初二暑假数学自主检测卷一（含答案）

初二暑假自主检测卷一
一、选择题
1．在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（　　）
A．B． C．D．
3．如果的三个顶点，，所对的边分别为，，那么下列条件中能判断是直角三角形的是（　　）
A．：：：4：5 B．，
C．，， D．，，
4．如图，是的角平分线，，交于点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知a＞b，则下列不等式中，正确的是（　　）
A．-3a＞﹣3b B． C．3﹣a＜3﹣b D．a﹣3＜b﹣3
7．如图，已知，，，其中点，，分别为斜边，，的中点，连接，，．则线段，，的数量关系是（　　）
A． B．
D．
8．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法一定正确的是（　　）
①；②，③若，则；④；
⑤．
A．①③④ B．①③④⑤ C．③④⑤ D．①②④⑤
9．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理。如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=2，b=5，则该长方形的面积为（　　）
A．20 B．18 C． D．
10．如图，在锐角三角形中，，边上的中线．过点A作于点E，记的长为a，的长为b．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　 　．
12．关于x的一元一次不等式 的解集为x≥4，则m的值为　 　.
13．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是　 　．
14．如图，AB是与的斜边，∠ADB=∠ACB=90°， C，D位于AB的异侧，E是AB的中点，连结DE，EC，DC，若AC=BC，∠DBA=20°，则∠DEC的大小是　 　．
15．如图，点P是在正内一点．，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，四边形的面积为　 　．
16．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是　 　
三、解答题
17．
（1）解不等式7x－2≥5x＋2 （2）解不等式组
18．把下列证明过程补充完整．
已知：如图，在中，，是边上的中线，于点E．求证：．
证明：∵，∴　　　，∵是边上的中线，
∴　　　（　　　）．∴．∴　　　，
∵，∴．∵　　　，
∴．（　　　）
19．在 ABC中， AD⊥BC， E是BC上的一点.
（1）若E是 BC的中点， AB=10， AD=6， ∠C=45°，求AE的长：
（2）若AE 是∠BAC的角平分线， ∠B=40°，∠C=60°， 求∠EAD 的度数.
20．已知：如图，.求证：.
21．天气转凉，某商店欲购进A，B两种型号的暖手宝，已知A型暖手宝的进价是每个20元，B型暖手宝的进价是每个40元．该商店决定用不超过3500元钱购进这两种暖手宝共100件，且A型号暖手宝不超过30件．
（1）该商店有几种进货方案？请你写出解答过程．
（2）若A，B两种暖手宝的售价每件分别为40元、70元，哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？
22．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．
（1）若一个三角形的三边长分别是，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；
（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（按从小到大的顺序排列）；
（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，CD为△ABC的中线，若△BCD是平方倍三角形，求△ABC的面积．
23．如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE．
（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于M．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．
（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A
10．【答案】D
11．【答案】同位角相等，两直线平行
12．【答案】2
13．【答案】
14．【答案】130°
15．【答案】
16．【答案】2或5
17．【答案】（1）解：
解不等式移项得
，
合并同类项得
，
把系数化为1得
（2）解：
解不等式组得
解①不等式可得，
解②不等式可得，
不等式组的解为
18．【答案】，，等腰三角形三线合一，，，等角的余角相等．
19．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠C =45°，
∴∠DAC =90°-∠C = 45°，
∴∠C =∠DAC=45°，
∴DA=DC =6，
在Rt△ABD中， AB=10， AD =6，
∴BC=BD+CD=8+6=14，
∵E是BC的中点，
∴DE =BD-BE=8-7=1，
（2）解：∵∠B=40°， ∠C=60°，
∴∠BAC =180°-∠B-∠C = 80°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∵∠ADB=90°，
∴∠BAD =90°-∠B=50°，
∴∠EAD =∠BAD﹣∠BAE =10°
20．【答案】略
21．【答案】（1）解：设购进型暖手宝个，则购进型的暖手宝个，由已知条件可知
，
解得：，
∵，
∴且为整数，这样，26，27，28，29，30，
因此该商店有6种进货方案
（2）解：设利润为元，由已知条件建立一次函数，
，
∵，
∴随着增大而减小，
∴当时，有最大值
22．【答案】（1）这个三角形是平方倍三角形
理由：由“平方倍三角形”可知，
∵，
∵
∴这个三角形是平方倍三角形
（2）解：令这个直角三角形两个直角边分别为，，斜边为，
∵这个直角三角形是平方倍三角形，
∴，
由直角三角形的勾股定理可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：∵中，，，为的中线，
∴，
∵是平方倍三角形，
当时，
解得：，
则由勾股定理可知，，
∴.
当时，
解得：，
∴，
∴，
∴.
∴的面积为或
23．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE
（2）解：设AE交BC于点H，如图2，
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，
∵∠AHC＝∠BHE，
∴∠AEB＝∠ACH＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵CM⊥DE，
∴CM＝DM＝ME＝7，
∴DE＝2CM＝14，
∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝26
（3）AE＝2a+2b
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