第四章 相似三角形 同步测试卷（含部分解析） 2025-2026学年浙教版九年级数学上册-普通用卷

第四章相似三角形同步测试卷 2025-2026学年浙教版九年级数学上册
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
1.如图，与相似，则，的值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.如图，在中，，分别与，相交于点，，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果：：，，那么等于( )
A. B. C. D.
4.如图，已知与中，，点在上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是( )
A. B. C. D.
5.为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点，再在河的这一边选点和点，使得，然后再在河岸上选点，使得，设与交于点，如图所示，测得米，米，米，那么这条河的大致宽度是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6.如图，已知∽，：：，则下列等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长当短臂端点下降时，长臂端点升高杆的宽度忽略不计( )
A. B. C. D.
8.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第个小孔成倒像的实验如图，解释了小孔成倒像的原理，并在墨经中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据如图：物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若，则______．
10.已知线段，点在线段上，且，则的长为______．
11.如图，在，点，分别在边上，，且，则的值为 ．
12.如图，在中，，则
13.如图，相交于点，若，则 ．
14.在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，位似比为：，把扩大，则点的对应点的坐标是______．
15.如图，添加一个条件： ，使∽，写出一个即可
16.如图，在中，，，动点从点开始沿边运动，速度为；动点从点开始沿边运动，速度为，当点与点重合时，停止运动如果，两点同时运动，设运动时间为秒，当______秒时，由、、三点连成的三角形与相似．
三、解答题：本题共6小题，共52分。
17.本小题分
如图，已知点是坐标原点，小方格的边长为，，，都在格点上，边与轴交于点．
以点为位似中心，在轴的上方将放大到原图的倍，即新图与原图的相似比为，画出对应的顶点用实心黑点标记一下；
直接写出四边形的面积：______．
18.本小题分
如图，已知：，，，，．
求证：∽．
19.本小题分
已知如图，在中，点在边上，，是的角平分线，交于点．
求证：∽；
求证：：：．
20.本小题分
如图，在中，为边上一点，．
求证：；
若，，求的长．
21.本小题分
如图，四边形是平行四边形，于点于点．
求证：
当时，求的长．
22.本小题分
如图，四边形为菱形，点在的延长线上，．
求证：∽；
当，时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：与相似，
由图可知，∽，
，即，
解得：，，
经检验：是方程的解，
故，
2.【答案】
【解析】 ，
∽，
．
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
根据平行线分线段成比例定理得到，则，然后利用可计算出的长．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【解答】
解：，
，
，
，
，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：、，，
，故A选项无法判定；
B、，，
由勾股定理易知，
，
，故选项B可以证明相似；
C、，
，
，
，故选项C可以证明相似；
D、，，
，故选项D可以证明相似；
故选：．
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．
5.【答案】
【解析】解：，，
．
又，
∽．
，即．
解得：米．
故选：．
先证明∽，然后依据相似三角形的性质求解即可．
本题主要考查的是相似三角形的应用，依据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：∽，
，不一定成立；
，不成立；
，不成立；
，成立，
故选：．
根据相似三角形的性质判断即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等、相似三角形多边形的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形在实际生活中的应用，得出比例关系式是解题关键．栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形：∽，利用对应边成比例得出，即可解题．
【解答】解：如图，
设长臂端点升高米，
由题意，，，
∽，
，
，
解得：，
即长臂端点升高．
故选C．
8.【答案】
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用题意画出图形，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：如图，由题意知：点到的距离为，点到的距离为，，
，
，
，
，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：，
，
故，
则．
故答案为：．
直接利用已知将原式变形进而得出，之间的关系进而得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．
方法一：根据黄金分割的定义得到点是线段的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．
方法二：设，列关于的一元二次方程，解方程即可得解．
【解答】
解：方法一：，
点是线段的黄金分割点，，
，
故答案为：．
方法二：设，则，
则由，得，
化简得，
解得，
表示线段的长度，，
，
故答案为．
11.【答案】
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据，得到，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】易知的三个内角分别为，，，故三边长的比为．
13.【答案】
【解析】【分析】本题了相似三角形的判定与性质，证明，即可求解．
【详解】解：，
，，
，
又，
，
，即，
，
故答案为：．
14.【答案】或
【解析】解：以原点为位似中心，位似比为：，把扩大，点的坐标为，
则点的对应点的坐标为或，即或，
故答案为：或．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
15.【答案】答案不唯一
【解析】解：由题意得，公共角，
则可添加：，利用两角法可判定∽．
故答案可为：答案不唯一．
相似三角形的判定有三种方法：
三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
由此可得出添加的条件．
本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．
16.【答案】或
【解析】解：在中，，，动点从点开始沿边运动，速度为；动点从点开始沿边运动，速度为，设经过秒时，与相似，
，，，
，
当 时，∽，
即，
解得：；
当 时，∽，
即，
解得：，
综上所述：经过或秒时，与相似，
故答案为：或．
设经过秒时，与相似，根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定，准确分析题意列出方程求解是解题的关键．
17.【答案】见解答．
．
【解析】如图，即为所求．
四边形的面积为．
根据位似的性质作图即可．
利用割补法计算即可．
本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
18.【答案】证明：，，，．
，，
，
，
∽．
【解析】本题重点考查了相似三角形的判定定理，先证得，再加上，根据相似三角形的判定定理即可证得结论．
19.【答案】见解析；
见解析．
【解析】证明：平分，
，
设，，
，，
，
又，
∽；
∽，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
：：．
角平分线得到，三角形的内角和定理，得到，进而得到∽即可；
根据∽，得到，，推出，证明∽，得到，进而得到，等量代换即可得出结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上性质是解题的关键．
20.【答案】解：，，
；
，
，
，，
．
【解析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
根据相似三角形的判定即可求出答案．
根据相似三角形的性质即可求出的长度．
21.【答案】【小题】
证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
，
．
，
；
【小题】
解：，
，即，
．

【解析】
先由平行四边形的性质得到，，再由垂直的定义得到，据此可证明，得到，即．

根据相似三角形的性质，可得，据此代入数值计算即可．本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定．
22.【答案】【小题】
证明：四边形为菱形，，
，，
，∽；
【小题】
解：∽，，
，，，．

【解析】 略
略
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