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专题1.1 认识三角形
1. 理解三角形及其边、内角等概念；
2. 探索并证明三角形的内角和为180°；
3. 理解并证明三角形两边之和大于第三边；
4. 理解三角形的角平分线、中线和高线的概念及相关运算；
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.三角形的相关概念 3
考点2.三角形的分类 4
考点3.证明三角形内角和定理 5
考点4.三角形内角和定理的运用 7
考点5.三角形的三边关系及其运用 8
考点6.三角形的角平分线相关概念与运算 9
考点7.三角形的高线相关概念与画法 11
考点8.三角形的高线的相关运算 12
考点9.三角形的中线的概念与相关运算 13
考点10.三角形有关的线段综合问题 15
模块3：培优训练 18
1. 三角形的概念：如图，由 的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的边，角，顶点以及三角形的表示，如图：
在三角形中，组成三角形的线段叫做三角形的 ，有 。
相邻两边组成的角叫做三角形的 ，简称三角形的角。有 。
用符号 来表示三角形，右图三角形即表示为 。
3.三角形内角和定理：三角形三个内角的和是 。
4.三角形的分类（按角分类）
三角形 三个内角 的三角形是锐角三角形。
有一个内角 的三角形是直角三角形。
有一个内角 的三角形是钝角三角形。
5．三角形的三边关系：三角形的任意两边之和 第三边。三角形的任意两边之差 第三边。
6. 三角形角平分线：如图，三角形的一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 是三角形的角平分线。性质：若AD是三角形的角平分线∠1 ∠2。
7. 三角形中线：如图，连结三角形的一个顶点与该顶点 的线段叫做三角形的中线。
性质：①AM是三角形的中线M是BC的 BM CM＝ BC。
②中线平分三角形的 。即：
③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即：
8.三角形高线：如图，从三角形的顶点向它的对边所在的直线作 ， 与 之间的线段是三角形的高线。 性质：BD是△ABC的高BD AC
三角形高的画法：1）靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；2）移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点；3）画：画出垂线段。
考点1.三角形的相关概念
例1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）图中以为边的三角形的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
变式2．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，的对边是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25七年级下·湖北·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________；
（2）以为边的三角形有_________；
（3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角；
（4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角．
考点2.三角形的分类
例1．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能
变式1．（24-25七年级下·湖北·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （24-25·山西吕梁市·八年级期中）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
考点3.证明三角形内角和定理
例1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用两种方法证明“三角形的内角和等于”.
已知：，，是的三个内角.求证：.
证法1：如图，过点 作.
，_______， ______＋______，
，.
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.
变式1．（24-25·山东潍坊·八年级期末）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过C作EFAB B．过AB上一点D作DEBC，DFAC
C．延长AC到F，过C作CEAB D．作CD⊥AB于点D
变式3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）课堂回顾
在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理．
已知：如图1，．
求证：． 下面是小明与小颖的想法．
小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据．
证明：过点A作直线，则，（______）
，（平角的定义） ．（______）
小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由．
考点4.三角形内角和定理的运用
例1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边，和的延长线于点，，．求证：．
变式1．（24-25七年级下·江苏·期末）在中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）将三角形纸片与量角器按如图所示方式放置，，，是的外角，则计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
考点5.三角形的三边关系及其运用
例2．（24-25广西河池市·八年级期末）已知的三边长为2，7，，请写出一个符合条件的的整数值，这个值可以是______．
变式2．（24-25自贡市八年级月考）若是△ABC的三边长，则化简的结果是________．
变式3.（24-25浙江八年级期中）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
考点6.三角形的角平分线相关概念与运算
例1．（24-25·河北唐山·八年级期中）下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（ ）
A．① B．①④ C．②③ D．②④
例2．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，平分，平分，如果，那么 °．
变式1．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，，则的度数为__________．（结果用含的式子表示）
变式2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 °；如图2，作外角、的平分线交于点，则、之间的数量关系为 ．
