边形都是矩形，从而，．结合，可证；如图4，作于点H，由，，得，，进而可证．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：，；
（2）
理由如下：过点B作于点H，如图，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3，作于点H，作，作于点F，作于点E，
∴四边形和四边形都是长方形，
∴，．
由（1）知，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图4，作于点H，
由（1）知，，，
∴，
∵，
∴．
【变式6-1】模型的发现：
如图
(1)如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系；
(2)模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明；
(3)模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明．
【答案】(1)(2)，见详解(3)结论成立，见详解
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质．
（1）利用AAS证明，由三角形全等的性质即可得出，再根据图中线段的关系即可得出结论；
（2）通过证明得到，进一步得到即可求解；
（3）通过证明得到，进一步得到．
【详解】（1）解：
理由如下：∵
∴
在和中
∴（AAS）
∴
∴
（2）解：
证明如下：∵
∴
∵
∴
在和中
∴（AAS）
∴
∴
（3）（1）的结论成立，
理由如下：∵
∴
在和中
∴（AAS）
∴
∴
【考点题型七】倍长中线证明全等
【例7】【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____．
【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，．
请你补全余下的证明过程．
【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ．
【答案】（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3）
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由“”可证 ，可得，由三角形的三边关系可求解；
（2）由“”可证 ，可得，，由“”可证，可得，即可求解；
（3）由（2）可知，，由三角形的三边关系可求解．
【详解】（1）解：如图②，为的中线，
，
又，，
，
，
在中，，，，
，
，
故答案为：，；
（2）证明：如图④，延长至点，使，连接，
点是的中点，
．
，，
，
，，
，
，
，
∴ ，
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）如图⑤，连接，，
由（2）可知：，，
，，
，，
，
，
故答案为：．
【变式7-1】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
【探究发现】
（1）如图①，与的数量关系是 ，位置关系是 ；
【初步应用】
（2）如图②，在中，若，，求边上的中线的取值范围；
【探究提升】
（3）如图③，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．
【答案】（1），，（2）；（3），，理由见解析
【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出；
（2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论．
【详解】解：（1）是的中线，
，
在和中，，
，
，，
，
（2）如图2，延长到，使，连接，
由（1）可知，，
，
在中，，
，
即，
，
即边上的中线的取值范围为；
（3），，理由如下：
如图3，延长到，使得，连接，
由（1）可知，，
，
，
，
由（2）可知，，
，
、，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线．
【考点题型八】截长补短模型证明全等
【例8】阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．
如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．
【答案】（1）2；（2）4
【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC的面积即可；
（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，由（1）易证，则有FK=FH，因为HM=GH+MN易证，故可求解．
【详解】（1）由题意知，
故答案为2；
（2）延长MN到K，使NK=GH，连接FK、FH、FM，如图所示：
FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，
∠FNK=∠FGH=90°， ，
FH=FK，
又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，
，
MK=FN=2cm，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用．
【变式8-1】现阅读下面的材料，然后解答问题：
截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．
请用截长法解决问题（1）
（1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：．
请用补短法解决问题（2）
（2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得；
（2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证．
【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接，
∵是角平分线，
∴
在和中
∴
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（2）如图2，延长到，使，连接，
∵是的角平分线，
∴
在和中
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【考点题型九】手拉手模型证明全等
【例9】在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
(1)观察猜想
如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ；
(2)类比探究
如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由；
(3)解决问题
运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米．
【答案】(1)；；(2)，理由见解析；(3)米．
【分析】（）证即可证出，再根据“”字型得；
（）先 证，再证，最后通过线段和差即可得证；
（）按照前问思路构造“手拉手模型”全等，作，使，连接，则为等腰直角三角形，证明，则，最后利用勾股定理求即可；
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键．
【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形,
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
设与交于点，与交于点，
∵，
∴，
∴；
故答案为：，；
（2），理由如下：
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，
∵
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，作，使，连接，则为等腰直角三角形，
同（）同理可证：，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴（米），
∴米，
故答案为：．
【变式9-1】如图1，已知和都是等腰三角形，点和点分别在和上，，易知和的数量关系是．
(1)观察猜想
若，将绕点旋转到如图2所示的位置，连结和，猜想和的数量关系是，请说明理由；若延长和交于点，则______；
(2)类比探究
若，将绕点旋转到如图3所示的位置，连结和交于点和的数量关系为______，则______；
(3)拓展应用
如图3，在“类比探究”的条件下，已知，若连结和，则四边形的面积是______．
