浙教版2025年八年级上册第1章《三角形的初步知识》单元检测卷 含解析

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浙教版2025年八年级上册第1章《三角形的初步知识》单元检测卷
满分120分 时间120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（共30分）
1．下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的各种线段，可以组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．1，5，6 C．3，3，6 D．1，5，5
3．若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
4．画出的边上的高，下列画法正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，平分，若，，则点D到的距离是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．8
8．聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法．
A．3 B．6 C．7 D．9
9．如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，线段相交于点，连接，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．以上命题中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共18分）
11．用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是 ．
12．如图，已知，补充一个条件 ，则可使得
13．如图，点在上，，若，，则 ．
14．如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ．
15．如图所示，线段，的垂直平分线相交于点O．若，则 ．
16．如图，在中，，，，于点A，P，Q两点分别在线段和射线上运动，，则当 时，才能使和全等．
三、解答题（共72分）
17．（8分）已知的三边长分别为a，b，c．
(1)若，，且c为奇数，求c的值；
(2)化简：．
18．（8分）已知：如图，，点D、E分别在上．求证：
19．（8分）如图，已知，，，，．
(1)求的度数及的长；
(2)与平行吗？说明理由．
20．（8分）如图，已知，请按下列要求解答问题：
(1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若的周长是，的周长是，求的长．
21．（8分）如图，在中，，是边上的高．
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的基础上，若，求的度数．
22．（10分）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求的长．
23．（10分）在中：
（1）如图，若，，边上的高，交于点O．求的度数；
（2）若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明；
（3）由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来．
24．（12分）在中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点．
(1)基础探究：如图1，当点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系．
(2)能力提升：如图2，当点在线段上（不与重合）时，探究线段，，之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）．
(3)拓展探究：如图3，当点在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段，，之间的数量关系．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C A B B C B C
1．C
【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．
【详解】解：A、，不可以组成一个三角形三边，不符合题意；
B、，不可以组成一个三角形三边，不符合题意；
C、，不可以组成一个三角形三边，不符合题意；
D、，可以组成一个三角形三边，符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】本题考查三角形的分类，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．根据三角形内角和定理及三角形按角分类的标准判断即可．
【详解】验证内角和：，符合三角形内角和为的性质；
判断角类型：和均小于，为锐角，大于，为钝角；
分类三角形：若三角形中有一个角是钝角，则为钝角三角形；
综上，该三角形是钝角三角形．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了画三角形的高，根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可，正确理解三角形的高的定义是解题的关键．
【详解】解：过点作边的垂线，垂线段为边上的高，
所以选项的画法正确．
故选：．
5．A
【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据绝对值、实数的大小比较法则解答．
【详解】解：A、当时，，但，证明命题“若，则”是假命题，符合题意；
B、当时，，，不能证明命题“若，则”是假命题，不符合题意；
C、当时，，，不能证明命题“若，则”是假命题，不符合题意；
D、当时，，，不能证明命题“若，则”是假命题，不符合题意；
故选：A．
6．B
【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
直接利用全等三角形的判定方法（），进而判断得出即可．
【详解】解：在和中，
，，（对顶角相等 ），
∴．
故选：B ．
7．B
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先利用计算出的长，然后根据角平分线的性质求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是角平分线，
∴点D到的距离等于，即点D到的距离为4．
故选：B．
8．C
【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键．
分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角，据此求解．
【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角即可；
点C与点A在同一列时，有3种选法；
点C与点B在同一列时，有3种选法；
是直角时，有1种选法；
（种）
连接A、B、C三点使三角形成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。
故答案为：C
9．B
【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质等知识点，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，即可得出结果，熟练掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解决此题的关键．
【详解】解：∵E是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴，
故选：B．
10．C
