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专题1.3 三角形的内角和
【浙教版】
题型一：与平行线有关的内角和问题 1
题型二：与角平分线有关的内角和问题 6
题型三：与三角板有关的内角和问题 10
题型四：三角形内角和中相关求解 15
题型五：三角形折叠中角度问题 18
题型六：三角形内角和定理的实际应用 22
题型七：直角三角形两锐角互余 29
题型八：三角形内角和中用参数表示角度 34
题型九：三角形内角和综合应用（解答题） 40
题型十一：三角形内角和综合之多结论问题 54
题型十二：三角形内角和中与角平分线相关问题 63
知识点一 ：三角形内角和定理
内容：三角形三个内角的和等于180°。
符号表示： 在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。
关键点： 这个性质适用于任何三角形，无论其形状（锐角、直角、钝角）、大小。
题型一：与平行线有关的内角和问题
例1（23-24七年级下·全国·期末）如图，直线，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，直线，若，，则∠B的度数为 ．
【变式训练1-3】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，直线，，，则的度数为 ．
【变式训练1-4】（23-24七年级下·山东·期末）如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ．
【变式训练1-5】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点在线段上，，，点在上，若，:，，则 ．
【变式训练1-6】（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在△ABC中，若，则 °．
题型二：与角平分线有关的内角和问题
例2（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在△ABC中，，点在△ABC内部，且到三边的距离相等，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平分等于（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练2-2】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在△ABC中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】（2025·陕西安康·二模）如图，在△ABC中，于点，平分，交于点，交于点．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）在△ABC中，，是△ABC的高，是的角平分线，则 ．
【变式训练2-5】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知，点是上一点，的平分线和的平分线交于点，，则的度数为 ．
题型三：与三角板有关的内角和问题
例3（2025·山西吕梁·模拟预测）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】（2025·山西吕梁·二模）将三角尺按如图所示的方式摆放，，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（2025·湖北·三模）如图，已知直线，三角板的直角顶点放在直线上，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】（2025·浙江丽水·二模）如图，△ABC和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练3-4】（24-25七年级下·江西抚州·期中）把直角三角尺和长方形纸片按如图所示的方式摆放，使直角顶点C在纸片边缘上，，若，则的度数为 ．
【变式训练3-5】（2025·宁夏吴忠·二模）将一块含角的直角三角板按如图方式放置在纸片上，其中点，分别落在纸片边上．若，则的度数为 ．
【变式训练3-6】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，将一副三角板的一边叠合，图中的大小为 ．
题型四：三角形内角和中相关求解
例4（24-25七年级下·全国·单元测试）在△ABC中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】（24-25七年级下·上海·期中）在△ABC中，若，则此三角形按角分类是 三角形．
【变式训练4-2】（23-24七年级下·全国·课后作业）在△ABC中，，则 ．
【变式训练4-3】（24-25七年级下·上海闵行·期中）△ABC中，如果是的两倍，且比大，那么△ABC是 三角形．（按角分类）
【变式训练4-4】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在△ABC中，交线段于D，，，则 度．
题型五：三角形折叠中角度问题
例5（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在△ABC中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】（24-25八年级上·重庆荣昌·期中）如图所示，将△ABC沿翻折，点落到了点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-4】（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）如图1，点分别在长方形纸片的边上，与所夹的锐角，将纸片沿折叠得到图2，点落到点处；点在边上，沿进行第二次折叠得到图3，点的对称点恰好落在上，则与的夹角的度数为 ．
【变式训练5-5】（24-25七年级下·广东深圳·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将△ABC纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为
题型六：三角形内角和定理的实际应用
例6（2025·江苏淮安·二模）某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】（2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图是小海为学校即将举办的“首届数学核心素养展示大赛”制作宣传海报时设计的艺术数字“1”，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】（24-25七年级下·广东湛江·期中）如图，其中图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度．
【变式训练6-4】（2025·江西·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为 ．
【变式训练6-5】（2025·山东威海·一模）图1是某品牌自行车放置在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中，都与地面平行，，，若，则 度．
【变式训练6-6】（24-25七年级下·广东广州·期中）【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等，如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
【探究应用】如图2，激光笔与水平天花板的夹角为，将支架平面镜的点B一端固定在水平桌面上，调节支架平面镜，调节角为．激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线为
①若，反射光线与相交于点H，则的度数为 ；
②若反射光线恰好与平行，则的度数为
知识点二 ：直角三角形的性质推论
内容： 直角三角形的两个锐角互余。
符号表示： 在Rt△ABC中，∠C = 90°，则 ∠A + ∠B = 90°。
解释： 因为∠A + ∠B + ∠C = 180°，且∠C = 90°，所以剩余的两个锐角之和必须是90°。
应用： 已知直角三角形一个锐角，可求出另一个锐角。
题型七：直角三角形两锐角互余
例7（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线，平分，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】（2025·河北石家庄·一模）一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】（2025·陕西西安·二模）如图，，点、分别在、上，于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在△ABC中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-4】（2025·重庆·一模）如图，在中，于点，交于点，，则 ．
【变式训练7-5】（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，中，于点，则的度数是 ．
【变式训练7-6】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在△ABC中，于点是的平分线，交于点，则的度数为 ．
【变式训练7-7】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，△ABC中，为△ABC的高，，，那么 ．
题型八：三角形内角和中用参数表示角度
例8（2025·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，是高，是角平分线，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-2】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，点为和的角平分线的交点，连接，作△AOB的一条角平分线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，，，平分，平分交于点，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-4】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，直线被直线所截，且的平分线交直线于点于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-5】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，已知，P为直线，外一点，平分，平分，的反向延长线交于点E，若，用表示的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型九：三角形内角和综合应用（解答题）
