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浙教版2025-2026学年八上第2章《特殊三角形》单元测试·基础卷
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．未来将是一个可以预见的AI时代，AI一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，周长为30，那么这个直角三角形的面积是（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
3．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE是∠ABC的角平分线，∠CAD＝18°，则∠ABE的度数是（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
4．若等腰三角形的一边长为4cm，周长为18cm，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．4cm B．10cm C．4cm或10cm D．4cm或7cm
5．如图，在△ABC中，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝6，BC＝4，则BD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，AB于M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD＝AC+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．③④
7．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（ ）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
8．如图是我国汉代赵爽给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若AE＝3，AD＝5，则小正方形EFGH的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．2个 B．4个 C．5个 D．6个
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．
①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn，正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，如果EC＝2AE，AC＝6，则DE＝ ．
12．如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm．
13．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝42°，将其折叠使点A落在BC边上的A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝ ．
15．能使两个直角三角形全等的条件有 ．
①一条直角边及其对角对应相等；
②斜边和一条直角边对应相等；
③斜边和一锐角对应相等；
④两个锐角对应相等．
16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的动点，∠AOC＝60°．
（1）当PO＝AO时，AP＝ ．
（2）当△PAB是直角三角形时，AP的长为 ．
三、解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分）
17．如图，在下列10×8正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形ABCD关于直线MN对称的四边形A′B′C′D′，并求出四边形A′B′C′D′的面积．
18．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B．
（1）求证：AE⊥AC；
（2）求DE的长．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，AC的垂直平分线EF交AB于点E，交AD于点O，交AC于点F，连接OB，OC．
（1）求证：△AOB是等腰三角形；
（2）若∠BAD＝18°，求∠AEF的度数．
22．如图，在△ABC中，∠B是锐角，AD⊥BC于点D，且∠B＝2∠C，AB＝3.5，BD＝1，求DC的长．
小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下：
证明：如图1，在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE．
∵AD⊥BC，DE＝DB，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，（依据1）
∴∠B＝∠AEB．（依据2）
∵∠B＝2∠C，
∴∠AEB＝2∠C．
又∵∠AEB＝∠EAC+∠C，
∴∠EAC+∠C＝2∠C，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE，（依据3）
∴AE＝CE＝AB，
∴DC＝DE+CE＝BD+AB＝1+3.5＝4.5．
（1）上述解题过程中的“依据1”，“依据2“，“依据3“分别指的是什么？
依据1： ．
依据2： ．
依据3： ．
（2）看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法：
证明：如图2，延长DB到点E，使BE＝AB，连接AE．……
请根据小亮的思路写出完整的解题步骤．
23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝AE．
（1）若∠BAC＝90°，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数．
（2）若∠BAC＝a（a＞30°），∠BAD＝30°，求∠EDC的度数．
（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系．（不必证明）
24．请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025-2026学年八上第2章《特殊三角形》单元测试·基础卷
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．未来将是一个可以预见的AI时代，AI一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：A不是轴对称图形，B，C，D是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握求其定义是解题的关键．
2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，周长为30，那么这个直角三角形的面积是（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【考点】勾股定理
【分析】设两条直角边分别为a，b，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：设两条直角边分别为a，b，
根据题意得，，
解得，ab＝60，
∴这个直角三角形的面积是ab＝30，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE是∠ABC的角平分线，∠CAD＝18°，则∠ABE的度数是（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
【考点】等腰三角形的性质
【分析】由等腰三角形的性质推出AD平分∠BAC，∠ABC＝∠C，得到∠BAC＝36°，由三角形内角和定理求出∠ABC＝72°，由角平分线定义求出∠ABE∠ABC＝36°．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD平分∠BAC，∠ABC＝∠C，
∴∠BAC＝2∠CAD＝2×18°＝36°，
∴∠ABC（180°﹣36°）＝72°，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE∠ABC＝36°．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，角平分线定义，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形“三线合一”的性质．
4．若等腰三角形的一边长为4cm，周长为18cm，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．4cm B．10cm C．4cm或10cm D．4cm或7cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为4cm时；当等腰三角形的底边长为4cm时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为4cm时，