【答案】(1)理由见解析；60(2)；90(3)
【分析】（1）证明，，，根据三角形内角和，即可求解，
（2）证明，，，根据三角形内角和，即可求解，
（3）由，，得到，整理代入厚即可求解，
本题考查了，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】（1）解：长和交于点P，
∵，
即，
在和中，，，，
∴，
∴，，
∴
故答案为：60；
（2）解：∵，
即，
在和中，，，，
∴，
∴，，
∴
故答案为：；90，
（3）解：∵，，
∴，
故答案为：8．
【考点题型十】半角模型证明全等
【例10】阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．
【问题背景】
如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________．
【探索延伸】
如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】
【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解．
【详解】解：【问题背景】，理由如下，
如图所示，
∵，，
∴将绕点逆时针旋转得，与重合，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴点共线，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
【初步探索】根据题意，，延长至点，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【探索延伸】仍然成立，理由如下，
如图所示，延长至点，使得，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
∴，且，
∴；
【变式10-1】如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．
(1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________；
(2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由．
(3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析
(3)结论不成立，应当是，理由见解析
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．
（1）如图中，延长到，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．
（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．
【详解】（1）解：如图中，延长到G，使，连接，
，，
．
．
．
．
又，
，
，
．
．
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论仍然成立．
证明：如图中，延长至M，使，连接．
，，
，
在与中，
，
．
．
，
．
，即．
在与中，，
．
，即，
．
（3）解：结论不成立，应当是．
证明：如图中，在上截取，使，连接．
，，
．
在与中，
．
．
．
．
，
∴．
，
，
．
【考点题型十一】角平分线模型证明全等
【例11】综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线．
【验证】（1）试说明平分，且；
【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分；
【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析，或
【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
（1）先证明，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论；
（2）先证明，可得，由（1）可得平分；
（3）过点分别作于，于，分两种情况进行求解即可．
【详解】解：（1），，，
，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
即，
射线平分；
（2），
，
，
，
，
由（1）可得平分；
（3）补全图形如下，过点分别作于，于，
是的平分线，
，，
当时，
在和中，
，
，
；
当时，
同理得，
；
，
，
综上所述，与的数量关系为或；
【变式11-1】如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．
(1)求证：平分
(2)如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
（1）根据是的角平分线和，为边上的高，可得，由得，即可证明；
（2）过点E作于点M，于点N，由角平分线性质可以得，由与的面积相等可得，证明，得出，，
即可得出，再根据垂直模型证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵为边上的高，即，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：平分．
（2）过点E作于点M，于点N，
平分，且，，
．
，
，
平分，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
为边上的高，
，
，
．
在和中，
．
.
通关专训
1．下列各组给出的两个图形中，全等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等形的定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形．根据全等形的形状相同、大小相等逐项分析即可．
【详解】解：选项A、B、D中的两个图形的形状不一样，不是全等形，故不符合题意；
选项C中的两个图形能够完全重合，是全等形，故符合题意；
故选：C．
2．如图所示，平移得到，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理，根据平移的性质可得，即可得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：∵平移得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
3．在下列各组的条件中，不能判定和全等的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法：，还有直角三角形的，是解题的关键．利用全等三角形的判定方法逐一进行判断．
【详解】解：如图，
A、由，，，利用即可证明和全等；
B、由，，，利用即可证明和全等；
C、由，，，利用即可证明和全等；
D、由，，无法证明和全等，
故选：D．
4．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了全等三角形的应用．根据全等三角形判定的“”定理即可证得．
【详解】解：，点，分别是，的中点，
，
在和中，
．
，
故选：D．
5．如图，在中，，，平分，，，则的面积为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．7
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式进行计算．
【详解】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
．
故选：D
6．一块三角形玻璃板不慎被小强同学碰破，成了如图所示的四块，聪明的小强经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃板，你认为可行的方案是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以 B．带 ①②或②③去就可以了
C．带 ①④ 或③④去就可以了 D．带①④或①③去就可以了
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，分别利用全等三角形的判定方法逐项判断即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键．
【详解】解：①④或③④都能构成已知两角及夹边，可以确定唯一的三角形．
故选C．
7．如图，已知方格纸中是个相同的小正方形，则的度数为（ ）°
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得与的和为.
