中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.4 全等三角形
1.能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边和对应角；
2.熟练运用全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质解决几何问题；
3.理解全等三角形的对应高、中线、角平分线相等（拓展），且周长和面积相等；
4.通过平移、翻折、旋转等变换，理解全等三角形性质与图形位置变化的关系。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点01 全等图形的概念 2
考点02 将已知图形分割成几个全等图形 4
考点03 全等三角形的对应元素的判断 6
考点04 全等三角形的概念与性质 7
考点05 全等三角形的性质-动点问题 8
考点06 运用全等三角形的性质求角度 10
考点07 运用全等三角形的性质求边长（周长） 12
考点08 运用全等三角形的性质作多结论判断 13
考点09 运用全等三角形的性质证明 14
考点10 运用全等三角形的性质探究边角关系 15
模块3：培优训练 18
1. 全等图形：能够 的两个图形叫做全等图形。
注意：1）全等图形的形状 ，大小 ，与图形所在的位置无关。
2）两个全等形的面积一定 ，但面积相等的两个图形 是全等图形。
3）一个图形经过 、 、 后，位置变化了，但 、 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
2. 全等三角形：能够 的两个三角形叫做全等三角形。
3. 全等三角形中的对应元素：两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫作全等三角形的 ，互相重合的边叫作全等三角形的 ，互相重合的的角叫作全等三角形的 。
4. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。
注意：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。
5. 全等三角形的性质
全等三角形的 相等；全等三角形的 相等；
拓展：全等三角形对应边上的高 ，对应边上的中线 ，对应角的角平分线 ；全等三角的周长 ，面积 。全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具。
考点01 全等图形的概念
例1.（24-25八年级上·江苏南京·期中）下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A． B．C． D．
变式3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形
C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形
考点02 将已知图形分割成几个全等图形
例1．（24-25八年级上·浙江·专题练习）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．”
理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形．
范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法．
要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来．
（请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑）
变式1.（24-25七年级下·重庆·专题练习）手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试．
变式2.（24-25八年级上·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺画图：
(1)将图1中的长方形分割成4个全等图形；(2)将图2中的直角三角形分割成4个全等三角形；
变式3.（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：
考点03 全等三角形的对应元素的判断
例1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是 ，的对应角是 ．
变式1.（24-25八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（ ）
A． B． C． D．
变式3.（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图所示，，C，D是对应点，下列结论错误的是（ ）
A．与是对应角 B．与是对应角C．与是对应边 D．与是对应边
考点04 全等三角形的概念与性质
例1．（24-25八年级上·浙江·期中）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等
变式1.（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的有( )
①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2.（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形全等 B．三角形的三条高都在三角形内部
C．全等三角形的中线相等 D．全等三角形的对应高相等
变式3.（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等
C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等
考点05 全等三角形的性质-动点问题
例1．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度．
变式1．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为 米．
考点06 运用全等三角形的性质求角度
例1．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，，若，，，则的度数为 °．
变式1．24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
变式3．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图已知点在上， 点在上，．若， 则（ ）
A． B． C． D．
考点07 运用全等三角形的性质求边长（周长）
例1．（24-25八年级上·浙江丽州·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ．
变式1．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
变式2．（24-25八年级上·重庆万州·期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A．3 B．7 C．10 D．13
变式3．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，，若，则等于（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
考点08 运用全等三角形的性质作多结论判断
例1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，，是中，上的点，，，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
