【章节考点培优】2.4有理数的除法-2025-2026学年七年级上册数学浙教版（2024）（含答案解析）

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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优浙教版（2024）
第2章 有理数的运算 2.4 有理数的除法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算1÷(－3 )时，除法变为乘法正确的是（　　）
A．1× B．1× C．1× D．1×
2． 计算 的结果是( )
A．-1 B． C．-25 D．1
3．下列运算结果为正数的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A．-2-（-5）＝-3 B．（+6）-（-6）＝0
C．（-3）×（-15）＝-15 D．
5．下列计算错误的是（　　）
A．（－5）＋5＝0 B． ×|（－2）3|＝－
C．（－1）3＋（－1）2＝0 D．4÷2× ÷2＝2
6．已知，，其中为正整数，下列两位同学的说法中正确的是（　　）
嘉嘉：由已知条件可知．
淇淇：由已知条件可知．
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确
C．两人都正确 D．两人都不正确
7．下列计算正确的是（　　）
A．﹣12﹣8=﹣4 B．
C．﹣5﹣（﹣2）=﹣3 D．﹣32=9
8．有下列四个算式①；②；③；④．其中，正确的有（　　）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．在有余数的整数除法算式中，除数是b，商是c（b，c均不为0），被除数最大为（　　）
A． B． C． D．
10．（题文）下列计算：①0-（-5）=-5；②（-3）+（-9）=-12；③ ；④（-36）÷（-9）=-4，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，天平的两个盘内分别盛有和的糖，问应从盘A中拿出　 　糖放到盘B中，才能使两者所盛糖的质量相等？
12．在2，5，-3，-5这四个数中任意取两个数相除，所得的商最小为　 　.
13．计算：3÷4×=　 　
14．一个自然数，用它去除余，用它去除余，用它去除余，则　 　．
15．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题：
若从中取出2张卡片，乘积的最大值是　 　.商的最小值是　 　.
16．已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为　 　．
三、计算题
17．若ab＜0，求 的值．
四、解答题
18．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程(如下表)，以50 km为标准，多于50 km的记为“＋”，不足50 km的记为“－”，刚好50 km的记为“0”．
　 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程(km) -8 -11 -14 0 -16 +41 +8
（1）请求出这七天平均每天行驶多少千米；
（2）若每行驶100km需用汽油6升，汽油价6.2元/升，请估计小明家一个月(按30天计)的汽油费用是多少元？
19．为丰富学生课后服务活动，某校准备花5800元添置篮球和足球共60个，已知篮球每个120元，足球每个80元，求新添置篮球和足球各多少个？
为解决问题，明明和雯雯给出了两种方法如下：
（1）填空：
【明明】解：设__________________，根据题意，得：
【雯雯】解：设__________________，根据题意，得：
（2）学校准备制作篮球和足球置物架各一个安放新添置的球，已知篮球置物架一层最多能放6个篮球，足球置物架一层最多能放7个足球，问篮球置物架和足球置物架各至少做几层？
20．如图，数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为9，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点到达点后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点运动的时间为．
（1）当点返回到点时，求的值；
（2）当时，求点表示的有理数；
（3）当点与原点的距离是1个单位长度时，直接写出的值．
21．小华在课外书中看到这样一道题：
计算：
他发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题。
（1）前后两部分之间存在着什么关系
（2）先计算哪部分比较简便 请计算比较简便的那部分。
（3）利用(1)中的关系，直接写出另一部分的结果。
（4）根据以上分析，求出原式的结果。
22．小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作．
（1）直接写出计算结果，_____， _____；
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 _____．（填序号）
①对于任何正整数n，都有；
②；
③；
④对于任何正整数n，都有．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）
（4）请利用（3）问的推导公式计算：．
23．小华有5张写着不同数的卡片如下，请你按要求抽出卡片，完成下列各题：
（1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数乘积最大，最大值是______；
（2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是______；
（3）从中抽出4张卡片，用学过的运算方法使结果为30，写出运算式子（至少写出两种）．
参考答案及试题解析
1．D
【解答】解：原式=1÷
故答案为：D。
【分析】再计算有理数除法的时候，涉及到的带分数必须要化为假分数，再根据除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数即可得出答案。
2．B
【解答】解：
=
=
故答案为：B
【分析】根据有理数的乘除计算即可求出答案.
3．B
【解答】解：A、原式=0，不符合题意；
B、原式=9，符合题意；
C、原式=-2÷81=，不符合题意；
D、原式=-8，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据有理数的乘除和乘方运算法则计算每一个选项即可求解.
4．D
【解答】解：A、-2-（-5）=-2+5=3；
B、原式=6+6=12；
C、原式=3×15=45；
D、原式=2×=.