考点7.三角形的高线相关概念与画法
例1．（24-25·广东汕头市·八年级模拟）下列尺规作图，能判断是的边上的高是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25江川区八年级期中）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（24-25·江苏常州·七年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E，则△ABD的BD边上的高是( )
A．AD B．DE C．AC D．BC
考点8.三角形的高线的相关运算
例1．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
变式2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ．
考点9.三角形的中线的概念与相关运算
例1．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且 ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ．
变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．4
变式3．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，的面积为1，第一次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到；第二次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到……按此规律，第次操作后，得到，若要使的面积超过2025，则至少需要操作 次．
考点10.三角形有关的线段综合问题
例1．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且．(1)请说明；(2)若，求的度数．
变式1．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F．(1)求的度数；(2)求的度数．
变式2．（24-25·江苏无锡·七年级校联考期中）已知在中，，D是上一点
(1)如图1，求证：；(2)将沿所在直线翻折，点A落在边所在直线上，记为点．
①如图2，若，求的度数；②若，则 的度数为 （用含α的代数式表示）．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，下列说法错误的是（ ）
A．，，是的内角 B． 是与相邻的角
C． D．的三条边分别是 ，，
3.（24-25·广东八年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点是三角形的重心
B．三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分
C．三角形的中线、角平分线、高都是线段
D．三角形的三条高都在三角形内部
4．（24-25八年级下·湖南永州·期中）在下列条件中：①；②；③；④中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②③④
5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小敏同学想用三根木棍做一个置物架支架，现有以下长度的木棍（单位：），她能成功拼成三角形支架的是（ ）
A．4，5，10 B．6，7，13 C．2，2，3 D．1，3，5
6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，钝角中，边上的高是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25·河南濮阳·八年级期末）有一块直角三角板放置在上，三角板的两条直角边，恰好分别经过点B、C，在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·重庆·期中）在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（ ）
A．16 B．8 C．16或8 D．8或4
9．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，为的中线，点为上一点且，是边的三等分点，若的面积是48，则四边形的面积是（ ）
A．7 B．12 C．14 D．18
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级上·贵州安顺·开学考试）如图，图中三角形的个数为 ；以为外角的三角形是 ；在中，边的对角是 ；在中，的对边是 ．
12．（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知中，，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
13．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）如图：等于 度．
14．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知一个三角形的两边长为4和7，则第三边x的取值范围是 ．
15．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则 ．
15．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，平分交于点．当时，的度数为 。（用表示）
16．（24-25七年级下·四川成都·期中）如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”．例如：在中，，，，满足，所以是关于的“差倍角三角形”．如图，在中，，和的角平分线相交于点，若是关于的“差倍角三角形”，则的度数为 ．
解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F．(1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形．(2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角．(3)以线段AB为边的三角形有哪些？(4)以为内角的三角形有哪些？
18．（24-25八年级上·广西崇左·期末）下面是证明三角形内角和定理两种添加辅助线的方法．请选择一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于．
已知：如图，，求证：．
方法一 证明：如图，过点A做．
方法二 证明：如图，过点C做，并延长到D．
19．（24-25七年级下·上海宝山·期中）a、b、c为三角形的三边，化简：
20．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）如图，分别是的角平分线和高，，求的度数．
21．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，为的中线，为的中线．
(1)，，求的度数；
(2)若的面积为，，则中边上的高为多少？