变式1．（2025·天津西青·一模）如图，在中，，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点09 运用全等三角形的性质证明
例1．（2025七年级下·成都·专题练习）如图，A，D，E三点在同一直线上，且．
(1)求证：；(2)请你猜想满足什么条件时，．
变式1．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图：在中，、分别是、两边上的高．
(1)求证：；(2)当时，与的位置关系如何，请说明理由．
考点10 运用全等三角形的性质探究边角关系
例1．（24-25八年级上·河南焦作·阶段练习）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
变式1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2025七年级下·广东·专题练习）如图，已知，，与交于点，试探究与有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由．
变式3．（24-25七年级下·河北·阶段练习）如图所示，已知于点，．
(1)若，，求的长．(2)试判断和的关系，并说明理由
变式4．（24-25七年级下·成都·期中）如图所示，已知于D．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．(2)已知，求的长．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25八年级上·天津河西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形
C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形
3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）若，且的周长为15，，，则的长为（ ）
A．4或5 B．5 C．4 D．6
5．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．以上都有可能
6．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB＝8cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为( )
A．3 B．5 C．9 D．3或9
7．（24-25七年级下·浙江·期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长都相等，若，则点可能是图中的（ ）
A．点A B．点B C．点 D．点
8．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）4月6日，以“筝春色，享春趣”为主题的2025龙亭风筝大赛在开封龙亭公园举行，吸引了无数游客与风筝爱好者共赴这场春日盛宴．如图是小雪制作的风筝模型，已知，且，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
9．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，且，，三点在一条直线上，，，，下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，，，三点共线，则下列结论中：①； ②；③；④；正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，点B、C、D在同一直线上，若，则 ．
12.（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ．
13.（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ．
14．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数等于 ．
15．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ．
16．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形．
18．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知，点在同一直线上．(1)若，，求的度数；(2)若，点是的中点，求的长．
20．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，连接，与交于点，，，．(1)求的度数；(2)求的度数．
21．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E．(1)试说明：．(2)若，，求的长．
22．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且．(1)求证：是等腰直角三角形；(2)若，，求四边形的面积．
23．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，A，E，C三点在同一直线上，且．
(1)求证：；(2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想．
24．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.4 全等三角形
1.能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边和对应角；
2.熟练运用全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质解决几何问题；
3.理解全等三角形的对应高、中线、角平分线相等（拓展），且周长和面积相等；
4.通过平移、翻折、旋转等变换，理解全等三角形性质与图形位置变化的关系。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点01 全等图形的概念 2
考点02 将已知图形分割成几个全等图形 4
考点03 全等三角形的对应元素的判断 6
考点04 全等三角形的概念与性质 7
考点05 全等三角形的性质-动点问题 8
考点06 运用全等三角形的性质求角度 10
考点07 运用全等三角形的性质求边长（周长） 12
考点08 运用全等三角形的性质作多结论判断 13
考点09 运用全等三角形的性质证明 14
考点10 运用全等三角形的性质探究边角关系 15
模块3：培优训练 18
1. 全等图形：能够 完全重合 的两个图形叫做全等图形。
注意：1）全等图形的形状 相同 ，大小 相等 ，与图形所在的位置无关。
2）两个全等形的面积一定 相等 ，但面积相等的两个图形 不一定 是全等图形。
3）一个图形经过 平移 、 翻折 、 旋转 后，位置变化了，但 形状 、 大小 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
2. 全等三角形：能够 完全重合 的两个三角形叫做全等三角形。
3. 全等三角形中的对应元素：两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫作全等三角形的 对应顶点 ，互相重合的边叫作全等三角形的 对应边 ，互相重合的的角叫作全等三角形的 对应角 。
4. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。
注意：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。