例9（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，已知为上一点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若为上一点，，求的度数．
【变式训练9-1】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在△ABC中，，于，平分
(1)若，求的度数．
(2)若，求的长．
【变式训练9-2】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，．
(1)请判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若平分，求的度数．
【变式训练9-3】（24-25七年级下·重庆·期中）在△ABC中，是的角平分线，是△ABC的高线，与交于点，过点作交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式训练9-4】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，，，分别是，上的点，已知．
(1)试说明．
(2)若平分，，求的度数．
【变式训练9-5】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，垂足为分别是的平分线，与相交于点O．
(1)若，求的度数．
(2)设，用x，y的代数式表示．
题型十：三角形内角和中需分情况讨论题型
例10（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在△ABC中，为边上的高，，，则
【变式训练10-1】（24-25七年级下·重庆·期中）已知点E为△ABC中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是 ．
【变式训练10-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，点，分别是，边两个动点．将△ADE沿折叠得到△FDE，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与△ABC的一条边平行，，则的度数为 ．
【变式训练10-3】（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知一个角为，另一个角为，且它们两边分别垂直，那么这两个角分别为 ．
【变式训练10-4】（2025·青海西宁·一模）定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若是“准直角三角形”，且，，则的度数为 ．
【变式训练10-5】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，，△ADE是直角三角形，，，且边与重合，将△ADE绕点以每秒顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，．
【变式训练10-6】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在△ABC中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 ．
【变式训练10-7】（24-25八年级上·福建厦门·期中）在三角形中，如果一个角是另一个角的4倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“高倍三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（规定）．当△ABC为“高倍三角形”时，的度数为 ．
题型十一：三角形内角和综合之多结论问题
例11（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，，在上，过作，平分∠FEC，平分．若，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）个
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【变式训练11-1】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，，平分，平分，且．有下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练11-2】（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，四边形中，，点E在的延长线上，连接与交于点F，，比的余角小，点H、G在上，且，平分．下列结论：①；②是的平分线；③；④，其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练11-3】（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，在△ABC中，，，△ABC的高与中线相交于点，则以下结论正确的是（ ）
；；； ．
A． B． C． D．
【变式训练11-4】（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在△ABC中，，，分别平分和，且相交于，，于点，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④
【变式训练11-5】（24-25八年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在△ABC中，交于点D，是角平分线，延长交△ABC的外角的平分线于点F，点H为上一点，且，则下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
题型十二：三角形内角和中与角平分线相关问题
例12（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）如图1，在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边于点D．
(1)①若，则_____；
②与之间的等量关系是_____．
(2)如图2，作△ABC外角的平分线交的延长线于点F．
①求证：；
②若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．
【变式训练12-1】（24-25七年级下·重庆万州·期中）如图，在 △ABC中，点 D 在 上，过点 D 作 ，交于点E， 平分，交的平分线于点P，与相交于点G，的平分线与 相交于点Q．
(1)若，，则______ °，______ °；
(2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化，求出、∠Q的度数 （用m的代数式表示）；
(3)若中存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出所有符合条件的 ∠A 的度数．
【变式训练12-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，如图1，△ABC中，平分，平分，与交于点M．
(1)当时．
①求的度数；
②若于N，求图中的值；
(2)若，，求（用含x，y的代数式表示）．
【变式训练12-3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，，点在直线和之间，且在直线的左侧，
(1)如图1，若，求的度数；
(2)连接，过点作，交于点．过点作于点，
①如图2，若，试说明平分．
②连接，若，则_______（用含、的代数式表示，结果要求化简）．
1．（2025·陕西榆林·二模）如图，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、、，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖南·模拟预测）如图，在五边形中，， 分别平分和，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，、的角平分线交于点，将△ABC沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
4．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，G是上一点．若，，甲，乙两位同学分别给出了下面的结论，下列判断正确的是（ ）
甲：；乙：
A．只有甲的正确 B．只有乙的正确
C．两人的都正确 D．两人的都不正确
5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，N为上一点，直线交于M，交于F，且，若点P为射线上一点，平分，平分交于H，交于T，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ．
7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，巡逻艇在游轮A北偏东的方向上，巡逻艇在游轮北偏东的方向上，游轮位于游轮A的正东方向，则的度数为 ．
8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知△ABC的两条高相交于点O，，，则的度数为 ．
9．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在△ABC中，是的角平分线，是边上的高，如果，，那么 ．
10．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ．
11．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在△ABC中，是△ABC的角平分线，点在上，且，求的度数．
12．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在△ABC中，是△ABC的高线，是△ABC的角平分线，若，求的度数．
13．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知△中，，，求、、的度数及的面积．
14．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，在四边形中，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，．
【问题提出】
（1）如图1，求的度数；
【问题解决】
（2）如图2，点是延长线上一点，连接．
①若，请判断与是否互相垂直，并说明理由；
②若，求的度数．
15．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为_____．中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.3 三角形的内角和