22. （24-25·河南驻马店市·八年级期末）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
（2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？
23．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长；
（2）如图2，在中，，，求的高与的比；
（3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值．
24．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究
【感知】如图①，在中，分别是和的角平分线．
【应用】（1）若，则________；（直接写出答案）若，则________；（直接写出答案）（2）写出与之间的关系并证明；
【拓展】（3）如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系．
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专题1.1 认识三角形
1. 理解三角形及其边、内角等概念；
2. 探索并证明三角形的内角和为180°；
3. 理解并证明三角形两边之和大于第三边；
4. 理解三角形的角平分线、中线和高线的概念及相关运算；
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.三角形的相关概念 3
考点2.三角形的分类 4
考点3.证明三角形内角和定理 5
考点4.三角形内角和定理的运用 7
考点5.三角形的三边关系及其运用 8
考点6.三角形的角平分线相关概念与运算 9
考点7.三角形的高线相关概念与画法 11
考点8.三角形的高线的相关运算 12
考点9.三角形的中线的概念与相关运算 13
考点10.三角形有关的线段综合问题 15
模块3：培优训练 18
1. 三角形的概念：如图，由 不在同一直线上 的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的边，角，顶点以及三角形的表示，如图：
在三角形中，组成三角形的线段叫做三角形的 边 ，有 AB、BC、AC 。
相邻两边组成的角叫做三角形的 内角 ，简称三角形的角。有 ∠A、∠B、∠C 。
用符号 △ 来表示三角形，右图三角形即表示为 △ABC 。
3.三角形内角和定理：三角形三个内角的和是 180° 。
4.三角形的分类（按角分类）
三角形 三个内角 都是锐角 的三角形是锐角三角形。
有一个内角 是直角 的三角形是直角三角形。
有一个内角 是钝角 的三角形是钝角三角形。
5．三角形的三边关系：三角形的任意两边之和 大于 第三边。三角形的任意两边之差 小于 第三边。
6. 三角形角平分线：如图，三角形的一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 线段 是三角形的角平分线。性质：若AD是三角形的角平分线∠1 = ∠2。
7. 三角形中线：如图，连结三角形的一个顶点与该顶点 对边中点 的线段叫做三角形的中线。
性质：①AM是三角形的中线M是BC的 中点 BM ＝ CM＝ BC。
②中线平分三角形的 面积 。即：
③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即：
8.三角形高线：如图，从三角形的顶点向它的对边所在的直线作 垂线 ， 顶点 与 垂足 之间的线段是三角形的高线。 性质：BD是△ABC的高BD ⊥ AC
三角形高的画法：1）靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；2）移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点；3）画：画出垂线段。
考点1.三角形的相关概念
例1．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形，故选：C．
变式1．（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）图中以为边的三角形的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】解：图中以为边的三角形有：，，．共有3个．故选：B．
变式2．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，的对边是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在中，的对边是．故选C．
变式3．（24-25七年级下·湖北·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________；
（2）以为边的三角形有_________；
（3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角；
（4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角．
【答案】（1）6，，，，，，（2），，
（3），，（4），，；，
【详解】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个；
（2）以为边的三角形有，，；
（3）分别是，，中，，边的对角；
（4）是，，的内角，是，的内角．
故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，．
考点2.三角形的分类
例1．（24-25七年级下·上海金山·期末）在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能
【答案】C
【详解】解：∵，∴是钝角三角形．故选：C．
变式1．（24-25七年级下·湖北·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是直角，因此是直角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；故选：C．
变式2. （24-25·山西吕梁市·八年级期中）给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【详解】（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确
（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误
（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确
综上所述，正确的结论2个 故选B
考点3.证明三角形内角和定理
例1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用两种方法证明“三角形的内角和等于”.
已知：，，是的三个内角.求证：.
证法1：如图，过点 作.
，_______， ______＋______，
，.
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.
【答案】证法1：；；证法2见解析
【详解】证法1：如图，过点 作.
，_______，______＋______，
，.
证法2：如图，过点作，
，，，
， .