【分析】根据角平分线的定义得到，由可得，利用平行线的判定得到，可判断①；根据角平分线的定义得到，由可得，再根据平行线的判定可判断②；利用三角形内角和定理推出，再利用角平分线的定义求出，可判定③；延长交于点，利用角平分线的定义求出，利用三角形外角的性质得到，，进而得到，可判断④，即可得出结论．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故①是真命题；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
由无法证明，故②是假命题；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴
，
∴，故③是真命题；
如图，延长交于点，
∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴
，
∵，，
∴，
∴，故④是真命题；
∴真命题的个数是3．
故选：C．
【点睛】本题考查了判断命题真假、平行线的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
11．0
【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的大小比较、实数的平方、假命题的概念解答．
【详解】解：当时，，而，
说明命题“如果，那么”是假命题，
故答案为：（答案不唯一）．
12．（答案不唯一）
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据全等三角形的判定方法，一一判断即可．
【详解】解：∵，，
∴根据，可以添加，使得；
根据，可以添加，使得；
根据，可以添加，使得；
故答案为：（答案不唯一）．
13．
【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
由全等三角形的性质推出，即可求出的长．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
14．42
【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．
根据角平分线的性质可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可．
【详解】如下图，连接，过作于，于，
、分别平分和，
∴是的平分线，
∵，，
∴，
的周长是，
，
故答案为：．
15．/64度
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线．
由线段垂直平分线的性质，可得线段长度相等，从而可得角相等，根据三角形外角的性质，进行角之间的运算即可．
【详解】解：如图，连接并延长，点为延长线上的一点，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴
∴，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．6或3
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据题意分两种情况讨论，第一种情况是，第二种情况是，继而得到本题答案．
【详解】解：∵和全等，，
∴或，
当时，
∵，
∴，
当时，
∵，
∴，
故答案为：6或3．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键．
（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答案；
（2）根据三角形三边的关系可得，则，据此去绝对值求解即可．
【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c，，，
∴，
∴，即，
∵c为奇数，
∴；
（2）解：的三边长分别为a，b，c，
∴，
∴，
∴
．
18．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
证明，根据全等三角形的性质得出，根据，即可求解．
【详解】证明：在和中
，
，
，
又，
．
19．(1)，6
(2)平行，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）由得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可；
（2）由全等得到，即可得到．
【详解】（1），
，，
在中，，
，
，
；
（2），
理由：，
，
．
20．(1)见解析；
(2)的长为．
【分析】本题考查线段垂直平分线的画法，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的画法和性质．
（1）分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两个交点作直线即可；
（2）由线段垂直平分线的性质，可得，等量代换，两个三角形的周长作差，即可得的长．
【详解】（1）解：分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点和点，过点和点作直线，直线即为线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接，如下图：
（2）解：∵的周长是，
∴，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
答：的长为．
21．(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查作图-基本作图、直角三角形的性质．
（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）由题意得，，由角平分线的定义得，则．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：在中，，，
，
是的角平分线，
，
是边上的高，
，
．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可；
（2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可．
【详解】（1）证明：垂直平分，
，
，
是的垂直平分线，
，
；
（2）解：的周长为，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
23．（1）；（2）画图见解析；；说明见解析；（3）无论是锐角还是钝角，总有
【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由垂线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案；
（2）由垂线的定义得出，再由三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得解；
（3）根据（1）、（2）直接得出结论即可．
【详解】（1）解：∵，边上的高，交于点O．
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图所示：
，理由如下：
∵，边上的高，所在直线交于点O，
∴，
∵，，
∴；
（3）由（1）（2）可以得到结论：无论是锐角还是钝角，总有．
24．(1)
(2)，理由见详解
(3)图见详解，当点在线段的延长线上运动时：，当点在线段的延长线上运动时：
【分析】（1）根据证明，则可得，由点为的中点，可得，则可得，由可得；
（2）同（1）证法相同，先证，则可得，由，，可得；
（3）①当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得；
②当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴．
（2）解：当点在线段上（不与重合）时，线段，，之间的数量关系为，理由如下：
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（3）解：①如图，当点在线段的延长线上运动时，
同（1）得，
∴
∵，，
∴；
②如图，当点在线段的延长线上运动时，
同（1）得，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
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