浙教版八上第二章《特殊三角形》2.1与2.2基础题练习（含解析）

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浙教版八上第二章《特殊三角形》2.1与2.2基础题练习
一．选择题（共4小题）
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列轴对称图形中，只有1条对称轴的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．50° C．80° D．100°
4．如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．15 B．7.5 C．6 D．4.5
二．填空题（共5小题）
5．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，在图中可画出 　 　 个以格点为顶点的三角形与△ABC成轴对称．
6．如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中∠α的度数是 　 　 °．
7．如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是30°，那么这个等腰三角形的顶角等于　 　 度．
8．已知等腰三角形的腰长为4，一个内角的度数为α，若该等腰三角形可以唯一确定，则α满足的条件是 　 　 ．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D为AB边上一动点（不与点A、B重合），当△BCD为等腰三角形时，∠ACD的度数是　 　 ．
三．解答题（共11小题）
10．（1）计算：；
（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，D是AB上一点，连接CD，若CD＝BC，求∠ACD的度数．
11．如图：在△ABC中，AB＝AD＝CD．
（1）若∠C＝40°，求∠B的度数；
（2）若∠BAD＝36°，求∠C的度数．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为21和12两部分，求此三角形的腰长及底边长．
13．已知等腰三角形三边a、b、c长分别为a＝6，b＝n+2，c＝4n﹣1，求这个三角形的周长．
14．如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝BC，DE垂直平分AB，交AC于点E，求∠EBC的度数．
15．如图，一个牧童在距小河边1千米的点A处牧马，而牧童家在河边同侧且距河边7千米的点B处，已知点A与点B的直线距离是10千米．他想先把马牵到河边去饮水，然后再回家，求他要完成这件事情所走的最短路程是多少千米．
（精确到0.1千米，参考数据：1.41，1.73）
16．如图，点P是∠AOB内部一点，现有一只蚂蚁要从P点出发，先到OA，再到OB，最后返回到点P．请作出蚂蚁爬行的最短路径（要求：保留作图痕迹，不写作法．）
17．如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何取点才能使该四边形的周长最小？
18．如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．
19．在△ABC中，AB＝AC．
（1）AD是BC上的高，AD＝AE．
①如图1，如果∠BAD＝20°，则∠EDC＝　 　 °；
②如图2，如果∠BAD＝50°，则∠EDC＝　 　 °．
（2）思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：　 　 ．
（3）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
20．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别在射线AB、AC上．
活动一：如图1所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：　 　 ．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝　 　 °．
活动二：如图2所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，则θ3＝　 　 ；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放4根小棒，则θ的范围是　 　 ．
浙教版八上第二章《特殊三角形》2.1与2.2基础题练习
一．选择题（共4小题）
题号 1 2 3 4
答案 A C A B
一．选择题（共4小题）
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：日是轴对称图形，新，月，异不是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．下列轴对称图形中，只有1条对称轴的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可．
【解答】解：A有3条对称轴，不符合题意，
B有6条对称轴，不符合题意，
C有1条对称轴，符合题意，
D有5条对称轴，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称图形及其性质，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．50° C．80° D．100°
【思路点拔】根据成轴对称的两条图形的对应角相等，进行求解即可．
【解答】解：由题意，得：∠C＝∠C′＝30．
故选：A．
【点评】本题考查成轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
4．如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．15 B．7.5 C．6 D．4.5
【思路点拔】根据△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF＝S△CEF，根据图中阴影部分的面积是S△ABC求出即可．
【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称，
∴B、C关于直线AD对称，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵△ABC的面积是：BC×AD6×5＝15，
∴图中阴影部分的面积是S△ABC＝7.5．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形BEF与三角形CEF关于AD对称，面积相等是解决本题的关键．
二．填空题（共5小题）
5．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，在图中可画出 　5　 个以格点为顶点的三角形与△ABC成轴对称．
【思路点拔】解答此题首先找到对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．
【解答】 解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．
6．如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中∠α的度数是 　36　 °．
【思路点拔】由多边形的外角和是360°，得到等腰三角形的底角72°，由三角形内角和定理即可求出∠α的度数．
【解答】解：∵等腰三角形的底角72°，
∴∠α＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
故答案为：36．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，正多边形的性质，关键是由多边形的外角和是360°，求出等腰三角形底角的度数．