变式1．（24-25·山东潍坊·八年级期末）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．过C作EFAB B．过AB上一点D作DEBC，DFAC
C．延长AC到F，过C作CEAB D．作CD⊥AB于点D
【答案】D
【详解】解：A．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合题意．
B．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故B不符合题意．
C．由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故C不符合题意．
D．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故D符合题意．
故选：D．
变式3．（24-25八年级上·山西晋中·期末）课堂回顾
在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理．
已知：如图1，．
求证：． 下面是小明与小颖的想法．
小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据．
证明：过点A作直线，则，（______）
，（平角的定义） ．（______）
小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由．
【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；可行，过程见解析
【详解】解：小明的想法证明过程如下：
证明：过点A作直线，则，（两直线平行，内错角相等）
，（平角的定义） ．（等量代换）
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；
小颖的想法可行．
证明：如图，作，∴，，
即，．
考点4.三角形内角和定理的运用
例1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边，和的延长线于点，，．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，，
∴，∵，
∴，∴，
又∵，∴．
变式1．（24-25七年级下·江苏·期末）在中，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，∴，
∵，∴∴．故选：B．
变式2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）将三角形纸片与量角器按如图所示方式放置，，，是的外角，则计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，∴，∴，
∴，故选：D．
考点5.三角形的三边关系及其运用
例2．（24-25广西河池市·八年级期末）已知的三边长为2，7，，请写出一个符合条件的的整数值，这个值可以是______．
【答案】6或7或8
【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，7，x，∴7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，故答案为：6或7或8．
变式2．（24-25自贡市八年级月考）若是△ABC的三边长，则化简的结果是________．
【答案】2a
【详解】解：∵a，b，c为三角形三边上，∴a+b-c>0，b-c-a＜0，
则原式=a+b-c-b+a+c=2a，故答案为：2a．
变式3.（24-25浙江八年级期中）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】B
【详解】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；
①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5-4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；
②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；
③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．故选：B．
考点6.三角形的角平分线相关概念与运算
例1．（24-25·河北唐山·八年级期中）下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（ ）
A．① B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【详解】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．所以正确的有 ①． 故选A．
例2．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，平分，平分，如果，那么 °．
【答案】
【详解】，∴，
∵平分平分，∴，
∴
∴，故答案为：．
变式1．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，，则的度数为__________．（结果用含的式子表示）
【答案】．
【详解】解：在中，，，，
是的平分线，，
在中，，，
．故答案为：．
变式2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 °；如图2，作外角、的平分线交于点，则、之间的数量关系为 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴．
∵，分别是和的角平分线，∴，，
∴，∴；
∵，∴．
∵，分别是和的角平分线，∴，
∴，
∴．故答案为：，．
考点7.三角形的高线相关概念与画法
例1．（24-25·广东汕头市·八年级模拟）下列尺规作图，能判断是的边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A. 所作图BC的垂线未过点A，故此项错误；
B.所作图过点A作BC的垂线，垂足为D，故此项正确；
C.所作过点A作的线AD不垂直BC，故此项错误；
D.所作图仅为过点A的AB边上的垂线，不符合题意，故此项错误；故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的高的作法，解题的关键是掌握几何图形的性质和基本作图方法．
变式1．（24-25江川区八年级期中）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．
变式2.（24-25·江苏常州·七年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E，则△ABD的BD边上的高是( )
A．AD B．DE C．AC D．BC
【答案】C
【详解】经过三角形一个顶点,向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，称三角形的高．∵BEAB于E，∴DE是△ABD的边AB上的高线，
∵ACBD于C，∴AC是△ABD的BD边上的高线．故选：C
考点8.三角形的高线的相关运算
例1．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】解：如图所示，连接，∵，
∴，，∴，故选：A ．
变式1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【详解】解：根据垂线段最短，可知当 时， 最短，