【浙教版】
题型一：与平行线有关的内角和问题 1
题型二：与角平分线有关的内角和问题 6
题型三：与三角板有关的内角和问题 10
题型四：三角形内角和中相关求解 15
题型五：三角形折叠中角度问题 18
题型六：三角形内角和定理的实际应用 22
题型七：直角三角形两锐角互余 29
题型八：三角形内角和中用参数表示角度 34
题型九：三角形内角和综合应用（解答题） 40
题型十一：三角形内角和综合之多结论问题 54
题型十二：三角形内角和中与角平分线相关问题 63
知识点一 ：三角形内角和定理
内容：三角形三个内角的和等于180°。
符号表示： 在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。
关键点： 这个性质适用于任何三角形，无论其形状（锐角、直角、钝角）、大小。
题型一：与平行线有关的内角和问题
例1（23-24七年级下·全国·期末）如图，直线，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和、邻补角的运用以及平行线的性质，先由三角形内角和算出，再结合，则同位角相等，得，即可作答．
【详解】解：如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
则，
故选：D．
【变式训练1-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查与平行线有关的三角形内角和问题，先根据平行线得到，再根据是三角形内角和求出的度数．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【变式训练1-2】（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，直线，若，，则∠B的度数为 ．
【答案】/45度
【分析】本题考查了平行线和三角形内角和；解题的关键是熟练掌握平行线和对顶角的性质，从而完成求解．
根据平行线的性质得，再根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】，
，
，，
，
故答案为：．
【变式训练1-3】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，直线，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】先利用平行线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练1-4】（23-24七年级下·山东·期末）如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出的度数．
【详解】解：，，，
．，
是的角平分线，
．
在中，，，
，
故答案为：．
【变式训练1-5】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点在线段上，，，点在上，若，:，，则 ．
【答案】/度
【分析】根据题意及平行线的判定与性质推出，设，则，，根据三角形内角和定理、三角形外角性质推出，据此求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
：：，
设则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：
【变式训练1-6】（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在△ABC中，若，则 °．
【答案】/55度
【分析】先由邻补角求得，，进而由平行线的性质求得，，最后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
题型二：与角平分线有关的内角和问题
例2（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在△ABC中，，点在△ABC内部，且到三边的距离相等，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理，三角形的内角和，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由点在内部，且到三边的距离相等得平分，平分，进而求得，再根据三角形内角和定理求得，即可得解．
【详解】解：点在△ABC内部，且到三边的距离相等，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
故选：C．
【变式训练2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，平分等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理，平角的意义，掌握三角形的内角为是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
【变式训练2-2】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在△ABC中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线相交于同一点，得出平分是解题的关键．先由三角形的角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，再由三角形的三条角平分线相交于同一点，可知平分，进而可求出答案．
【详解】解：平分，，
，
平分，，
，
．
在中，、分别平分和，
平分，
，
故选：C．
【变式训练2-3】（2025·陕西安康·二模）如图，在△ABC中，于点，平分，交于点，交于点．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂直定义等知识．分别求出，，再根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵于点，
∴，
∵，，
∴
∵平分，
∴，
∴，
故选：B
【变式训练2-4】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）在△ABC中，，是△ABC的高，是的角平分线，则 ．
【答案】/15度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义．根据已知条件用表示出和，利用三角形的内角和求出，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，最后根据角平分线的定义求出即可．
【详解】解：∵，
设，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∵是的高，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式训练2-5】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知，点是上一点，的平分线和的平分线交于点，，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是关键．根据平行线的性质求出，由角平分线求出，根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵的平分线和的平分线交于点，
∴，
∵
∴
故答案为：
题型三：与三角板有关的内角和问题
例3（2025·山西吕梁·模拟预测）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，三角形内角和定理，对顶角相等等知识，由三角板可知，由平行线的性质得出，由三角形内角和定理得出，对顶角相等得出，再根据对顶角相等以及三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：由三角板可知：，
∵直尺两边平行，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B
【变式训练3-1】（2025·山西吕梁·二模）将三角尺按如图所示的方式摆放，，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和的定理、对顶角相等、平行线的性质等知识点，掌握三角形内角和定理定理成为解题的关键．
如图：由三角内角和定理以及对顶角相等可得，同理可得，最后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【变式训练3-2】（2025·湖北·三模）如图，已知直线，三角板的直角顶点放在直线上，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质．由对顶角相等可得，再根据三角形内角和为180度求出，再根据两直线平行、同位角相等，可得，结合即可求解．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选C．
【变式训练3-3】（2025·浙江丽水·二模）如图，△ABC和都是直角三角形，，，，点在上．若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出，平行求出，再根据角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选D．
【变式训练3-4】（24-25七年级下·江西抚州·期中）把直角三角尺和长方形纸片按如图所示的方式摆放，使直角顶点C在纸片边缘上，，若，则的度数为 ．
【答案】25°
【分析】本题考查了平行线的公理及性质,平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．过点作，则，根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和得出，再根据角的和差得出，最后根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】解：过点作，则
，，，
，
，
故答案为：．
【变式训练3-5】（2025·宁夏吴忠·二模）将一块含角的直角三角板按如图方式放置在纸片上，其中点，分别落在纸片边上．若，则的度数为 ．
【答案】/75度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，由已知条件可得出，由直角三角形两锐角互余以及平角的定义可得出，，再由三角形三角和定理可得出，最后根据平角的定义可求出．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-6】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，将一副三角板的一边叠合，图中的大小为 ．
【答案】75
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，由，，再结合三角形的内角和定理解答即可.