故答案为：D.
【分析】A、根据有理数的减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”可将减法转化为加法，然后根据有理数的加法法则计算即可求解；
B、根据有理数的减法法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”可将减法转化为加法，然后根据有理数的加法法则计算即可求解；
C、根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”可求解；
D、根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”并结合“除以一个数等于乘以这个数的相反数”可求解.
5．D
【解答】解：A、 （－5）＋5＝0，故此选项不符合题意；
B、 ×|（－2）3|＝－ ，故此选项不符合题意；
C、（－1）3＋（－1）2＝0，故此选项不符合题意；
D、4÷2× ÷2＝ ，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用有理数的加法法则，乘法法则，乘方等计算求解即可。
6．B
7．C
【解答】解：A、﹣12﹣8=﹣20，错误；
B、（﹣）÷（﹣4）=﹣×（﹣）=，错误；
C、﹣5﹣（﹣2）=﹣5+2=﹣3，正确；
D、﹣32=﹣9，错误．
故选C．
【分析】原式利用有理数的乘方，乘法，以及除法法则计算得到结果，即可做出判断．
8．C
【解答】解：①；故①不符合题意；
②；故②不符合题意；
③；故③符合题意；
④；故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用有理数的加法法则，有理数的除法法则，乘方法则计算求解即可。
9．C
【解析】【解析】解：根据已知条件得：
余数最大时只能是比除数少1，即，
∴被除数最大是；
故答案为：C．
【分析】根据已知条件，被除数=商×除数+余数，当余数最大时只能是比除数少1，即，被除数最大．
10．B
【解答】① ，本小题错误；
② ，本小题正确；
③ ，本小题正确；
④ ，本小题错误；
正确的有②③，故答案为：B。
【分析】根据有理数的加减法法则，可对①②作出判断；利用有理数乘除法法则，可对③④作出判断，即可得出计算正确的个数。
11．3
12．-2.5
【解答】解： 在2，5，-3，-5这四个数中任意取两个数相除，所得的商是负数，且商的绝对值最大时，此时两数商最小，
在2，5，-3，-5这四个数中任意取两个数相除，所得的商最小为 ，
故答案为：-2.5.
【分析】所得的商是负数，且商的绝对值最大时，此时两数商最小，故用绝对值最大的负数除以绝对值最小的正数即可.
13．
【解答】解：原式=3××
=．
故答案为：．
【分析】原式从左到右依次计算即可得到结果．
14．19
【解答】解：∵ 一个自然数，用它去除226余a，用它去除411余a+1，用它去除527余a+2，
∴用这个自然数去除226余a，去除410余a，用它去除525余a，
即用这个自然数去226，410，525的余数相同，均为a，
又∵，
，
∴此自然数为23；
∵，
∴a=19.
故答案为：19.
【分析】根据被除数，除数，商与除数的关系并结合题意可得用这个自然数去除226，410，525的余数相同，均为a，进而根据同余定理可得226、525及410三个数中任意两个的差一定会被这个自然数整除，从而求出这个自然数，最后根据用这个自然数去除226余a可求出a的值.
15．24；﹣7
【解答】解：若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，
则乘积的最大值是：（﹣8）×（﹣3）＝24，
则商的最小值是：（4）÷(-1)＝﹣4，
故答案为：24，﹣7.
【分析】根据同号得正，异号得负的乘法法则只需要找出绝对值最大的两个负数即可；根据同号得正，异号得负的除法法则只需要用最大的正数除以最大的负数即可.
16．
17．解：∵ab＜0
∴a、b异号
当a＞0，b＜0时，
原式=
=1-1-1
=-1
当a＜0，b＞0时
原式=
=-1+1-1
=-1
∴原代数式的值为-1
【分析】由ab＜0，可得出a、b异号，利用正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，分类讨论，即可求值。
18．（1）50千米；（2）估计出小明家一个月的汽油费用是558元．
19．（1）新添置篮球有个， ；新添置篮球花费y元，
（2）篮球架要5层，足球架要5层．
20．（1）
（2）
（3）或或或
21．（1）前后两部分互为倒数
（2）先计算后一部分比较简便。
（3）∵前后两部分互为倒数，
（4）根据以上分析，可知原式
【分析】(1)根据倒数的定义可知： 与 ( 互为倒数；
(2)利用乘法的分配律可求得 ( 的值；
(3)根据倒数的定义求解即可；
(4)利用加法法则求解即可
22．（1）2，；
（2）③
（3）（n为正整数，）
（4）6
23．（1）24
（2）
（3），（答案不唯一）．
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