在 中，，，， ．∴ ．
将 ，， 代入 ，解得 ．故选：D ．
变式2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ．
【答案】
【详解】解：连接，∵，∴，
∴，∴，∴，故答案为：．
考点9.三角形的中线的概念与相关运算
例1．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且 ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵点D，E分别为边，上的中点，∴分别为的中线，
∴，，，
∴．故选：A．
变式1．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ．
【答案】/8厘米
【详解】解：∵是的中线，∴，
∵的周长比的周长大，∴，∴，∵，∴．故答案为：
变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，D、E分别是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．4
【答案】D
【详解】解：∵，，∵，，
∵，∴，，，
．故选：D．
变式3．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，的面积为1，第一次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到；第二次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到……按此规律，第次操作后，得到，若要使的面积超过2025，则至少需要操作 次．
【答案】4
【详解】解：如图，连接，，面积为1，与的面积相等，等于1，
，的面积等于的面积的2倍，等于2，
同理可得， 的面积为2， 的面积为2， 的面积等于；
同理可证，第二次操作后的面积为的面积的7倍，等于；
第三次操作后的面积为的面积的7倍，等于；
第四次操作后的面积为的面积的7倍，等于；
故按此规律，要使三角形的面积超过2025，至少操作4次．故答案为：4
考点10.三角形有关的线段综合问题
例1．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，、分别是的高线和角平分线，相交于点，且．(1)请说明；(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵是角平分线，∴，
又∵是的高线，∴，∴，
又∵，∴，∴，即；
（2）解：∵，，∴，
∵，∴，解得，
∴，∴．
变式1．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F．(1)求的度数；(2)求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，∴，
∵平分，∴；
（2）∵，∴，∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴．
变式2．（24-25·江苏无锡·七年级校联考期中）已知在中，，D是上一点
(1)如图1，求证：；(2)将沿所在直线翻折，点A落在边所在直线上，记为点．
①如图2，若，求的度数；②若，则 的度数为 （用含α的代数式表示）．
【答案】(1)见解析(2)①；②或
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）解：①∵，∴，∴，
由题意得：，∴；
②∵，∴，
当时，在线段上，；
当40时，在的延长线上，，
∴当时，，当时，．
故答案为：或．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：图形中是三角形的是故选：B．
2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，下列说法错误的是（ ）
A．，，是的内角 B． 是与相邻的角
C． D．的三条边分别是 ，，
【答案】C
【详解】解：A、，，是的内角，原说法正确，不符合题意；
B、 是与相邻的角，原说法正确，不符合题意；
C、，但不一定等于，原说法错误，符合题意；
D、的三条边分别是 ，，，原说法正确，不符合题意；故选：C．
3.（24-25·广东八年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点是三角形的重心
B．三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分
C．三角形的中线、角平分线、高都是线段
D．三角形的三条高都在三角形内部
【答案】C
【详解】A. 三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，故A错误；
B. 三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故B错误；
C. 三角形的中线、角平分线、高都是线段，故C正确；D. 三角形的三条高不一定都在三角形内部，因为钝角三角形有两个高在三角形的外部，故D错误；故选：C.
4．（24-25八年级下·湖南永州·期中）在下列条件中：①；②；③；④中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．①③ B．①④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【详解】解：①∵，，
∴，∴，则是直角三角形；
②∵，，
∴，则是直角三角形；
③，即，则是直角三角形；
④，，∴，
∴，故是直角三角形．综上，能确定是直角三角形的条件有①②③④；故选：D．
5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）小敏同学想用三根木棍做一个置物架支架，现有以下长度的木棍（单位：），她能成功拼成三角形支架的是（ ）
A．4，5，10 B．6，7，13 C．2，2，3 D．1，3，5
【答案】C
【详解】解：A中，不能构成三角形支架，故不符合题意；
B中，不能构成三角形支架，故不符合题意；
C中，能构成三角形支架，故符合题意；
D中，不能构成三角形支架，故不符合题意；故选：C．
6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，钝角中，边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，钝角中，边上的高是．故选C．
7．（24-25·河南濮阳·八年级期末）有一块直角三角板放置在上，三角板的两条直角边，恰好分别经过点B、C，在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在△DBC中，∵，∴ ，
∵，∴在△ABC中，
8．（24-25七年级下·重庆·期中）在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（ ）
A．16 B．8 C．16或8 D．8或4
【答案】A
【详解】解：设，则，
当且时，即，解得：，∴，，
∵，∴能组成三角形，即符合题意；
当且时，即，解得：；∴，，
∵，∴三边不能组成三角形，即不符合题意；综上，的长是16．故选A．
9．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，点为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，．若的平分线与的平分线的交于点，则与的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵的平分线与的平分线的交于点，