【详解】解：如图，
由题意可得：，，
∴，
故答案为：、
题型四：三角形内角和中相关求解
例4（24-25七年级下·全国·单元测试）在△ABC中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得出，结合，即可求出的度数，再根据即可求出的度数．
【详解】解：在△ABC中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【变式训练4-1】（24-25七年级下·上海·期中）在△ABC中，若，则此三角形按角分类是 三角形．
【答案】锐角
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据已知条件和三角形内角和定理求出这个三角形三个内角的度数即可得到答案．
【详解】解：∵在△ABC中，，，
∴，
∴，
∴，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角．
【变式训练4-2】（23-24七年级下·全国·课后作业）在△ABC中，，则 ．
【答案】/50度
【分析】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴；
故答案为．
【变式训练4-3】（24-25七年级下·上海闵行·期中）△ABC中，如果是的两倍，且比大，那么△ABC是 三角形．（按角分类）
【答案】直角
【分析】本题考查的是三角形内角和定理．设，得到，，根据三角形内角和定理，列式计算求得各内角的度数，根据角度来判定三角形的类别．
【详解】
解：设，
∵是的两倍，
∴，
∵比大，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，，
∴是直角三角形．
故答案为：直角．
【变式训练4-4】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在△ABC中，交线段于D，，，则 度．
【答案】
【分析】本题考查求三角形内角和定理，根据求出，根据角的和差关系计算即可得答案．
【详解】解：如图所示：
∵交线段于D，
∴在△ABC的内部，
在中，，，
，
，
．
故答案为：．
题型五：三角形折叠中角度问题
例5（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，角平分线的定义，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可知，，，结合平分，可得，推出，
，根据，即可求解．
【详解】解：由折叠可知，，，
平分，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，即，
，
．
故选：A．
【变式训练5-1】（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在△ABC中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解．
【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴
∴,
故选：C．
【变式训练5-2】（24-25八年级上·重庆荣昌·期中）如图所示，将△ABC沿翻折，点落到了点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
由折叠的性质可知，，再利用平角的定义可求出的度数，进而利用三角形内角和可求的度数．
【详解】由折叠的性质可知，，
∵，
∴
∴．
故选：A．
【变式训练5-3】（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，补角的概念的运用，根据折叠可得，由三角形内角和定理可得，则，再根补角的性质可得，即可求解．
【详解】解：将纸片沿折叠，使点落在点处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D ．
【变式训练5-4】（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）如图1，点分别在长方形纸片的边上，与所夹的锐角，将纸片沿折叠得到图2，点落到点处；点在边上，沿进行第二次折叠得到图3，点的对称点恰好落在上，则与的夹角的度数为 ．
【答案】/40度
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键．
过点 作 ，则，，由折叠得，，再根据平角的定义即可得出答案．
【详解】解：如图，过点 作，
∴，由折叠得 ，
由折叠可得， ，
∴ ，
故答案为：．
【变式训练5-5】（24-25七年级下·广东深圳·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将△ABC纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质以及平行线的性质，正确求出的度数是解答本题的关键．
由折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理用含有的代数式表示出的度数，再根据三角形的外角性质可得的度数，进而得出的度数．
【详解】解：将△ABC纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
题型六：三角形内角和定理的实际应用
例6（2025·江苏淮安·二模）某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先由平角的定义得到的度数，再由平行线的性质得到的度数，据此根据三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练6-1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形的性质的应用，根据直角三角形的两锐角互余，同角的余角相等可得结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
【变式训练6-2】（2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图是小海为学校即将举办的“首届数学核心素养展示大赛”制作宣传海报时设计的艺术数字“1”，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，解答此题的关键是熟练掌握三角形的内角和平行线的性质．
延长交于点，过点作交于点，根据可求出，根据可求出，再证得，然后利用三角形的内角和定理可求出的度数．
【详解】延长交于点，过点作交于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【变式训练6-3】（24-25七年级下·广东湛江·期中）如图，其中图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度．
【答案】155
【分析】本题主要查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，平行线的性质是解题的关键．
延长交于点N，根据直角三角形两锐角互余可得，从而得到，再根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解∶如图，延长交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：155
【变式训练6-4】（2025·江西·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和性质，对顶角的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形内角和性质列式计算，求出的度数．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，
．
故答案为：
【变式训练6-5】（2025·山东威海·一模）图1是某品牌自行车放置在水平地面的实物图，图2是其几何示意图，其中，都与地面平行，，，若，则 度．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练知识相关知识点是解题的关键．
根据题意得到，得出，根据三角形内角和定理求出，由得到，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练6-6】（24-25七年级下·广东广州·期中）【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等，如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．
【探究应用】如图2，激光笔与水平天花板的夹角为，将支架平面镜的点B一端固定在水平桌面上，调节支架平面镜，调节角为．激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线为
①若，反射光线与相交于点H，则的度数为 ；
②若反射光线恰好与平行，则的度数为
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键．
过点G作，则，由平行线的性质可得，则可得到，由光的反射定律可得，由平角的定义求出的度数，再根据三角形内角和定理可得答案；
（2）可证明，得到；过点G作，则，可证明，则．
【详解】解：①如图所示，过点G作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由光的反射定律可得，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，，
∴，
∴；
如图所示，过点G作，则，
由光的反射定律可得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
知识点二 ：直角三角形的性质推论
内容： 直角三角形的两个锐角互余。
符号表示： 在Rt△ABC中，∠C = 90°，则 ∠A + ∠B = 90°。
解释： 因为∠A + ∠B + ∠C = 180°，且∠C = 90°，所以剩余的两个锐角之和必须是90°。
应用： 已知直角三角形一个锐角，可求出另一个锐角。
题型七：直角三角形两锐角互余
例7（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线，平分，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，平角定义，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
由，，得，，再通过角平分线定义得，然后由直角三角形的性质，最后由角度和差即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练7-1】（2025·河北石家庄·一模）一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角板中角度的计算，直角三角形两锐角互余，垂直的定义，理解图示，掌握角度的和差计算是关键．
根据三角板的特点得到，根据垂直的定义，直角三角形两锐角互余得到，，由对顶角相等得到，则，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，根据题意可得，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练7-2】（2025·陕西西安·二模）如图，，点、分别在、上，于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，根据平行线的性质可得出，由直角三角形两锐角互余可得，由平角的定义可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴
∴
又
∴
故选：D．
【变式训练7-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在△ABC中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质，首先根据三角形内角和定理，可以求出，根据直角三角形两锐角互余可以求出，根据邻补角定义可以求出．
【详解】解：在△ABC中，，
又，
，
，
，
，
．
故选：B．
【变式训练7-4】（2025·重庆·一模）如图，在中，于点，交于点，，则 ．
【答案】/70度
【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
根据直角三角形的两个锐角互余计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【变式训练7-5】（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，中，于点，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式训练7-6】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在△ABC中，于点是的平分线，交于点，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线及高线性质，解答的关键是沟通未知角和已知角的关系．利用内角和定理分别求出与，由角平分线定义得，即可求出．
【详解】解：，
．
，，
．
是的平分线，
．
．
故答案为：．
【变式训练7-7】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，△ABC中，为△ABC的高，，，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的高的定义，由，设，则，，进而利用直角三角形的两锐角互余求得，从而即可得解．
【详解】解：由
，设，则，
∴，
∵为△ABC的高，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
题型八：三角形内角和中用参数表示角度
例8（2025·江苏南京·二模）如图，在△ABC中，是高，是角平分线，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，先根据三角形内角和定理，求出的度数，然后根据角平分线的定义，求出的度数，再次利用三角形内角和定理，求出的度数，最后根据求出答案即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∵是高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练8-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要查了平行线的性质，三角形内角和定理．设交于点F，根据平行线的性质，可得，从而得到，再由三角形内角和定理解答即可．
【详解】解：如图，设交于点F，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D
【变式训练8-2】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，点为和的角平分线的交点，连接，作△AOB的一条角平分线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，根据角平分线定义可得，，从而可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是和平分线，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴,
故选：A．
【变式训练8-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，，，平分，平分交于点，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键．
连接，根据平行线的性质及角平分线的定义得出，，再根据三角形的内角和得出，再次利用三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：连接，
，，
，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
即，
，
故选D．
【变式训练8-4】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，直线被直线所截，且的平分线交直线于点于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，平行线的性质，掌握平行线的性质求角度的计算是解题的关键．
根据直角三角形两锐角互余得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，根据角平分线的定义得到，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，由此即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：A ．
【变式训练8-5】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，已知，P为直线，外一点，平分，平分，的反向延长线交于点E，若，用表示的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质得出，，平行线的性质得出，，进而根据三角形内角和得出、，再得到和的关系，然后即可用表示．
【详解】解：延长交于点G，延长交于点H，如图所示：
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴
∴．
故选：D．
题型九：三角形内角和综合应用（解答题）
例9（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，已知为上一点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若为上一点，，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
（1）利用平行线的性质及等量代换得出，根据同位角相等两直线平行即可得出结果；
（2）根据平行线的性质和三角形内角和定理得出，再利用平行线的性质即可求出结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
，
，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∴，
，
，
，
又，
∴的度数为．
【变式训练9-1】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在△ABC中，，于，平分
(1)若，求的度数．
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)4.8
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，与三角形的高有关的计算.
（1）根据三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；
（2）等积法求出的长即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，平分
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练9-2】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，．
(1)请判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)，理由见详解
(2)
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，垂直的定义，三角形内角和定理，掌握以上知识，数形结合分式是关键．
（1）根据垂直于同一条直线的两直线相互平行得到，根据内错角相等，两直线平行得到，根据平行于同一条直线的两直线相互平行即可求解；
（2）根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义，平行线的性质得到，，，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练9-3】（24-25七年级下·重庆·期中）在△ABC中，是的角平分线，是△ABC的高线，与交于点，过点作交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由平行性质、角平分线定义，数形结合表示，代入即可得证；
（2）由三角形高线定义得到，再由三角形内角和定理，数形结合表示出即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是△ABC的高线，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【变式训练9-4】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，，，分别是，上的点，已知．
(1)试说明．
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定与性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定与性质是解决问题的关键．
（1）根据直角三角形性质得，再根据得，然后根据同位角相等两直线平行即可得出结论；
（2）先求出，再根据（1）的结论得，然后根据角平分线的定义即可得出的度数．
【详解】（1）证明：在中，，
，
，
，
；
（2）解：，，
由（）可知：，
，
，
平分，
．
【变式训练9-5】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，垂足为分别是的平分线，与相交于点O．
(1)若，求的度数．
(2)设，用x，y的代数式表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线定义，解题的关键是数形结合熟练掌握相关的定义．
（1）根据角平分线的定义，可得，再由三角形内角和定理可得，即可求解；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得，再由三角形内角和定理可得，然后根据角平分线的定义，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵分别是的平分线，
∴，
∴，
∵在△ABC中，，
∴，
∴．
（2）解：∵是边上的高，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
题型十：三角形内角和中需分情况讨论题型
例10（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在△ABC中，为边上的高，，，则
【答案】或
【分析】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和是，分类讨论思想是解题的关键．分两种情况画出相应的图形，再根据三角形的高以及内角和定理可求出的度数，由图形中角的和差关系进行计算即可．
【详解】解：如图1，∵为边上的高，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图2，∵为边上的高，
∴，
又∵
∴，
∴；
故答案为：或．