7．如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是30°，那么这个等腰三角形的顶角等于　60或120　 度．
【思路点拔】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．
故答案为：60或120．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
8．已知等腰三角形的腰长为4，一个内角的度数为α，若该等腰三角形可以唯一确定，则α满足的条件是 　α＝60°或90°≤α＜180°　 ．
【思路点拔】根据等腰三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：等腰三角形的腰长为4，一个内角的度数为α，若该等腰三角形可以唯一确定，即给出α的值，只能确定一个三角形，
∵等腰三角形的腰长为4，α＝60°或90°≤α＜180°时，只能确定一个三角形，
∴α＝60°或90°≤α＜180°，
故答案为：α＝60°或90°≤α＜180°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D为AB边上一动点（不与点A、B重合），当△BCD为等腰三角形时，∠ACD的度数是　30°或15°　 ．
【思路点拔】先利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得∠B＝∠ACB＝70°，然后分两种情况：当CD＝CB时；当BD＝BC时；从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB70°，
分两种情况：
当CD＝CB时，
∴∠B＝∠CDB＝70°，
∵∠CDB是△ACD的一个外角，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝30°；
当BD＝BC时，
∴∠BCD＝∠CDB55°，
∵∠CDB是△ACD的一个外角，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝15°；
综上所述：当△BCD为等腰三角形时，∠ACD的度数是30°或15°，
故答案为：30°或15°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．
三．解答题（共11小题）
10．（1）计算：；
（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，D是AB上一点，连接CD，若CD＝BC，求∠ACD的度数．
【思路点拔】（1）由零指数幂、负整数指数幂的计算公式，立方根的定义，即可计算；
（2）由等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠B（180°﹣50°）＝65°，∠CDB＝∠B＝65°，由三角形的外角性质即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：（1）原式＝﹣3+3﹣1
＝﹣1；
（2）∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠B（180°﹣50°）＝65°，
∵CD＝BC，
∴∠CDB＝∠B＝65°，
∴∠ACD＝∠CDB﹣∠A＝65°﹣50°＝15°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，关键是掌握等边对等角，零指数幂、负整数指数幂的计算公式，立方根的定义．
11．如图：在△ABC中，AB＝AD＝CD．
（1）若∠C＝40°，求∠B的度数；
（2）若∠BAD＝36°，求∠C的度数．
【思路点拔】（1）根据等边对等角得出∠C＝∠DAC＝40°，∠B＝∠ADB，再根据三角形外角的性质得出∠ADB＝∠C+∠DAC求出∠ADB的度数，即可得出∠B的度数；
（2）根据三角形内角和定理、等边对等角结合∠BAD＝36°，求出∠B＝∠ADB的度数，再根据三角形外角的性质∠ADB＝∠C+∠DAC，结合∠C＝∠DAC即可求出∠C的度数．
【解答】解：（1）∵AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝80°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝80°；
（2）∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠BAD＝36°，
∴∠B＝∠ADB72°，
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝72°，
∴∠C＝36°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为21和12两部分，求此三角形的腰长及底边长．
【思路点拔】设腰长AB＝2x，则AD＝DC＝x，底边的长为y，分两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：设腰长AB＝2x，则AD＝DC＝x，底边的长为y，则
（1）或（2），
由（1）得：，此时，三边长为14、14、5能构成三角形；
由（2）得：，此时，三边长为8、8、17不能构成三角形；
故三角形的腰长为14，底边为5．
【点评】此题考查了学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的理解和运用．应用方程组求解是正确解答本题的关键．
13．已知等腰三角形三边a、b、c长分别为a＝6，b＝n+2，c＝4n﹣1，求这个三角形的周长．
【思路点拔】分情况讨论：若a＝b，若a＝c，若b＝c，分别根据题意求出三角形的边长，再根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：若a＝b，则n+2＝6，
解得：n＝4，
c＝4n﹣1＝4×4﹣1＝15，
∵6+6＜15，
∴不满足三角形三边关系，舍去；
若a＝c，则4n﹣1＝6，
解得：，
，
，
三角形周长为：；
若b＝c，则n+2＝4n﹣1，
解得：n＝1，
∴b＝c＝1+2＝3，
3+3＝6，不满足三角形三边关系，舍去；
综上，这个三角形的周长为．
【点评】此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，解题关键在于分情况讨论．
14．如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝BC，DE垂直平分AB，交AC于点E，求∠EBC的度数．
【思路点拔】先利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠C＝30°，从而利用三角形内角和定理可得：∠ABC＝120°，然后利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，从而可得∠EAB＝∠EBA＝30°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°，
∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA＝30°，
∴∠EBC＝∠CBA﹣∠ABE＝120°﹣30°＝90°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
15．如图，一个牧童在距小河边1千米的点A处牧马，而牧童家在河边同侧且距河边7千米的点B处，已知点A与点B的直线距离是10千米．他想先把马牵到河边去饮水，然后再回家，求他要完成这件事情所走的最短路程是多少千米．
（精确到0.1千米，参考数据：1.41，1.73）
【思路点拔】根据对称性，作点A关于小河l的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度就是牧童完成这件事情所走的最短路线．
【解答】解：过点A作点A关于小河l的对称点A′，连接A′B，