5. 全等三角形的性质
全等三角形的 对应边 相等；全等三角形的 对应角 相等；
拓展：全等三角形对应边上的高 相等 ，对应边上的中线 相等 ，对应角的角平分线 相等 ；全等三角的周长 相等 ，面积 相等 。全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具。
考点01 全等图形的概念
例1.（24-25八年级上·江苏南京·期中）下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意得，与题中图片形状、大小都相同的全等图形的是D，故选：D．
变式1.（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；
D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；故选：C．
变式2.（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】观察发现：B，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；
A选项中两个图形能完全重合，是全等形，故选：A．
变式3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形
C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形
【答案】D
【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A错误，故不符合要求；
若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B错误，故不符合要求；
两个等边三角形不一定是全等图形，C错误，故不符合要求；
能够完全重合的两个图形是全等图形，D正确，故符合要求；故选：D．
考点02 将已知图形分割成几个全等图形
例1．（24-25八年级上·浙江·专题练习）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．”
理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形．
范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法．
要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来．
（请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑）
【答案】见解析（答案不唯一）
【详解】解：如图所示：
（答案不唯一）．
变式1.（24-25七年级下·重庆·专题练习）手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试．
【答案】见详解
【详解】解：先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，可以分别得出下图所示的四种分法：
变式2.（24-25八年级上·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺画图：
(1)将图1中的长方形分割成4个全等图形；(2)将图2中的直角三角形分割成4个全等三角形；
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：如图1所示为所求：
（2）解：如图2所示为所求：
变式3.（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：
【答案】见解析
【详解】解：如图所示：
考点03 全等三角形的对应元素的判断
例1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是 ，的对应角是 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，，
∴的对应边是，的对应角是．故答案为：，．
变式1.（24-25八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：观察图形可知：，，∴和是对应边，
而显然和是两个三角形中最短的边，是对应边， ∴边的对应边为．故选D．
变式2.（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴的对应角是，故选：B．
变式3.（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图所示，，C，D是对应点，下列结论错误的是（ ）
A．与是对应角 B．与是对应角C．与是对应边 D．与是对应边
【答案】C
【详解】解：∵，∴，，，
∴选项正确，不符合题意，故选：C．
考点04 全等三角形的概念与性质
例1．（24-25八年级上·浙江·期中）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等
【答案】B
【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意；
B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意；
D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意．故选：B．
变式1.（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的有( )
①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误；全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确；
若，的对应角为，所以，故④说法正确；
说法正确的有③④，共2个．故选：B．
变式2.（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形全等 B．三角形的三条高都在三角形内部
C．全等三角形的中线相等 D．全等三角形的对应高相等
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高、全等三角形的中线和三角形的外角，根据以上定义逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．
【详解】解：、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意；
、三角形的三条高可能在三角形的内部、外部或边上，该选项说法错误，不合题意；
、全等三角形的对应中线相等，该选项说法错误，不合题意；
、全等三角形的对应高相等，是真命题，符合题意；故选：D．
变式3.（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等
C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等
【答案】B
【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意；B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意；
C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意；
D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意．故选：B．
考点05 全等三角形的性质-动点问题
例1．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度．