【变式训练10-1】（24-25七年级下·重庆·期中）已知点E为△ABC中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查三角形内角和，直角三角形的两个锐角互余，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
分情况讨论：当或当时，根据三角形内角和，和直角三角形的两个锐角互余分别求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
当时，为直角三角形,
此时，
当时，为直角三角形,
∵
∴，
故答案为：或．
【变式训练10-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，点，分别是，边两个动点．将△ADE沿折叠得到△FDE，点的对应点为点，的平分线交直线于点．若边与△ABC的一条边平行，，则的度数为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查了角平分线的有关计算、三角形内角和定理及平行线的性质．分三种情况，分别作出三种情况下相应图形，并结合平行线的性质求出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
①如下图：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
②如下图：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
③如下图：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：或或．
【变式训练10-3】（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知一个角为，另一个角为，且它们两边分别垂直，那么这两个角分别为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了垂线的定义，三角形内角和定理，分解析中两幅图所示，可知两个角的两边分别垂直时，这两个角相等或互补，据此建立方程求解即可．
【详解】解：如图所示，与的两边分别垂直，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴这两个角分别为；
如图所示，与的两边分别垂直，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴这两个角分别为；
综上所述，这两个角分别为或，
故答案为：或．
【变式训练10-4】（2025·青海西宁·一模）定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若是“准直角三角形”，且，，则的度数为 ．
【答案】1或
【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．根据新定义，分类讨论，或，根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：是准直角三角形，
或，
当，
而，
，
，
，
当，
，
，
，
解得，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
【变式训练10-5】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，，△ADE是直角三角形，，，且边与重合，将△ADE绕点以每秒顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，．
【答案】5或35/35或5
【分析】本题考查平行线的性质，能根据题意画出示意图及熟知平行线的性质是解题的关键．分两种情况画出示意图，再利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：当在上方时，如图，
∵，
∴，
又∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴；
当在下方时，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，第5或35秒时，边与边平行．
故答案为：5或35．
【变式训练10-6】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在△ABC中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
先由三角形的内角和定理求出，然后分当时和当时两种情况分析即可．
【详解】解：∵，，
∴，
如图，当时，
∴；
如图，当时，
∴，
∴；
故答案为：或．
【变式训练10-7】（24-25八年级上·福建厦门·期中）在三角形中，如果一个角是另一个角的4倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“高倍三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（规定）．当△ABC为“高倍三角形”时，的度数为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“高倍三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．根据“高倍三角形”的概念，分类讨论即可．
【详解】解：设，则，
∵
∴
∵△ABC为“高倍三角形”
当时，
即，解得：；
当时，
即，解得：（舍）；
当时，
即，解得：；
当时，
即，解得：；
当时，
即，解得：；（舍）
当时，
即 ，解得：；（舍）
故答案为：或或
题型十一：三角形内角和综合之多结论问题
例11（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，，在上，过作，平分∠FEC，平分．若，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）个
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】此题考查了三角形角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和，熟记三角形角平分线的定义、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理是解题的关键．
根据角平分线的性质、三角形外角性质及三角形内角和求解即可．
【详解】解：∵平分
，
设，
，
，
，
，，
∴，
，,
，即，
，
，故①正确；
∵平分，
∴，故②正确；
∵，
∴，即故③正确；
，，
∴，即，
∴，
∴，故④正确；
综上所述：正确的结论是①②③④．
故选A．
【变式训练11-1】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，，平分，平分，且．有下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质和判定，与角平分线有关的计算，互余的角等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质．
根据平行线的性质和判定方法，结合角平分线的定义结合平角的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：①∵平分，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
故①正确；
②根据条件得不到，，
∴无法得到平分，
故②错误；
③∵平分，
,
又∵，且 ，
，
∴，
故③正确；
④∵，
，
又，
，
在中，，
，
即，
故④正确；
综上，正确的有①③④．
故选：C．
【变式训练11-2】（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，四边形中，，点E在的延长线上，连接与交于点F，，比的余角小，点H、G在上，且，平分．下列结论：①；②是的平分线；③；④，其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、余角和补角、角平分线的定义以及三角形内角和定理，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
由可得出，又，可推出结论①正确；②由，进而可得出，可得出结论②不正确；③由可得出，结合∠EFA比∠FCD的余角小10°，可求出的度数，再由结合三角形内角和定理可求出，结论③正确；④根据角平分线的定义可得出，，结论④正确；综上所述即可得出结论．
【详解】解：①，
，
，
，
，
，①正确；
②，
，
，
，
平分，②不正确；
③，
，
比的余角小，
，
，
，
又，
，③正确；
④平分，
，
平分，
，
，
又，
，④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：B．
【变式训练11-3】（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，在△ABC中，，，△ABC的高与中线相交于点，则以下结论正确的是（ ）
；；； ．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形角平分线、高线、中线的定义，三角形内角和定理，根据中线得定义可以判断；根据角平分线的定义可以判断；根据高线定义和三角形的内角和定理可以判断；根据三角形的内角和定理及等边对等角可以判断，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵是中线，
∴，故正确；
∵是中线，
∴与不一定相等，故不一定正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
综上可知：正确，
故选：．
【变式训练11-4】（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在△ABC中，，，分别平分和，且相交于，，于点，则下列结论：①；②平分；③；④；⑤．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明，，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断④⑤；根据现有条件无法推出②．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，，，
∴，，即，
∴，
又∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，分别平分和，，
∴，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴，故⑤正确；
，
∴
根据现有条件，无法推出为等腰三角形，
无法推出平分，故②错误；
综上所述：正确的结论有①③④⑤，
故选∶C．
【变式训练11-5】（24-25八年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，在△ABC中，交于点D，是角平分线，延长交△ABC的外角的平分线于点F，点H为上一点，且，则下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】先由，得根据角平分线的定义及对顶角的性质得，据此可对结论①进行判断；利用三角形外角性质及角平分线的定义可得出，再证，据此可得，然后根据可对结论②进行判断；
假设平分，则，然后证，由此可求出，然而根据已知条件无法判定，因此假设平分是错误的，故结论③得到判定；
由结论①正确得，再由得，由结论②正确得，则，再由可得出，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①∵
∴
∵平分，
∴
∴.
