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浙教版2025-2026学年八上第2章《特殊三角形》单元测试·提升卷
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列四种网络运营商的标志中，为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．已知一个等腰三角形的一边长等于4cm，一边长等于7cm，那么它的周长为（ ）
A．15cm B．18cm
C．15cm或18cm D．16cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系
【分析】分当4cm为底边长时和当7cm为底边长时两种情况讨论．
【解答】解：当4cm为底边长时，腰长为7cm，周长为7+7+4 ＝18（cm）；
当7cm为底边长时，
∵4+4＞7，
∴周长为4+4+7 ＝15（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形及三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论．
3．如今，帆船运动受到越来越多年轻人的喜爱，它不仅能让人体验大自然的惊涛骇浪，还能锻炼人的胆量和体魄．热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”．如图，已知∠D＝∠BCA＝90°，∠E＝45°，若AC∥EF，CA＝CF，连接AF，则∠CAF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．135°
【考点】等腰三角形的性质
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠DFE＝45°，再根据平行线的性质得出∠DFE＝∠ACF＝45°，然后再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠CAF的度数．
【解答】解：∵∠D＝90°，∠E＝45°，
∴∠DFE＝180°﹣（∠D+∠E）＝45°，
∵AC∥EF，
∴∠DFE＝∠ACF＝45°，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFE（180°﹣∠DFE）（180°﹣45°）＝67.5°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，准确识图，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键．
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（ ）
A．20 B．26 C．30 D．52
【考点】勾股定理
【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，
即S3＝6+10+4+6＝26．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边是解题的关键．
5．如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形
B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形
C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形
D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形
【考点】等腰三角形的判定与性质
【分析】动点Q从M点出发沿直线l向N点移动的过程中，由等边三角形，等腰三角形，直角三角形的判定，即可解决问题．
【解答】解：动点Q从M点出发沿直线l向N点移动，
当AQ＝AP＝1时，△APQ是等腰三角形；
当Q运动到A的右侧AQAP时，△APQ是直角三角形；
当AQ＝AP＝1时，因为∠PAN＝60，此时△APQ是等边三角形；
当AQ＝2PA＝2时，△APQ是直角三角形．
∴依次出现的特殊三角形是等腰三角形——直角三角形——等边三角形——直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形，等腰三角形，直角三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键．
6．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°； ②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（ ）
A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
【考点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【分析】根据题意画出图形，再根据在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°求出∠C的度数；由线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，故可得出∠DBC的度数，进而得出BD是∠ABC的平分线；由三角形内角和定理可求出∠BDC的度数；由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形．
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C72°，
故①正确；
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°，
∴BD是∠ABC的平分线，
故②错误；
∵在△BCD中，∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠C）＝180°﹣（36°+72°）＝72°．
故③错误；
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD
∴△ABD是等腰三角形；
故④正确；
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠CBD＝36°，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，故⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
7．如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角的度数全部正确的（ ）
A．50° 80° 100° 130° B．20° 50° 130° 160°
C．20° 80° 100° 160° D．20° 80° 130° 160°
【考点】直角三角形的性质
【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论即可．
【解答】解：（1）当OD与AC边的夹角为40°时，
①当OD在AC下方时，
∵∠CAD＝40°，∠DAE＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣40°＝50°；
∵∠BAC＝30°，
∴∠BAE＝30°+50°＝80°，
②当OD在AC上方时，
∵∠CAD＝40°，∠DAE＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠BAE＝30°+40°+90°＝160°；
（2）当OE与AC边的夹角为40°时，
①当OE在AC下方时，
∵∠CAE＝40°，∠BAC＝30°，
∴∠BAE＝40°﹣30°＝10°，
∴∠BAD＝10°+90°＝100°，
②当OE在AC上方时，
∵∠CAE＝40°，∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣40°﹣30°＝20°，
综上：另一条直角边与AB边的夹角可能是80°，160°，20°，100°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了与三夹板有关的角度计算，解题的关键是熟练掌握三角板的各个角度，以及正确画出图形，具有分类讨论的思想．