【详解】解：在和中，
，
，
，
，
故选：C；
8．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和37，则的面积为（ ）
A．11 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，和全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
是的角平分线，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
和的面积分别为48和37，
，
．
故选：B．
9．如图，要测量池塘两岸相对的两点、间的距离，作线段与相交于点，使，，只要测得、之间的距离，就可知道、间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（填、、、中的一种） ．
【答案】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
根据证明即可得到．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵
∴，
∴，
故答案为：．
10．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点E，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长，过点作于点，作于点，作于点，然后证明是的平分线，再求出的度数，进而可得的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质．
【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点，
，的外角的平分线与内角平分线交于点，
，，
，
是的平分线，
平分，平分，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
11．如图，在中，，，是过A点的一条直线，且点B，C在两侧，于点D，于点E，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得出，，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：∵于点D，于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．如图，，，，垂足分别为，，则图中全等三角形有 对．
【答案】3
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是明确全等三角形的判定方法：，，，．根据题意和题目中的条件，全等三角形的判定方法，可以写出全等的三角形，本题得以解决．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，，
；
，
，
，，
；
，，，
；
由上可得，图中全等三角形共有3对，
故答案为：3．
13．如图，在中，于点，于点，，交于点，，若，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，能根据全等三角形的性质求出是解此题的关键．
根据全等三角形的性质得出，求出，再根据三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．如图所示是一个的正方形，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键．
由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可．
【详解】解：根据全等三角形的性质可知，
与的余角相等，也就是与互余，
同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又，
、、、、、、，
．
15．如图，请沿图中的虚线，用三种不同的方法将下列图形分割为两个全等图形．
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的定义是解题关键．直接利用图形形状分成全等的两部分即可．
【详解】如图所示：
16．如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点．
(1)表示这两个三角形全等；
(2)写出对应边及对应角．
【答案】(1)
(2)与，与，与；与，与，与
【分析】本题主要考查全等三角形的对应边，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
（1）根据题意写出全等三角形即可；
（2）根据全等三角形的表示找出对应边与对应角．
【详解】（1）解：点与点，点与点是对应顶点，
；
（2）解： ，
故与，与，与为对应边；与，与，与为对应角．
17．如图，，点、分别在、上，，、垂足分别为、，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了两个直角三角形全等的判定方法的运用，即：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．根据判定两个三角形全等的方法“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”可证，从而得出，进而可证得，从而得出．
【详解】证明：，，
和是直角三角形，
在和中，
，
．
．
又，
；
．
在和中，
，
．
．
18．如图，在中，点D为的中点， ，，．
(1)若点P 在线段上以的速度从点B 向终点C 运动，同时点Q 在线段上从点 C 向终点 A运动．
①若点 Q 的速度与点 P 的速度相等，经 1 s 后， 请说明 ；
②若点Q的速度与点P 的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使；
(2)若点P以的速度从点B 向点C运动，同时点Q以的速度从点C向点A 运动，它们都依次沿的三边运动，则经过多长时间，点 Q 第一次在 的哪条边上追上点P？
【答案】(1)① 见解析；②
(2)经过10s，点 Q第一次在 边上追上点 P
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用路程=速度时间公式，能够分析出追及相遇的问题中得路程关系．
（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边长，根据判定两个三角形全等即可；
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度即可；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点的速度快，且在点的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点多走等腰三角形的两个腰长即可．
【详解】（1）① ∵，，
∴ ．
∵点 D 为 的中点，
∴
∵，
∴．
在和 中，
，
∴．
② 设点 Q 的运动时间为t ，运动速度为 ．
∵，
∴，．
∴
∴
（2）设经过x 后，点Q第一次追上点P．
由题意，得．
解得．
∴点 P 运动的路程为．
∵，
∴此时点 P 在边上，
∴经过10 ，点 Q第一次在边上追上点 P．
19．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键：
（1）根据两直线平行内错角相等推出，由此根据证明，即可证得；
（2）根据全等三角形的性质得到，再根据等边对等角及三角形的内角和求出的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
20．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：；
（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）延长至M，使得，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．可得出，，那么．
【详解】证明：（1）延长至M，使得，连接，
，，
在与中
，
，
，，
，
在与中
，
，
，
，
即；
（2）线段、、之间的数量关系是，
在上截取，连接，
，，，
，
在与中
，
，
， ，
又∵，
，
在与中
，
，
，
∵，
∴．
【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．中小学教育资源及组卷应用平台
题型突破02 全等三角形（考点清单+11大题型突破+通关专训）
考点清单
【清单01】全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
要点诠释：
1.对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。
2.找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
【清单02】全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；
②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
【清单03】全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
【清单04】全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【清单05】全等三角形判定3——“角边角”全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
【清单06】全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
【清单07】判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
【清单08】判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”
定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
题型突破
【考点题型一】全等图形
【例1】下列图形与如图所示的图形全等的是（ ）
A． B． C． D．
【考点题型二】将已知图形切割成全等图形
【例2】把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形．
【变式2-1】如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．
【考点题型三】全等三角形的概念与性质