又∵
∴.
所以①正确；
②∵，
∴.
∵是的平分线，
∴.
∵
∴，
即：，
∴.
∵，
∴，
即：，
所以②正确；
③假设平分，则，
由结论②正确得：，则，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵平分，，
∴，
即：.
∵，
∴，
根据已知条件无法判定，因此假设平分是错误的．
所以③不正确；
由结论①正确得：，
∵，即：，
由结论②正确得：，则，
∵，，
∴，
∴，
∴．
所以④正确．
综上所述：正确的结论是①②④．
故选：C．
题型十二：三角形内角和中与角平分线相关问题
例12（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）如图1，在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边于点D．
(1)①若，则_____；
②与之间的等量关系是_____．
(2)如图2，作△ABC外角的平分线交的延长线于点F．
①求证：；
②若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．
【答案】(1)①110；②
(2)①见解析；②所有符合条件的旋转角度α的值是或
【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义可得，即可求解；②根据角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理求解即可；
（2）①根据角平分线的定义可得，从而得到，再由，可得，即可求证；②由①得：，再结合，可得，，然后根据角平分线的定义可得，再由，可得，从而得到，再由旋转的性质可得，然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：①在中，，
∴，
∵三个内角的平分线交于点O，
∴，
∴，
∴；
故答案为：110；
②在中，，
∵三个内角的平分线交于点O，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
（2）解：①∵，，
∵平分，平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②由①得：，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点O顺时针旋转一定角度后得，
∴，
如图，
∵，
∴，
∴，
即此时的旋转角为；
如图，
∵，
∴，
∴；
综上所述，所有符合条件的旋转角度的值为或．
【变式训练12-1】（24-25七年级下·重庆万州·期中）如图，在 △ABC中，点 D 在 上，过点 D 作 ，交于点E， 平分，交的平分线于点P，与相交于点G，的平分线与 相交于点Q．
(1)若，，则______ °，______ °；
(2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化，求出、∠Q的度数 （用m的代数式表示）；
(3)若中存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出所有符合条件的 ∠A 的度数．
【答案】(1)114；24
(2)不变；为，为
(3)或或或
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）设，由（2）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于α的等式，解出α即可．
【详解】（1）∵，，
∴．
∵平分，
∴根据角平分线的性质，．
∵，
∴根据平行线的性质，，．
∵平分，
∴根据角平分线的性质，．
∴；
∴．
∵平分，平分，
∴根据角平分线的性质，，．
∵，
∴，即，
∴．
故答案为：114，24；
（2）∵，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，平分，
∴，．
∴
．
∴
由（1）可知不变，
∴．
（3）设，
由（2）可知，．
∵，
∴可分类讨论：①当时，
∴，
解得：，
∴；
②当时，
∴，
解得：，
∴；
③当时，
∴，
解得：，
∴；
④当时，
∴，
解得：，
∴．
综上可知或或或 ．
所以的度数为或或或 ．
【变式训练12-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，如图1，△ABC中，平分，平分，与交于点M．
(1)当时．
①求的度数；
②若于N，求图中的值；
(2)若，，求（用含x，y的代数式表示）．
【答案】(1)①②
(2)
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，列代数式，关键是由角平分线定义、三角形内角和定理推出，由三角形的外角性质推出，
（1）由角平分线定义得到，由三角形内角和定理推出，即可求出，②由三角形内角和定理求出，得到，得到；
（2）由三角形的外角性质推出，而ニ，即可得到．
【详解】（1）解：平分平分，
，
，
，
，
，
，
于，
，
，由知，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
．
【变式训练12-3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，，点在直线和之间，且在直线的左侧，
(1)如图1，若，求的度数；
(2)连接，过点作，交于点．过点作于点，
①如图2，若，试说明平分．
②连接，若，则_______（用含、的代数式表示，结果要求化简）．
【答案】(1)
(2)①见解析②或
【分析】（1）过点作，证明，再利用平行线的性质可得结论；
（2）①当时，，结合平行线的性质可得，可得．进一步可得结论；②如图，当在左边时，当在右边时，如图，再结合三角形的内角和定理可得答案.
【详解】（1）解：如图1，过点作．
．
∵，
∴，
．
．
∴，
，
．
（2）解：①当时，，
∵，
，
∵，
，
，
，
，
，
．
，
平分．
②或；理由如下：
如图，当在左边时，
∵，，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∵，
∴，
∴；
当在右边时，如图，
同理可得：
；
综上或.