8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接BD交CH，EG，AF于点M，O，N，若M，O，N是BD的四等分点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理的证明
【分析】根据点D，M，O，N，D在同一条直线上，得DM＝MO＝ON＝NB，设DH＝k，依题意得AE＝DH＝k，DE＝CH，证△DHM和△DEN相似得DH：DE＝DM：DN＝1：3，则DE＝3DH＝3k，进而可求出，，则，然后在Rt△DHM中由勾股定理求出，则CM＝CH﹣HM，据此可得HM/CM的值．
【解答】解：∵M，O，N是BD的四等分点
∴DM＝MO＝ON＝NB，
设DH＝k，依题意得：AE＝DH＝k，DE＝CH，
∵∠DHC＝∠DEA＝90°，
∴HC∥AF，
∴△DHM∽△DEN，
∴DH：DE＝DM：DN＝1：3，
∴DE＝3DH＝3k，
∴CH＝DE＝3k，
在Rt△ADE中，AE＝k，DH＝3k，
由勾股定理得：AD，
在Rt△ABD中，AD＝AB，
由勾股定理得：BD，
∴DMBD，
在Rt△DHM中，DH＝k，DM，
由勾股定理得：HM，
∴CM＝CH﹣HM＝3kk，
∴．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活应用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于G，交BE于H．下列结论：①S△ABE＝S△BCE，②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【考点】等腰三角形的判定
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
10．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若，DH＝4，则这个六边形EDHIGF的面积为（ ）
A．28 B．26 C．32 D．30
【考点】勾股定理的证明
【分析】根据，DH＝4，想法把a，b，c求出来，想到作辅助线，构造直角三角形．
【解答】解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，过E作作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N，
∵∠EBM+∠CBM＝90°，∠ABC+∠CBM＝90°，
∴∠EBM＝∠ABC，
在△BME与△BAC中，
，
∴△BEM≌△BCA（AAS），
∴BM＝AB＝b，EM＝AC＝a，
同理可证△CND≌△CAB，
∴EM＝AC＝a，ND＝AB＝b，
在△EFM中，FM2+EM2＝EF2，即（2b）2+a2＝34，
在△HND中，HN2+ND2＝HD2，即（2a）2+b2＝16，
∴a，b，c．
∴S六边形EDHIGF＝S正方形BEDC+S正方形ABFG+S正方形ACHI+S△GAI+S△ABC+S△FBE+S△HCD
＝c2+b2+a2+2ab＝28．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，关键是构造直角三角形，求出a，b，c．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．把命题“两个锐角互余”改写成“如果…那么…”的形式 如果两个角是锐角，那么它们互余 ，它是一个 假命题 （填“真命题”或“假命题”）．
【考点】命题与定理
【分析】首先确定两个锐角互余的题设是两个锐角，结论是互余，然后在题设前加上如果，结论前加上那么即可．
【解答】解：命题“两个锐角互余”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是锐角，那么它们互余，它是一个假命题．
故答案为：如果两个角是锐角，那么它们互余，假命题．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题有题设和结论两部分构成，难度不大．
12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 2 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，等量代换得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到结论．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥AB，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵BE＝2，
∴DE＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
13．如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线相交于点F，过F作DF∥BC交AB于D，交AC于E，若DB＝18，DE＝8，则CE的长为 10 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
【分析】由∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线CF相交于点F得到∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠GCF，再由DF∥BC得到∠DFB＝∠CBF，∠GCF＝∠EFC，得到∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，从而得到BD＝DF，EF＝EC，然后由BD＝18，DE8得到EF＝10，从而得到CE＝10．
【解答】解：∵∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线CF相交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠GCF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠GCF＝∠EFC，
∴∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，
∴BD＝DF，EF＝EC，
∵BD＝18，DE＝8，
∴EF＝10，
∴CE＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握角平分线的定义和平行线的性质得证∠DFB＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF是关键．
14．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 8 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【分析】连接AD交EF与点M′，连接AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM+DM＝AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据等腰三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
【解答】解：连接AD交EF与点M′，连接AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABCBC AD4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM+MD＝MD+AM．
∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝2+6＝8．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
15．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，AC＝16，BO是AC边上的高，BO＝6，动点P、Q分别在边AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，CP的长为 6或 ．
【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【分析】分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：当△PQB为等腰三角形时，分为3种情况：