∵等腰三角形的周长为18cm，
∴此等腰三角形的底边长＝18﹣4﹣4＝10（cm），
∵4+4＝8＜10，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的底边长为4cm时，
∵等腰三角形的周长为18cm，
∴此等腰三角形的腰长7（cm），
∵4+7＝11＞7，
∴能组成三角形；
综上所述：此等腰三角形的底边长是4cm，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝6，BC＝4，则BD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【考点】等腰三角形的判定与性质
【分析】根据CD平分∠ACB，BE⊥CD，证出△BDC≌△EDC，得到BC＝BE，BD＝DE即可．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵BE⊥CD，
∴∠BDC＝∠EDC＝90°，
∵CD＝CD，
∴△BDC≌△EDC（ASA），
∴BC＝CE＝4，BD＝DE，
又∵∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE，
∵AC＝6，BC＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝2，
∴BE＝AE＝2，
∴BDBE＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据已知并结合图形分析是解题的关键．
6．如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MD交AC于D，AB于M，以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线BD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD＝AC+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．③④
【考点】等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质
【分析】①由AB＝AC，∠A＝36°知∠ABC＝∠C＝72°，MN是AB的中垂线知AD＝BD，∠ABD＝∠A＝36°，所以∠DBC＝36°①正确．
②由①和∠ABC＝72°，可得∠ABD＝36，所以∠ABD＝∠CBD，所以线段BD是△ACB的角平分线，三角形的角平分线是线段，不是射线，②错误．
③由①知，DA＝BD，△BCD的周长＝BC+CD+BD＝AC+BC，③正确．
④由①知∠AMD＝90°，而△BCD为锐角三角形，所以④错误．
【解答】解：由AB＝AC，∠A＝36°知∠ABC＝∠C＝72°，
∵MN是AB的中垂线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝36°，
∴∠C＝∠CDB＝72°，
∴△CDB是等腰三角形，
∴①正确，
又∵∠ABC＝72°，
∴∠ABD＝36°，
∴线段BD是△ACB的角平分线，
∵三角形的角平分线是线段，
∴②错误，
由AD＝BD，AB＝AC知，△BCD的周长＝BC+CD+BD＝AC+BC，
∴③正确，
∵AM⊥MD，而△BCD为锐角三角形，
∴④错误，
∴正确的为：①③．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质及等腰三角形性质的综合应用，是基础题，要熟练掌握．
7．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（ ）
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
【考点】直角三角形的性质
【分析】根据直角三角形的性质逐项判定可求解．
【解答】解：A．∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，
∵∠BAP＝∠B，
∴∠CAP＝∠C，
∴AP＝PC，
只有当∠B＝30°时，AC＝PC，故错误；
B．∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP+∠CAP＝90°，
∵∠BAP＝∠C，
∴∠C+∠CAP＝90°，
∴∠APC＝180°﹣（∠C+∠CAP）＝90°，
即AP⊥BC，故正确；
C．∵AP⊥BC，PB＝PC，
∴AP垂直平分BC，
而∠BAC不一定等于90°，故错误；
D．根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，故错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．
8．如图是我国汉代赵爽给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，若AE＝3，AD＝5，则小正方形EFGH的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】勾股定理的证明
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠AED＝90°，AD＝5，AE＝3，
∴DE4，
∵4个直角三角形全等，
∴AF＝DE＝4，
∴EF＝AF﹣AE＝1，
∴小正方形EFGH的面积是1，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（ ）
A．2个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】等腰三角形的判定
【分析】分为三种情况：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案．
【解答】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，共2个点；
②第2个点是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，共2个点；
③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点
∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点．
∴答案应该是2+2+3﹣2＝5个点
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．
①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn，正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；角平分线的性质
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC＝90°∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn，故④正确．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOFAE OMAF ODOD （AE+AF）mn；故④正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故选：D．
【点评】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，如果EC＝2AE，AC＝6，则DE＝ 4 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
【分析】根据已知易得：CE＝4，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证△DEC是等腰三角形，即可解答．
【解答】解：∵EC＝2AE，AC＝6，
∴CEAC＝4，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴ED＝EC＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 13 cm．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
【分析】根据平行线的性质可证的△DPB和△EPC为等腰三角形，从而将△PDE的周长转化为BC的长．
【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝13cm．
即△PDE的周长是13cm．
故答案为：13．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，难度不大，注意转化思想的运用．