【答案】的长度为或
【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动，
∴点从的时间为，
∵它们运动的时间为，∴，，则，
当时，∴，∴，解得，，∴；
当时，∴，∴，解得，，∴；
综上所述，的长度为或．
变式1．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，，
设能够使与全等的时间为，则，，，
分两种情况考虑：①时，，即，解得，
此时，时能够使与全等；
②，，即，解得，
此时，，即，与矛盾（舍去）；
综上，能够使与全等的时间为．故选：．
变式2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为 米．
【答案】或/24或45
【详解】解：根据题意，设运动时间为，则，，
①点是中点，时，，，
∵，∴，∴，∴；
②时，，，∴，即，解得，，
∴；综上所述，线段的长度为或，故答案为：或．
考点06 运用全等三角形的性质求角度
例1．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，，若，，，则的度数为 °．
【答案】
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，
∵，∴，，
∴，∴．故答案为：．
变式1．24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，，，
，故选：A．
变式2．（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
∴，∴．故选B．
变式3．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图已知点在上， 点在上，．若， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，，，，，，
，，
在中，由三角形内角和定理可得，
，，
∴，，
∴．故选：A．
考点07 运用全等三角形的性质求边长（周长）
例1．（24-25八年级上·浙江丽州·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，，
∴的周长，
∵，，∴的周长为．故答案为：．
变式1．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【答案】B
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，故选：B．
变式2．（24-25八年级上·重庆万州·期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A．3 B．7 C．10 D．13
【答案】B
【详解】∵，∴，，
∵，∴，∴．故选：B．
变式3．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，，若，则等于（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，∴，故选：C
考点08 运用全等三角形的性质作多结论判断
例1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，，是中，上的点，，，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【详解】解：，，，，，故①④正确；
，，，，，
，故②③正确；
综上，正确的有①②③④，共个，故选：A．
变式1．（2025·天津西青·一模）如图，在中，，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由已知得：，则，
∵，并没有必然的相等关系，找不到能证明两边相等的依据，∴故A错误；
∵绕点顺时针旋转得到，，
但与并没有必然的相等关系，找不到能证明两角相等的依据，∴故B错误；
由已知得：，则，，∴，故C错误；
∵，∴．又∵，∴，
∴，∴，故D正确．故选：D．
考点09 运用全等三角形的性质证明
例1．（2025七年级下·成都·专题练习）如图，A，D，E三点在同一直线上，且．
(1)求证：；(2)请你猜想满足什么条件时，．
【答案】(1)见解析(2)满足时，．
【详解】（1）证明：∵，∴，，
∵A，D，E三点在同一直线上，∴，∴；
（2）解：当时，，
∵，∴，∴∴．
变式1．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图：在中，、分别是、两边上的高．
(1)求证：；(2)当时，与的位置关系如何，请说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见详解
【详解】（1）解：∵、分别是、两边上的高．∴，
∵，∴∴；
（2）解：，理由如下：∵，∴，
∵是两边上的高．∴，∴，
即，∴，∴．
考点10 运用全等三角形的性质探究边角关系
例1．（24-25八年级上·河南焦作·阶段练习）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
(1)线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
【答案】(1)DE＝CE+BC，理由见解析(2)当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．证明见详解
【详解】（1）解：DE＝CE+BC．理由：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC，DE＝AC．
∵A，E，C三点在同一直线上，∴AC＝AE+CE，∴DE＝CE+BC．
（2）猜想：当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．
证明：∵△ABC≌△DAE，∴∠AED＝∠C，又∵DEBC，∴∠C＝∠DEC，∴∠AED＝∠DEC．
又∵∠AED+∠DEC＝180°，∴∠AED＝∠DEC＝90°，∴当△ADE满足∠AED＝90°时，DEBC．
变式1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，，
∴，∴，
∵，∴，∴，整理得，故选：B．
变式2．（2025七年级下·广东·专题练习）如图，已知，，与交于点，试探究与有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由．
【答案】且，理由见详解
【详解】解：且，理由如下：
，，设与交于点，
，，，，
，，即．
变式3．（24-25七年级下·河北·阶段练习）如图所示，已知于点，．
(1)若，，求的长．(2)试判断和的关系，并说明理由
【答案】(1)3(2)，，理由见解析
【详解】（1）解：∵，∴， ，
∵，，∴，∴；
（2）∵∴，，
∵，∴ ∴∴，且．
变式4．（24-25七年级下·成都·期中）如图所示，已知于D．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)已知，求的长．
【答案】(1)，理由见解析 (2)3
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，∴，∵，∴，
又∵，，
∴，即。
（2）解：∵，∴，，
∵，，∴，∴，∴．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；
C、两个图形能完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；故选：C．
2．（24-25八年级上·天津河西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形