1．（2025·陕西榆林·二模）如图，直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、、，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理计算解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
2．（2025·湖南·模拟预测）如图，在五边形中，， 分别平分和，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义求出，最后由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵ 分别平分和，
∴，
∴，
∴
故选：B．
3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，、的角平分线交于点，将△ABC沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案．
【详解】解：由折叠可知：，，
∴，．
∴，
又∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
4．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，，，G是上一点．若，，甲，乙两位同学分别给出了下面的结论，下列判断正确的是（ ）
甲：；乙：
A．只有甲的正确 B．只有乙的正确
C．两人的都正确 D．两人的都不正确
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键是利用已知条件求出相关角的度数，并依据角的关系判断直线是否平行．
先根据与的数量关系及度数求出，再由得出判断甲的结论；然后在中用内角和定理求，进而得，通过比较与判断乙的结论．
【详解】∵，，
∴ ．
∵，
∴ ，所以甲的结论正确．
在中，已知，，
∴ ．
， ， ，
所以与不平行，乙的结论错误．
综上，只有甲的正确，
故选：A．
5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，N为上一点，直线交于M，交于F，且，若点P为射线上一点，平分，平分交于H，交于T，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，分点P在线段上和在射线上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当点P在线段上时，如图：
∵平分，平分，
∴，，
设，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点P在射线上时，如图：
∵平分，平分，
∴，，
设，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上：或；
故选：D．
6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质，分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握翻折的性质．
分类讨论，当时和当时，分别利用翻折的性质即可求解．
【详解】解：当时，则，
根据翻折的性质得，；
当时，，
，
根据翻折的性质得，；
故答案为：或．
7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，巡逻艇在游轮A北偏东的方向上，巡逻艇在游轮北偏东的方向上，游轮位于游轮A的正东方向，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了方位角，三角形内角和定理等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键．
先求出、的度数，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，，
∴．
故答案为：．
8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知△ABC的两条高相交于点O，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的高线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和，掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据三角形高线的定义，可知，再利用直角三角形的性质得到，最后利用三角形的内角和即可解答．
【详解】解：∵的两条高相交于点，
，
，
，
∴在△ABC中，，
故答案为：．
9．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在△ABC中，是的角平分线，是边上的高，如果，，那么 ．
【答案】15
【分析】此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，结合垂直的定义根据三角形内角和定理求出，然后根据求解即可．
【详解】解：，，，
，
是的角平分线，
，
是边上的高，
，
，
．
故答案为：15．
10．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案．
【详解】解：设，
∵将△ABC沿翻折， 使得点B落在 处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵沿翻折，使得点C 落在处．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
11．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在△ABC中，是△ABC的角平分线，点在上，且，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质得到，由角平分线的定义可得的度数，据此根据三角形内角和定理可求出答案．
【详解】解：，
．
是的角平分线，
．
在中，，
．
12．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在△ABC中，是△ABC的高线，是△ABC的角平分线，若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了有关三角形的高线、角平分线的角度计算；设，，，由三角形内角和定理得，求出△ABC三个内角的度数，结合三角形平分线及高线，即可求解；能熟练利用三角形的高线、角平分线进行角度计算是解题的关键．
【详解】解：，
设，
，，
，
解得：，
，
，，
是的角平分线，
，
是的高线，
，
，
，
故的度数为．
13．（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知△中，，，求、、的度数及的面积．
【答案】，，
【分析】本题考查了三角形的内角和以及三角形的分类，三角形的面积，根据题意设、、的度数分别为 、、，根据三角形内角和定理得出 、 ，则 是等腰直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：设、、的度数分别为 、、，
由三角形内角和定理可得：
解得
所以 、 ，
所以是等腰直角三角形，,
则
14．（24-25七年级下·陕西安康·期中）如图，在四边形中，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，．
【问题提出】
（1）如图1，求的度数；
【问题解决】
（2）如图2，点是延长线上一点，连接．
①若，请判断与是否互相垂直，并说明理由；
②若，求的度数．
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是：
（1）根据平行线的性质求出，，，然后根据三角形的内角和定理求解即可；
（2）①根据三角形的内角和定理求出，即可得出结论；
②设，则，根据三角形内角和定理构建关于x的方程求解看．
【详解】解：（1）∵， ，
∴，
∵，，，
∴，，
∴；
（2）①
理由：由（1）知，
∵，
∴，
∴；
②设，则，
根据题意，得，
∴，
即．
15．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为_____．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)6
【分析】本题考查了图形平移性质、三角形内角和定理以及相关角度和面积的计算．解题关键是利用平移性质得到角与面积的等量关系，结合三角形内角和等知识求解角度与面积．
（1）利用平移性质得到对应角相等，进而推出两直线平行，再依据平行线性质得出与已知角相等，结合较大锐角为，求出度数．
（2）先由第一问结论得到度数，根据已知度数求出，再在中利用三角形内角和定理求出，从而得出结论．
（3）根据平移性质可知，又因为，结合三块阴影部分面积和为，通过面积关系的等量代换，得出一个直角三角板的面积．
【详解】（1）解：是由向左平移得到的
∵
，
∴；
（2）由（1）可知：
∵
在中，
（3）∵三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，
∴，
∵，三块阴影部分的面积之和为6，
∴，
∴一个直角三角板的面积为6．
故答案为：6．