【例3】如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】如图，，和，和是对应边，则的对应角是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）
【变式3-3】已知，的三边长分别为、、，的三边长分别为、、．若的三边长均为整数，则的最大值为 ．
【变式3-4】如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为．当与全等时，x的值为 ．
【考点题型四】全等三角形的四种直接判定方式
【例4】如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式4-1】如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结．
(1)求的度数．
(2)试说明：．
【变式4-2】如图，点A，F，C，D在同一直线上，，．求证：．
【变式4-3】如图，中，，延长到点，过点作于点E，与交于点，若．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
【考点题型五】直角三角形全等的判定
【例5】如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ．
【变式5-1】已知：如图，中，D是中点，垂足为E，垂足为F，且，求证：是等腰三角形．
【变式5-2】如图，在中，，于点D，平分交于点E，交于点F，过点E作，交AB于点G，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求四边形的面积．
【变式5-3】如图，中，，于点D．
(1)求证：；
(2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：．
【考点题型六】一线三等角模型证明全等
【例6】综合与实践：
在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D．
(1)问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________．
(2)探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系．
【变式6-1】模型的发现：
如图
(1)如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系；
(2)模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明；
(3)模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明．
【考点题型七】倍长中线证明全等
【例7】【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____．
【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，．
请你补全余下的证明过程．
【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ．
【变式7-1】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
【探究发现】
（1）如图①，与的数量关系是 ，位置关系是 ；
【初步应用】
（2）如图②，在中，若，，求边上的中线的取值范围；
【探究提升】
（3）如图③，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由．
【考点题型八】截长补短模型证明全等
【例8】阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．
如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN的面积．
【变式8-1】现阅读下面的材料，然后解答问题：
截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．
请用截长法解决问题（1）
（1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：．
请用补短法解决问题（2）
（2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：．
【考点题型九】手拉手模型证明全等
【例9】在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：
(1)观察猜想
如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ；
(2)类比探究
如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由；
(3)解决问题
运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米．
【变式9-1】如图1，已知和都是等腰三角形，点和点分别在和上，，易知和的数量关系是．
(1)观察猜想
若，将绕点旋转到如图2所示的位置，连结和，猜想和的数量关系是，请说明理由；若延长和交于点，则______；
(2)类比探究
若，将绕点旋转到如图3所示的位置，连结和交于点和的数量关系为______，则______；
(3)拓展应用
如图3，在“类比探究”的条件下，已知，若连结和，则四边形的面积是______．
【考点题型十】半角模型证明全等
【例10】阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．
【问题背景】
如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________．
【探索延伸】
如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【变式10-1】如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．
(1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________；
(2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由．
(3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【考点题型十一】角平分线模型证明全等
【例11】综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线．
【验证】（1）试说明平分，且；
【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分；
【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系．
【变式11-1】如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．
(1)求证：平分
(2)如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：
通关专训
1．下列各组给出的两个图形中，全等的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示，平移得到，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．在下列各组的条件中，不能判定和全等的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
4．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，平分，，，则的面积为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．7
6．一块三角形玻璃板不慎被小强同学碰破，成了如图所示的四块，聪明的小强经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃板，你认为可行的方案是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以 B．带 ①②或②③去就可以了
C．带 ①④ 或③④去就可以了 D．带①④或①③去就可以了
7．如图，已知方格纸中是个相同的小正方形，则的度数为（ ）°
A． B． C． D．
8．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和37，则的面积为（ ）
A．11 B． C．6 D．
9．如图，要测量池塘两岸相对的两点、间的距离，作线段与相交于点，使，，只要测得、之间的距离，就可知道、间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（填、、、中的一种） ．
10．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点E，若，则 ．
11．如图，在中，，，是过A点的一条直线，且点B，C在两侧，于点D，于点E，，，则 ．
12．如图，，，，垂足分别为，，则图中全等三角形有 对．
13．如图，在中，于点，于点，，交于点，，若，，则的面积为 ．
14．如图所示是一个的正方形，求的度数．
15．如图，请沿图中的虚线，用三种不同的方法将下列图形分割为两个全等图形．
16．如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点．
(1)表示这两个三角形全等；
(2)写出对应边及对应角．
17．如图，，点、分别在、上，，、垂足分别为、，且．求证：．
18．如图，在中，点D为的中点， ，，．
(1)若点P 在线段上以的速度从点B 向终点C 运动，同时点Q 在线段上从点 C 向终点 A运动．
①若点 Q 的速度与点 P 的速度相等，经 1 s 后， 请说明 ；
②若点Q的速度与点P 的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使；
(2)若点P以的速度从点B 向点C运动，同时点Q以的速度从点C向点A 运动，它们都依次沿的三边运动，则经过多长时间，点 Q 第一次在 的哪条边上追上点P？
19．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：；
（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论．