C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形
【答案】D
【详解】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意；故选：D．
3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】B
【详解】解：由得：①与是对应边，故①不符合题意；
②与是对应边，故②符合题意；③与是对应角，故③符合题意；
④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意；
故正确的有②③，故选：B．
4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）若，且的周长为15，，，则的长为（ ）
A．4或5 B．5 C．4 D．6
【答案】D
【详解】解：如图，的周长为15，，，
，，故选：D．
5．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】A
【详解】解：由图可知：是边长为的边的一个邻角，∵两个三角形全等，∴；故选A．
6．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在正方形ABCD中，AB＝8cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为( )
A．3 B．5 C．9 D．3或9
【答案】D
【详解】解：如图甲所示，当时，，即，解得，
如图甲所示，当时，即，解得，故选：D．
图甲 图乙
7．（24-25七年级下·浙江·期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长都相等，若，则点可能是图中的（ ）
A．点A B．点B C．点 D．点
【答案】D
【详解】解：∵，∴因点M、P在方格正方形的两个对角顶点上，故点M、Q也应在方格正方形的两个对角顶点上．所以点Q是图中点D的位置，如下图：故选：D．
，
8．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）4月6日，以“筝春色，享春趣”为主题的2025龙亭风筝大赛在开封龙亭公园举行，吸引了无数游客与风筝爱好者共赴这场春日盛宴．如图是小雪制作的风筝模型，已知，且，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
【答案】D
【详解】解∶∵，，∴，，
∵，∴，故选∶D．
9．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，且，，三点在一条直线上，，，，下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
，，，，故选项C正确，不符合题意；
，；故选项A正确，不符合题意；
，，
故选项D错误，符合题意；故选项B正确，不符合题意；故选：D．
10．（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，，，三点共线，则下列结论中：①； ②；③；④；正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】延长交于H，延长交于F，
∵，∴
∴，
∴，∴故①②正确，
∴，故③是错误的，
∵，∴，故④是正确的，故选：C
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，点B、C、D在同一直线上，若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，，
∴，∴，故答案为：．
12.（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ．
【答案】或或
【详解】解：∵，∵，
∴当时，，，
∴点重合，点在点右侧，此时，，∴，解得：；
当时，，
当点在点左侧时，此时，，∴，解得：；
当点在点右侧时，此时，，∴，解得：；
综上：则t的值为或或时，与以点，，为顶点的三角形全等，故答案为：或或．
13.（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴．故答案为：．
14．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数等于 ．
【答案】/度
【详解】解：∵∴，
∴
由题意可得，，
又∵∴故答案为；
15．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ．
【答案】7
【详解】解：∵，∴，，
∴，∴，故答案为：．
16．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是 ．
【答案】
【详解】解：由题意知，，，
∴，，，∴，
∵长方形，∴，故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形．
【答案】见解析
【详解】解：分割线如图所示：
18．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知，点在同一直线上．(1)若，，求的度数；(2)若，点是的中点，求的长．
【答案】(1)(2)3
【详解】（1）解：∵，，，∴，
∵，∴；
（2）解：∵，，∴，
∵点是的中点，∴，∴．
20．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，连接，与交于点，，，．(1)求的度数；(2)求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，∴，
∴，∴，∵，∴．
（2）解：∵，，，∴，，
∵，∴，
∴，由（1）已得：，
∴．
21．（24-25七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E．(1)试说明：．(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）证明：∵，∴，，
∵点B，D，C在一条直线上，∴，
∵，∴，∴；
（2）解：∵，∴，，
∵，∴，∴．
22．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且．(1)求证：是等腰直角三角形；(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)6
【详解】（1）证明：，，，
，，是等腰直角三角形；
（2）解：，，，
，，四边形的面积．
23．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，A，E，C三点在同一直线上，且．
(1)求证：；(2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想．
【答案】(1)见解析(2)当中时，．
【详解】（1）解：∵，∴，，∴；
（2）解：猜想，时，，∵，∴，
∵，∴，∴，
又，∴，∴当是直角三角形时，．
24．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点Q的运动速度．
【答案】(1)或(2)或或或
【详解】（1）解：当点P在上时，
∵的面积等于面积的一半，∴，
∴点P移动的距离为，∴移动的时间为：秒；
当点P在上时，∵的面积等于面积的一半；∴，
∴点P移动的距离为，∴移动的时间为：秒；
故答案为：秒或秒；
（2）解：设点Q的运动速度为，
∵与全等，，∴，或，，
当P在上，点Q在上时，
若，，∴，∴，
若，，∴，∴，
当点P在上，点Q在时，
若，，∴，∴，
若，，∴，∴，
综上所述：点Q的运动速度为或或或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
