初中数学浙教版（2024）八年级上册 第一章 三角形的初步知识 单元测试卷（含答案）

第一章 三角形的初步知识
一、选择题
1．以下列每组数为长度（单位：cm）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（　　）
A．1， 2. 3 B．2，2， 4 C．3，4.5 D．3，4，8
2．下列命题是假命题的是（　　）
A．“对顶角相等”的逆命题是假命题
B．在同一平面内，a、b、c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．同旁内角互补两直线平行
3．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，直线，射线AB分别交直线a，b于点B，C，点D在直线a上，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中不成立的是（　　）
A．BC=DE B．∠BAD=∠CDE C．DA平分∠BAE D．∠CAE=∠CDE
6．如图，在的正方形网格中，线段AB，CD的端点均在格点上，则和的数量关系是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A，B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接最出A，B间的距离。为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案：
方案1 ①如图1，选定点O； ②连接AO，并延长到点C，使OC=OA，连接BO，并延长到点D，使OD=OB： ③连接DC，测量DC的长度即可。 方案2 ①如图2，选定点O： ②连接AO，BO，并分别延长到点F，E，使OF=OB，OE=OA： ③连接EF，测量EF的长度即可。
对于方案1和方案2，下列说法正确的是（　　）
A．1、2都不可行 B．1不可行、2可行
C．1可行、2不可行 D．1、2都可行
8．如图，在中，，平分，，，则的面积是（　　）
A．10 B．5 C．3 D．2
9．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（　　）
A．17 B．16 C．18 D．20
10．如图，在 中，点D，E，F分别是边BC，AD，BE的中点，若 则 的面积为(　　)
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空题
11．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果　 　，那么　 　．
12．如图，已知，若要使得，则可添加的条件是　 　．（只需填写一个条件）
13．如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，AD平分∠BAC，CE=BF、若△DCE的面积为5，则△DBF的面积为　 　；
14．一个三角形的三条边的长分别为3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别为3，3x-2，2x-1.若这两个三角形全等，则x 的值是　 　.
15．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为　 　.
16．如图，在四边形中，，连接，过点A作，连接平分，且，若，则的值为　 　．
三、解答题
17．如图，各图形顶点都在格点上，分别根据下列要求画出图形．
（1）在图1中，在上找一点，使得平分面积．
（2）在图2中，在上找一点，使得将分成面积比为的两部分（找到一个即可）
18．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，且D是BC的中点，已知DE=3，求DF的长度.
解： ∵BE⊥AE，CF⊥AE
∴∠CFD=∠E=90°
∴D为BC中点
∴ ▲
在△CDF和△BDE中
（　　）
∴△CDF≌△BDE（　　）
∴DF=DE=3（　　）
19．如图，在中，是边上的高，平分，，，求的度数．
20．如图，，，，．
（1）试说明：；
（2）求的度数．
21．如图，已知在中，，，D为的中点．点P在线段上以的速度由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C出发向终点A运动，设点P的运动时间为．
（1）求的长；（用含的式子表示）
（2）若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，且和是对应角，求的值．
22． 阅读：探究线段的和、差、倍、分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以证明.
请完成下面的证明：
（1）如图①，在△ABC 中，∠B=2∠C，AD 平分∠BAC.求证：AB+BD=AC；
（2）如图②，AD∥BC，AE，BE 分别平分∠DAB，∠CBA，点E在CD 上.求证：AB=AD+BC.
23．学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理.
（1）【理解定理】如图1，已知AD平分∠CAB，DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，若CD=1，则DB=　 　.
（2）【问题解决】如图2，点B，D，C分别是AF，AG和AE上的一点，且满足BD=CD，∠ABD+∠ACD=180°.
求证：AD平分∠BAC.
（3）【变式应用】如图3，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，E，F分别为AB，AC上一点，且∠BED=∠AFD.
求△BDE和△CDF的面积和.
参考答案
1．C
2．B
3．B
4．A
5．C
6．A
7．D
8．B
9．D
10．D
11．两条直线垂直于同一条直线；这两条直线相互平行
12．（或，答案不唯一）
13．5
14．3
15．140°
16．
17．（1）解：如图所示，就是所求作的点，
（2）解：如图所示，点就是所求作的点，
或
18．解： ∵BE⊥AE，CF⊥AE
∴∠CFD=∠E=90°
∴D为BC中点
∴CD=DB
在△CDF和△BDE中
（对顶角相等）
∴△CDF≌△BDE（AAS）
∴DF=DE=3（全等三角形的对应边相等）
19．
20．解：（1）证明：∵，
∴，即．
∵在和中，
，
∴．
（2）由（1）证得，
∵
∴．
21．（1）
（2）或
22．（1）在AC上截取AE=AB，连结 DE，如图①.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC.
在△ABD和△AED中，
∴△ABD≌△AED(SAS)，
∴∠B=∠AED，BD=ED.
又∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C.
∵∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠C=∠EDC，∴ED=EC，
∴AB+BD=AE+EC=AC
（2）延长AE，BC交于点F，如图②.
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE.
∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，
∴∠BAE=∠F，∴AB=BF.
又∵BE 平分∠ABF，
∴AE=EF.
在△ADE 和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴AD=FC，
∴AB=BF=BC+FC=BC+AD.
23．（1）1
（2）证明：过 D 作 DP⊥AC 于 P，过 D 作 DQ⊥AB 于 F，
∵∠ABD+∠ACD=180°
∴∠DCP=∠DBQ
∵BD=CD， ∠DPC=∠DQB=90°
∴△DCP≌△DBQ（AAS）
∴DP=DQ
∵DP⊥AC，DQ⊥AB
∴AD 平分∠EAB
（3）解：连结 AD，过 D 作 DH⊥AB 于 H，DG⊥AC 于 G
∵AB=AC ，D 为 BC 的中点
∴ AD⊥BC，DA 平分∠BAC
∵ DH⊥AB，DG⊥AC，DA 平分∠BAC
∴DH=DG
∵∠BED=∠AFD，DH=DG，DH⊥AB，DG⊥AC
∴△DHE≌△DGF（AAS）
∴DE=DF
可证△BDH≌△CDG
由 可得
和 的面积和 的面积 .
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