13．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 两个角是等角的余角 ，那么 这两个角相等 ”．
【考点】命题与定理
【分析】根据命题的定义，写成如果，那么的形式即可．
【解答】解：命题：等角的余角相等，可以写作：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：两个角是等角的余角；这两个角相等．
【点评】本题考查本题与定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝42°，将其折叠使点A落在BC边上的A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝ 6° ．
【考点】直角三角形的性质
【分析】利用三角形内角和定理，三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝42°，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°，
由翻折变换的性质可知∠A＝∠CA′D＝48°，
∵∠CA′D＝∠B+∠A′DB，
∴∠A′DB＝6°，
故答案为：6°．
【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形的外角的性质，属于中考常考题型．
15．能使两个直角三角形全等的条件有 ①②③ ．
①一条直角边及其对角对应相等；
②斜边和一条直角边对应相等；
③斜边和一锐角对应相等；
④两个锐角对应相等．
【考点】直角三角形全等的判定
【分析】根据直角三角形全等的判定定理解答即可．
【解答】解：∵所有的直角都相等，
∴①一条直角边及其对角对应相等，符合角角边定理，正确；
②斜边和一条直角边对应相等，符合HL，正确；
③斜边和一锐角对应相等，符合角角边定理，正确；
④两个锐角对应相等，缺少边元素，无法判定，错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的动点，∠AOC＝60°．
（1）当PO＝AO时，AP＝ 或1 ．
（2）当△PAB是直角三角形时，AP的长为 或或1 ．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质
【分析】（1）根据题意证明△BOP为等边三角形，进而可得AP；
（2）分三种情况讨论：①当∠APB＝90°，点P在CO的延长线上时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO＝BO，易得△BOP为等边三角形，得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；②当∠ABP＝90°，点P在CO的延长线上时，由对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOP＝60°，易得∠BPO＝30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；③当∠APB＝90°，点P在CO上时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．
【解答】解：（1）如图1.1，当PO＝AO时，
∵AO＝BO，
∴PO＝BO，
∴∠APB＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠BOP＝60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB＝BC＝2，
∴BPAB＝1，
∴APBP；
如图1.2，当PO＝AO时，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP＝AOAB＝1，
故答案为：或1；
（2）由（1）知：当∠APB＝90°时，AP；
如图2，当∠ABP＝90°时，
∵∠AOC＝∠BOP＝60°，
∴∠BPO＝30°，
∴BPOB，
在直角三角形ABP中，
AP；
如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，
∴PO＝AO，
∵∠AOC＝60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP＝AO＝1，
综上所述：当△PAB是直角三角形时，AP的长为或或1．
故答案为：或或1．
【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，运用分类讨论，数形结合思想是解答此题的关键．
三、解答题（共8小题，共6+6+8+8+10+10+12+12=72分）
17．如图，在下列10×8正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D四个点都在格点（小正方形的顶点）上，画出四边形ABCD关于直线MN对称的四边形A′B′C′D′，并求出四边形A′B′C′D′的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换
【分析】根据轴对称的性质作图即可；利用割补法计算即可．
【解答】解：如图，四边形A′B′C′D′即为所求．
四边形A′B′C′D′的面积为2．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
18．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B．
（1）求证：AE⊥AC；
（2）求DE的长．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，证明∠EAC＝90°，根据垂直的定义即可得证；
（2）根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥BD，
∴∠AEF+∠AED＝90°，
∵∠AEF＝∠B，∠B＝∠C，
∴∠C+∠AED＝90°，
∴∠EAC＝90°，
∴AE⊥AC；
（2）解：∵∠EAC＝90°，
∴AE2+AC2＝CE2，
∵CE＝CD+DE＝DE+8，
∴AE2＝CE2﹣AC2＝（DE+8）2﹣102，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴BD＝DC16＝8，BC＝16，AD⊥BC，
∴AD6，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝62+DE2，
∴（DE+8）2﹣102＝62+DE2，
解得：DE＝4.5．
【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．
【考点】等腰三角形的判定与性质
【分析】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论；
（2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到BE，再由AB＝AC可证明△ABC是等边三角形，最后可得答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠F＝30°，
∴∠BDE＝30°，
∵BD＝4，
∴，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BE+EC＝8，
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；
（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．
【考点】直角三角形的性质
【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根据角平分线的性质求出∠ABE，根据直角三角形的性质计算即可；
（2）根据角平分线的性质、直角三角形的性质证明结论．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，AC的垂直平分线EF交AB于点E，交AD于点O，交AC于点F，连接OB，OC．
（1）求证：△AOB是等腰三角形；
（2）若∠BAD＝18°，求∠AEF的度数．
【考点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【分析】（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得AD是BC的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的定义可得OB＝OC＝OA，即可解答；
（2）先根据垂直定义可得：∠AFE＝90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得AD平分∠BAC，从而可得∠EAF＝36°，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴OB＝OC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∴OA＝OB，