①当PB＝PQ时，如图1，
∵△ABC为等腰三角形，AB＝BC，AC＝16，BO是AC边上的高，BO＝6，
∴AO＝OC＝8，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：，
∴∠BAO＝∠BCO，
∵∠BPQ＝∠BAO，
∴∠BPQ＝∠BCO，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ＝∠BCO+∠CBP，
∴∠APQ＝∠CBP，
在△APQ和△CBP中，
，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴AP＝BC＝10，
∴CP＝AC﹣AP＝16﹣10＝6；
②当BQ＝BP时，
则∠BPQ＝∠BQP，
∵∠BPQ＝∠BAO，
∴∠BAO＝∠BQP，
根据三角形外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴这种情况不存在；
③如图2，当QB＝QP时，
∠QBP＝∠BPQ＝∠BAO，
∴PB＝PA，
设OP＝x，则PB＝PA＝8﹣x，
在Rt△OBP中，由勾股定理得：PB2＝OP2+OB2，
∴（8﹣x）2＝x2+62，
解得：，
∴，
∴，
综上所述，CP的长为6或．
故答案为：6或．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题．
16．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，F为CD上一点，连结AF交BD于点E，AF⊥AB，已知∠BAG＝∠ABC＝45°，且．
（1）则AB的长是 10 ；
（2）若AE＝2EF，且∠AGD+∠BCD＝180°，则AF＝ 6 ．
【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【分析】（1）延长AF交BC的延长线于点H，易得△ABH是等腰直角三角形，可证△ABG≌△HAC（SAS），所以BH＝BC+AG＝10，即可得解；
（2）由条件易证△AGE≌△HCF（ASA），得到FH＝AE＝2x，所以AH＝5x＝10，即可求解．
【解答】解：（1）延长AF交BC的延长线于点H，
∵AF⊥AB，
∴∠BAH＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴∠AHB＝45°＝∠BAG，AH＝AB，
∵AC⊥BD，
∴∠CAH＝∠ABG＝90°﹣∠AEG，
在△ABG和△HAC中，
，
∵△ABG≌△HAC（SAS），
∴CH＝AG，
∵，
∴BC+CH＝BH＝10，
在Rt△ABH中，AB2+AH2＝BH2，
即2AB2＝200，
∴AB＝10；
故答案为：10；
（2）∵∠AGD+∠BCD＝180°，∠FCH+∠BCD＝180°，
∴∠AGD＝∠FCH，
∵∠BAG＝90°，
∴∠EAG＝90°＝∠FHC，
在△AGE和△HCF中，
，
∴△AGE≌△HCF（ASA），
∴FH＝AE，
设EF＝x，则FH＝AE＝2x，
∴AH＝AE+EF+FH＝5x＝10，
解得：x＝2，
∴AF＝AE+EF＝3x＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题（共8小题，6+6+8+8+10+10+12+12=共72分）
17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC各顶点在格点上．
（1）直接写出△ABC的三个顶点的坐标A （2，2） ；B （3，0） ；C （5，4） ；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（3）△A'B'C'的面积为 4 ．
【考点】作图﹣轴对称变换
【分析】（1）由图可得答案．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）由图可得，A（2，2），B（3，0），C（5，4）．
故答案为：（2，2）；（3，0）；（5，4）．
（2）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）△A'B'C'的面积为9﹣1﹣4＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
18．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2．求证：△ABC是“梦想三角形”．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6．若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质得出BDBC＝1，再根据勾股定理求出AD的长即可得出结论；
（2）分当AC边上的中线BD等于AC时，当BC边上的中线AE等于BC时两种情况分别求解即可．
【解答】（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BDBC＝1，
由勾股定理得，AD2，
∴AD＝BC，
即△ABC是“梦想三角形”；
（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图，
BC3，
当BC边上的中线AE等于BC时，
AC2＝AE2﹣CE2，
即BC2﹣（BC）2＝62，
解得，BC4，
综上所述，BC＝3或BC＝4．
【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟记勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （16﹣t）cm （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 11秒或12 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
【考点】等腰三角形的判定；列代数式
【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出BP；
（2）结合（1），根据题意再表示出BQ，然后根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm，
故答案为：（16﹣t）cm；
（2）当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t，
∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形；
（3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11；
②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，
则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12，
综上所述：当t为11或12时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
故答案为：11秒或12．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
20．现在给出两个三角形，请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形．要求：在图（1）、（2）上分割：标出分割后的三角形的各内角的度数．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】图（1），将图中75°的角分成35°和40°的两个角，则可将图1分割成两个等腰三角形；图（2），作其中一个底角的角平分线即可．
【解答】解：如图所示：
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．主要利用两角相等来求证三角形是等腰三角形．
21．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
【考点】轴对称﹣最短路线问题
【分析】（1）由于△PCD的周长＝PC+CD+PD，而CD是定值，故只需在直线AB上找一点P，使PC+PD最小．如果设C关于直线AB的对称点为C′，使PC+PD最小就是使PC′+PD最小；
（2）作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD角OA、OB于E、F．此时△PEF周长有最小值；