与小河l交于点P，点P就是马饮水的地方．
则A′B的长度就是牧童完成这件事情所走的最短路线．
过点A、A′分别作l的平行线与过点B作的l的垂线分别相交于M、N两点，
如图所示：
在Rt△ABM中，AB＝10，BM＝6，∴AM＝8，
在Rt△BNA′中，A′N＝AM＝8，BN＝BM+MN＝6+2＝8，
∴A′B811.3．
答：他要完成这件事情所走的最短路程是11.3千米．
【点评】本题考查了最短路线问题、近似数和有效数字，解决本题的关键是掌握轴对称性质．
16．如图，点P是∠AOB内部一点，现有一只蚂蚁要从P点出发，先到OA，再到OB，最后返回到点P．请作出蚂蚁爬行的最短路径（要求：保留作图痕迹，不写作法．）
【思路点拔】作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″与OA、OB交于点M、N，可得蚂蚁爬行的最短路径为：PM+MN+PN＝P′M+MN+P″N＝P′P″．
【解答】解：如图，
作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，
连接P′P″与OA、OB交于点M、N，
则蚂蚁爬行的最短路径为：
PM+MN+PN＝P′M+MN+P″N＝P′P″．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
17．如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何取点才能使该四边形的周长最小？
【思路点拔】作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，根据两点之间线段最短即可得到四边形ABCD即为所求．
【解答】解：作A关于OM的对称点E，再作B关于ON的对称点F，连接EF交OM于C，交ON于D，连接AC，CD，BD，
则四边形ABCD即为所求．
【点评】此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，两点之间的距离，线段最短．作出A关于OM、ON的对称点，根据轴对称的性质将四边形周长最小值问题转化为线段长度问题是解题的关键．
18．如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．
【思路点拔】作点P关于OA、OB的对称点P''、P'，连接P'P''，分别交OA、OB于点N、M，即M、N为所求．此时△PMN的周长最短．
【解答】解：如图．
作点P关于OA、OB的对称点P''、P'，连接P'P''，
分别交OA、OB于点N、M，即M、N为所求．
此时△PMN的周长为PM+PN+MN＝P''N+MN+P'M≥P'P''，
即最小值为P'P''的长度．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握两点间线段最短是解题的关键．
19．在△ABC中，AB＝AC．
（1）AD是BC上的高，AD＝AE．
①如图1，如果∠BAD＝20°，则∠EDC＝　10　 °；
②如图2，如果∠BAD＝50°，则∠EDC＝　25　 °．
（2）思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：　∠EDC∠BAD　 ．
（3）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．
【思路点拔】（1）①等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝20°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝80°，所以∠EDC＝10°．
②同理，易证∠ADE＝65°，所以∠EDC＝25°．
（2）通过①②题的结论可知，∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC∠BAD）．
（3）由于AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED，根据已知，易证∠BAD+∠B＝2∠EDC+∠C，而B＝∠C，所以∠BAD＝2∠EDC．
【解答】解：（1）①在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝20°，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝80°，
∵AD是BC上的高，
∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝10°．
故答案为：10；
②∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝50°，
∴∠BAD＝∠CAD＝50°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝65°，
∴∠EDC＝25°．
故答案为：25；
（2）∠EDC∠BAD．
故答案为：∠EDC∠BAD；
（3）仍成立，理由如下：
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC
＝2∠EDC+∠C，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠BAD＝2∠EDC，即∠EDC∠BAD．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一这一性质，即等腰三角形底边上中线、高线以及顶角的平分线三线合一．得到角之间的关系是正确解答本题的关键．
20．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别在射线AB、AC上．
活动一：如图1所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答：　能　 ．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝　22.5　 °．
活动二：如图2所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：
（3）若已经摆放了3根小棒，则θ3＝　4θ　 ；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放4根小棒，则θ的范围是　18°≤θ＜22.5°　 ．
【思路点拔】（1）先根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去；
（2）利用等腰直角三角形的性质得到∠A2A1A3＝45°，再由三角形外角的性质得到∠AA2A1+θ＝45°，由等边对等角得到∠AA2A1＝∠A＝θ，据此可得答案；
（3）本题需先根据A1A2＝AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同样道理得出θ2、θ3的值；
（4）根据（3）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去，
故答案为：能；
（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3＝45°，
∴∠AA2A1+θ＝45°，
∵A1A2＝AA1，
∴∠AA2A1＝∠A＝θ，
∴θ＝45°÷2＝22.5°；
（3）∵A1A2＝AA1，
∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ，
∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ＝2θ，
即θ1＝2θ，
同理可得：θ2＝3θ，θ3＝4θ，
故答案为：4θ；
（4）由题意得：，
∴18°≤θ＜22.5°，
故答案为：18°≤θ＜22.5°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．