∴，
∵，∴，
∴即．故选：A．
10．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，为的中线，点为上一点且，是边的三等分点，若的面积是48，则四边形的面积是（ ）
A．7 B．12 C．14 D．18
【答案】C
【详解】解：为的中线，的面积是48，
当以上的边为底，和等底同高，即，
是边的三等分点，当以上的边为底，和同高，且，
即，连接，如图所示：
是边的三等分点，当以上的边为底，和等底同高，
则，，
，当以上的边为底，和同高，且，即，
综上所述，四边形的面积是，故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级上·贵州安顺·开学考试）如图，图中三角形的个数为 ；以为外角的三角形是 ；在中，边的对角是 ；在中，的对边是 ．
【答案】 6 /
【详解】图中三角形的个数为6个，分别是；
以为外角的三角形是；
在中，边的对角是；
在中，的对边是；
故答案为：6；；；．
12．（24-25七年级下·广东深圳·期中）已知中，，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
【答案】钝角
【详解】解：∵在中，，，
∴，∴是钝角三角形，故答案为：钝角．
13．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）如图：等于 度．
【答案】
【详解】解：∵，
∴故答案为：
14．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知一个三角形的两边长为4和7，则第三边x的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：根据三角形的三边关系：，解得：．故答案为：．
15．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则 ．
【答案】
【详解】解：连接，
∵点F为中点，∴，，设，
∵，∴，，∴，
∵，∴，即：，∴，
∴，∴；故答案为：．
15．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，平分交于点．当时，的度数为 。（用表示）
【答案】
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，故答案：．
16．（24-25七年级下·四川成都·期中）如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”．例如：在中，，，，满足，所以是关于的“差倍角三角形”．如图，在中，，和的角平分线相交于点，若是关于的“差倍角三角形”，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：在中，，∴，
∵和的角平分线相交于点，∴，
∴，
∴．
∵是关于的“差倍角三角形”，∴，
又∵，∴，∴．故答案为：．
解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，，相交于点F．
(1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形．(2)请写出的三个顶点、三条边及三个内角．
(3)以线段AB为边的三角形有哪些？(4)以为内角的三角形有哪些？
【答案】(1)8；
(2)的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是
(3)以线段为边的三角形有
(4)以为内角的三角形有
【详解】（1）解：图中共有8个三角形，分别是：
．
（2）解：的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段，，，三个内角是．
（3）解：以线段为边的三角形有．
（4）解：以为内角的三角形有．
18．（24-25八年级上·广西崇左·期末）下面是证明三角形内角和定理两种添加辅助线的方法．请选择一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于．
已知：如图，，求证：．
方法一 证明：如图，过点A做．
方法二 证明：如图，过点C做，并延长到D．
【答案】见解析
【详解】证明：方法一：如图，过点A做．
因为，所以，．
又因为D，A，E在同一条直线上，所以，
即， 所以三角形的三个内角的和等于．
方法二：如图，过点C做，并延长到D．
因为，所以，．
又因为B，C，D在同一条直线上，所以，
即， 所以三角形的三个内角的和等于．
19．（24-25七年级下·上海宝山·期中）a、b、c为三角形的三边，化简：
【答案】
【详解】解：∵a、b、c为三角形的三边，∴，即，
∴．
20．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）如图，分别是的角平分线和高，，求的度数．
【答案】
【详解】解：∵，∴
∵平分，∴，∵，∴，
又，∴∴．
21．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，为的中线，为的中线．
(1)，，求的度数；
(2)若的面积为，，则中边上的高为多少？
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：是的一个外角，，，，
，，；
（2）为的中线，的面积为，，
为的中线，，
， 中边上的高为．
22. （24-25·河南驻马店市·八年级期末）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
（2）如图，已知，在射线上取一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与、重合），若，判定、是否是“梦想三角形”，为什么？
【答案】（1）或；（2），都是“梦想三角形”，理由见解析
【详解】解：（1）当108°是三角形的一个内角的3倍，则有这个内角为36°，第三个内角也是36°，故最小的内角是36°，当另外两个内角是3倍关系，则有另外两个内角分别为：54°，18°，最小的内角是18° 故答案为：36°或18°．
（2）结论：，都是“梦想三角形”
理由：，，，
，为“梦想三角形”，
，，，
，，“梦想三角形”．
23．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长；
（2）如图2，在中，，，求的高与的比；
（3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）10．
【详解】（1）解：，，；
（2）解：，，
，；
（3）解：，，，
，，
又，，即．
24．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究
【感知】如图①，在中，分别是和的角平分线．
【应用】（1）若，则________；（直接写出答案）若，则________；（直接写出答案）（2）写出与之间的关系并证明；
【拓展】（3）如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系．
【答案】（1），；（2），证明见解析；（3）或
【详解】解：（1）∵分别是和的平分线，，，
∴，∴．
∵分别是和的平分线，∴，，
∴，
∵，∴．
（2）；理由如下：
∵分别是和的平分线，∴，，
∴
；
（3）．如图，延长，交于点E，由（2）知，，
∵，∴，∴，
∴
，即．
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