（3）如图3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，此时使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短．
【解答】解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，
连接C′D交AB于点P．
则点P就是所要求作的点．
理由：在AB上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′、C'P'．
∵C和C′关于直线l对称，
∴PC＝PC′，P′C＝P′C′，
而C′P+DP＜C′P′+DP′，
∴PC+DP＜CP′+DP′
∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′
即△CDP周长小于△CDP′周长；
（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，连接PC，PD，则点E，F就是所要求作的点，
理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P、PF′、DF′，E'F'，
∵C和P关于直线OA对称，D和P关于直线OB对称，
∴PE＝CE，CE′＝PE′，PF＝DF，PF′＝DF′，
∴PE+EF+PF＝CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′＝CE′+E′F′+DF′，
∵CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，
∴PE+EF+PF＜PE′+E′F′+PF′；
（3）如图3，作M关于OA的对称点C，作N关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．连接MC，ND．
理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′F′，DF′，
∵C和M关于直线OA对称，
∴ME＝CE，CE′＝ME′，NF＝DF，NF′＝DF′，
由（2）得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′N．
【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题关键．
22．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）
（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；
（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．
【考点】勾股定理
【分析】（1）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2＝AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；
（2）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2＝AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；
（3）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2＝AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系．
【解答】解：（1）S2+S3＝S1，
由三个四边形都是正方形则：
∵S3＝AC2，S2＝BC2，S1＝AB2，
∵三角形ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1．
（2）∵S3AC2，S2BC2，S1AB2，
∵三角形ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1．
（3）∵S1AB2，S2BC2，S3AC2，
∵三角形ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1．
【点评】本题考查的是勾股定理，此题主要涉及的知识点：三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式，难度一般．
23．等腰△ABC中，AB＝AC，△ABD、△ACE都是等边三角形，直线BD、CE交于点O，直线AO、BC交于点F．
（1）如图1，当点D在AB左侧，点E在AC右侧时，∠AFC＝ 90° （不用证明）
（2）如图2，当点D在AB右侧，点E在AC左侧时，求证：∠AFC＝90°
（3）如图3，当点D在AB左侧，点E在AC左侧时，求∠AFC的度数．
【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【分析】（1）由图形即可得出结论；
（2）根据等腰三角形及等边三角形的性质可得出∠OBC＝∠OCB，进而可得出点O在线段BC的垂直平分线上，结合点A在线段BC的垂直平分线上可得出AO⊥BC，此题得证；
（3）连接BE，同（2）可得出AO⊥BE，设∠AEAO＝α，则∠BAO＝α，∠BAC＝60°﹣2α，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出∠ABC＝60°+α，再利用外角的性质可求出∠AFB＝60°．
【解答】解：（1）观察图形，可得出：∠AFC＝90°．
故答案为：90°
（2）证明：∵△ABD、△ACE都是等边三角形，
∴∠ABO＝∠ACO＝60°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，点A在线段BC的垂直平分线上，
∵∠ABC＝∠ABD+∠OBC，∠ACB＝∠ACO+∠OCB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC，
∴∠AFC＝90°．
证毕．
（3）在图3中连接BE，则AO⊥BE（证明过程同（2））．
设∠EAO＝α，则∠BAO＝α，∠BAC＝60°﹣2α．
∵∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ABC60°+α，
∴∠AFB＝∠ABC﹣∠BAO＝60°．
【点评】本题考查了等腰（等边）三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）观察图形找出∠AFC＝90°；（2）通过角的计算找出∠OBC＝∠OCB；（3）利用外角的性质求出∠AFB＝60°．
24．如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AM，BN分别是∠CAB与∠ABC的角平分线，且AM，BN相交于点O．
（1）∠AOB的度数为 135 °．
（2）求点O到AB边的距离及△AON的面积．
（3）如图2，若过点C作CD⊥AB，分别交AM，BN于P，Q两点，垂足为点D，求PQ的长．
【考点】勾股定理；角平分线的性质
【分析】（1）根据角平分线定义得到角之间的关系，再利用三角形内角和定理求出∠AOB的度数；
（2）作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，OI⊥AB于I，连接OC，先根据面积关系求出点O到AB边的距离；作NJ⊥AB于J，再根据面积比求出NA，从而得到△AON的面积；
（3）先根据面积法求出CD，根据勾股定理求出AD，再证明出CN＝CQ，并求出CN，CQ，过P作PR⊥AC于R，根据面积法求出PD，进而得到PQ的长度．
【解答】解：（1）∵OA，OB分别平分∠BAC，∠ABC，
∴∠OAB∠BAC，∠OBA∠ABC，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠OAB+∠OBA∠BAC∠ABC（∠BAC+∠ABC）90°＝45°，
在△AOB中，
∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣45°＝135°．
故答案为：135；
（2）作OG⊥AC于G，OH⊥BC于H，OI⊥AB于I，连接OC．
∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABC，
∴OG＝OI，OH＝OI，
设OG＝OI＝OH＝x，
在Rt△ABC中，
∵AC＝3，BC＝4，
∴根据勾股定理，得，
∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB，
∴，
即．
解得x＝1，
∴O到AB的距离为1；
如图，作NJ⊥AB于J．
∵BN平分∠ABC，NJ⊥AB，NC⊥BC，
∴NJ＝NC，
∴，同时，
∴，即．
又∵NC+NA＝AC＝3，
∴，即，
解得．
∵O到AB的距离为1，
∴S△AONNA×11．
（3）∵CD⊥AB，
∴，
∴．
在RtACD中，
根据勾股定理，得．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠CAD＝∠DCB，
∵∠CQN＝∠DCB+∠NBC，∠CNQ＝∠CAB+∠ABN，且∠ABN＝∠NBC，
∴∠CQN＝∠CNQ，
∴CN＝CQ，
由（2）知，，，
∴．
如图，过P作PR⊥AC于R．
∵PD⊥AB，AP平分∠BAC，
∴PR＝PD，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，
解得．
∴．
【点评】本题主要利用角平分线的性质、三角形内角和定理、勾股定理以及三角形面积公式等知识求解．掌握相关图形的性质和面积法是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025-2026学年八上第2章《特殊三角形》单元测试·提升卷
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列四种网络运营商的标志中，为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知一个等腰三角形的一边长等于4cm，一边长等于7cm，那么它的周长为（ ）
A．15cm B．18cm
C．15cm或18cm D．16cm
3．如今，帆船运动受到越来越多年轻人的喜爱，它不仅能让人体验大自然的惊涛骇浪，还能锻炼人的胆量和体魄．热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”．如图，已知∠D＝∠BCA＝90°，∠E＝45°，若AC∥EF，CA＝CF，连接AF，则∠CAF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．135°
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（ ）
A．20 B．26 C．30 D．52
5．如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形
B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形
C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形
D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形
6．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°； ②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（ ）
A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
7．如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角的度数全部正确的（ ）
A．50° 80° 100° 130° B．20° 50° 130° 160°
C．20° 80° 100° 160° D．20° 80° 130° 160°
8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接BD交CH，EG，AF于点M，O，N，若M，O，N是BD的四等分点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于G，交BE于H．下列结论：①S△ABE＝S△BCE，②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
10．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若，DH＝4，则这个六边形EDHIGF的面积为（ ）
A．28 B．26 C．32 D．30
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．把命题“两个锐角互余”改写成“如果…那么…”的形式 ，它是一个 （填“真命题”或“假命题”）．
12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 ．
13．如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线相交于点F，过F作DF∥BC交AB于D，交AC于E，若DB＝18，DE＝8，则CE的长为 ．
14．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 ．
15．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，AC＝16，BO是AC边上的高，BO＝6，动点P、Q分别在边AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，CP的长为 ．
16．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，F为CD上一点，连结AF交BD于点E，AF⊥AB，已知∠BAG＝∠ABC＝45°，且．
（1）则AB的长是 ；
（2）若AE＝2EF，且∠AGD+∠BCD＝180°，则AF＝ ．
三、解答题（共8小题，6+6+8+8+10+10+12+12=共72分）
17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC各顶点在格点上．
（1）直接写出△ABC的三个顶点的坐标A ；B ；C ；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（3）△A'B'C'的面积为 ．
18．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．
（1）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2．求证：△ABC是“梦想三角形”．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6．若△ABC是“梦想三角形”，求BC的长．
19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）BP＝ （用t的代数式表示）
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
20．现在给出两个三角形，请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形．要求：在图（1）、（2）上分割：标出分割后的三角形的各内角的度数．
21．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
22．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）
（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；
（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．
23．等腰△ABC中，AB＝AC，△ABD、△ACE都是等边三角形，直线BD、CE交于点O，直线AO、BC交于点F．
（1）如图1，当点D在AB左侧，点E在AC右侧时，∠AFC＝ （不用证明）
（2）如图2，当点D在AB右侧，点E在AC左侧时，求证：∠AFC＝90°
（3）如图3，当点D在AB左侧，点E在AC左侧时，求∠AFC的度数．
24．如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AM，BN分别是∠CAB与∠ABC的角平分线，且AM，BN相交于点O．
（1）∠AOB的度数为 °．
（2）求点O到AB边的距离及△AON的面积．
（3）如图2，若过点C作CD⊥AB，分别交AM，BN于P，Q两点，垂足为点D，求PQ的长．