∴△AOB是等腰三角形；
（2）解：∵EF⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠EAF＝2∠BAD＝36°，
∴∠AEF＝90°﹣∠EAF＝54°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，∠B是锐角，AD⊥BC于点D，且∠B＝2∠C，AB＝3.5，BD＝1，求DC的长．
小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程，过程如下：
证明：如图1，在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE．
∵AD⊥BC，DE＝DB，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，（依据1）
∴∠B＝∠AEB．（依据2）
∵∠B＝2∠C，
∴∠AEB＝2∠C．
又∵∠AEB＝∠EAC+∠C，
∴∠EAC+∠C＝2∠C，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE，（依据3）
∴AE＝CE＝AB，
∴DC＝DE+CE＝BD+AB＝1+3.5＝4.5．
（1）上述解题过程中的“依据1”，“依据2“，“依据3“分别指的是什么？
依据1： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ．
依据2： 等边对等角 ．
依据3： 等角对等边 ．
（2）看完小亮的解题过程，小创提出了自己的想法：
证明：如图2，延长DB到点E，使BE＝AB，连接AE．……
请根据小亮的思路写出完整的解题步骤．
【考点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，即可解答；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠EAB，再利用三角形的外角性质可得∠ABD＝2∠E，从而可得∠E＝∠C，然后根据等角对等边可得AE＝AC，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得ED＝DC＝4.5，即可解答．
【解答】解：（1）依据1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
依据2：等边对等角；
依据3：等角对等边；
故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
等边对等角；
等角对等边；
（2）∵EB＝AB＝3.5，
∴∠E＝∠EAB，
∵∠ABD是△ABE的一个外角，
∴∠ABD＝∠E+∠EAB＝2∠E，
∵∠ABD＝2∠C，
∴∠E＝∠C，
∴AE＝AC，
∵AD⊥BC，
∴ED＝DC＝EB+BD＝3+1.5＝4.5，
∴DC的长为4.5．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
23．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝AE．
（1）若∠BAC＝90°，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数．
（2）若∠BAC＝a（a＞30°），∠BAD＝30°，求∠EDC的度数．
（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系．（不必证明）
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可；
（2）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可；
（3）根据（1）（2）的结论猜出即可．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝45°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+30°＝75°，
∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣30°＝60°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED（180°﹣∠DAC）＝60°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣60°＝15°，
答：∠EDC的度数是15°．
（2）解：与（1）类似：∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝90°α，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°α+30°＝120°α，
∵∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝α﹣30°，
∴∠ADE＝∠AED（180°﹣∠DAC）＝105°α，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝（120°α）﹣（105°α）＝15°，
答：∠EDC的度数是15°．
（3）∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC∠BAD．
【点评】本题主要考查学生运用等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道很好的题目，关键是进行推理和总结规律．
24．请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
【考点】勾股定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定
【分析】（1）DE2＝BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；
（2）根据（1）的思路一样可以解决问题；
（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD＝DF，EF＝BE．由此可以得到∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°，这样就可以解决问题．
【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC2；
（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．
证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE
∴△AFD≌△ABD，
∴AF＝AB，FD＝DB，
∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，
又∵AB＝AC，
∴AF＝AC，
∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°，
∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，
∴∠FAE＝∠EAC，
又∵AE＝AE，
∴△AFE≌△ACE，
∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°
∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，
∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，
即DE2＝BD2+EC2；
解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．
∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠TBC＝∠TBD＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠DAT＝∠DAE，
∵AD＝AD，
∴△DAT≌△DAE（SAS），
∴DT＝DE，
∵DT2＝DB2+EC2，
∴DE2＝BD2+EC2；
（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，
可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
∴AD＝DF，EF＝BE．
∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．
若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，
∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．
【点评】此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．
