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有理数 单元综合强化训练卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．一个数的绝对值是9，这个数是（ ）
A．9 B． C．9或 D．不能确定
2．的相反数是（ ）
A．23 B． C． D．
3．下面两个数互为相反数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与3.14
4．有理数a、b在数轴上的表示如图所示，则（ ）
A．a-b>0 B．a+ b<0 C．ab>0 D．
5．下列实数： ，其中最大的实数是（ ）
A．-2020 B． C． D．
6．如图所示，数轴上有E，F，P，H，Q五个点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．绝对值等于2的点是H B．绝对值小于2的点是P
C．绝对值大于3的点是E，Q D．点Q表示的数的绝对值最大
7．下列式子化简错误的是（ ）
A．+（﹣5）＝﹣5 B．﹣（+1 ）＝1
C．﹣|+3|＝﹣3 D．﹣（﹣0.5）＝0.5
8．表示数轴上-2对应的点到原点的距离为 2的式子可以是 ( )
A．|2|=2 B．|-2|=2 C．|2|=-2 D．|-2|=-2
9．若︱2a︱＝－2a，则a一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零
10．若，则的取值可能是（ ）.
A．±3 B．±1或±3 C．±1 D．-1或3
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．有以下各式：①；②；③，其中负数有 个．
12．若 与1互为相反数，则 .
13．在数轴上把表示-5的点A沿数轴移动6个单位后得到点B，则点B所表示的数为 .
14．绝对值大于3且小于6的整数是
15．若x与3互为相反数，则 ．
16． 的相反数是 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．把下列各数填入表示它所在的集合里.
-18；；3.1762；0；2001；；3.95%
（1）正数{…}
（2）负数{…}
（3）整数{…}
（4）有理数{…}
18．已知a，b为有理数，且他们在数轴上的位置如图所示．
（1）试判断a，b的正负性；
（2）在数轴上标出a，b相反数的位置；
（3）根据数轴化简：|a|＝ ；|b|＝ ；|﹣a|＝ ；
|﹣b|＝ ．
（4）若|a|＝2，|b|＝3.5，求a﹣b的值．
19．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是m．
（1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为 ， ，m的值为 ；
（2）若点B为原点，AC＝6，求m的值．
（3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．
20．观察数轴，回答下列问题：
（1）有没有最大或最小的整数？有没有最小的自然数？有没有最小的正整数和最大的负整数？如果有，请写出来.
（2）不小于－3的负整数有哪些？
（3）比－3小5的数是什么？比－3大5的数是什么？
（4）－2和6的正中间的数是什么？
21．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索
（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是 ．
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
22．如图，在数轴上，点分别表示数1、.
（1）求的取值范围；
（2）试判断数轴上表示数的点落在“点的左边”、“线段上”还是“点的右边”？并说明理由.
23．在抗击疫情的过程中，医院的救护车加满油后沿南北方向抢救病人，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶路程记录如下（单位：）：，，，，，，，．
（1）请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
（2）若救护车每千米耗油，油箱容量为，求救护车当天抢救过程至少还需补充多少升油？
（3）救护过程中，救护车离出发地A最远处有多远？
24．有理数a和b的对应点在数轴上的位置如图所示。
（1）大小比较：a，-a，b，-b，用“<”连接。
（2）化简：|a+b|-|a-b|-2|b-1|。
25．如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a-30|+(b+6)2=0.点O是数轴原点。
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，线段AB的长为 。
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC=2BC，则点C在数轴上表示的数为 。
（3）现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到O点时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？
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有理数 单元综合强化训练卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．一个数的绝对值是9，这个数是（ ）
A．9 B． C．9或 D．不能确定
【答案】C
2．的相反数是（ ）
A．23 B． C． D．
【答案】A
3．下面两个数互为相反数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与3.14
【答案】C
【解析】【解答】解： 故A错误；
故B错误；
故C符合题意；
与3.14不互为相反数，故D错误；
故答案为：C.
【分析】分别化简各选项中需要化简的每个数，再利用相反数的定义可得答案.
4．有理数a、b在数轴上的表示如图所示，则（ ）
A．a-b>0 B．a+ b<0 C．ab>0 D．
【答案】D
【解析】【解答】观察图形可知a＜0＜b，并且|a|＜|b|，∴a-b＜0，a+b＞0，ab＜0，|a|＜|b|．
故A、B、C不符合题意，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题可借助数轴用数形结合的方法求解．从图形中可以判断a＜0＜b，并且|a|＜|b|，再对照题设中每个选项，就能判断正确与否．
5．下列实数： ，其中最大的实数是（ ）
A．-2020 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ =-2020， =-2020， =2020， = ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可；
6．如图所示，数轴上有E，F，P，H，Q五个点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．绝对值等于2的点是H B．绝对值小于2的点是P
C．绝对值大于3的点是E，Q D．点Q表示的数的绝对值最大
【答案】A
【解析】【解答】解：由数轴知：点E表示的数大于-4且小于-3，点E表示的数等于-3，点P表示的数大于1且小于2，点H表示的数等于-3，点Q表示的数小于-4，
∴ 绝对值小于2的点是P ， 绝对值大于3的点是E，Q ， 点Q表示的数的绝对值最大 ， 没有绝对值等于2的点是；
故答案为：A.
【分析】由数轴知：点E表示的数大于-4且小于-3，点E表示的数等于-3，点P表示的数大于1且小于2，点H表示的数等于-3，点Q表示的数小于-4，据此逐项判断即可.
7．下列式子化简错误的是（ ）
A．+（﹣5）＝﹣5 B．﹣（+1 ）＝1
C．﹣|+3|＝﹣3 D．﹣（﹣0.5）＝0.5
【答案】B
【解析】【解答】解：A、括号前是正数去括号不变号，故A不符合题意；
B、括号前是负数去括号要变号，结果为-1 ，故B符合题意；
C、-|+3|=-3，故C不符合题意；
D、括号前是负数去括号要变号，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据相反数的意义、绝对值的性质分别求解，再判断即可.
8．表示数轴上-2对应的点到原点的距离为 2的式子可以是 ( )
A．|2|=2 B．|-2|=2 C．|2|=-2 D．|-2|=-2
【答案】B
【解析】【解答】解：数轴上-2对应的点到原点的距离为2的式子可以是|-2|=2，
故答案为：B.
【分析】利用绝对值的定义及几何意义分析求解即可.
9．若︱2a︱＝－2a，则a一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零
【答案】D
【解析】【解答】解：根据绝对值的意义，一个正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，一个负数的绝对值是其相反数，可知a一定是一个负数或0.
故答案为：D
【分析】根据绝对值的性质，，即可判断出2a为非负数。
10．若，则的取值可能是（ ）.
A．±3 B．±1或±3 C．±1 D．-1或3
【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴
①当 时，则
；
②当 时，则
；
③当 时，则
；
④当 时，则
综上所述： 的取值可能是-1或3.
故答案为：D.
【分析】分情况讨论，再根据绝对值的性质即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．有以下各式：①；②；③，其中负数有 个．
【答案】2
12．若 与1互为相反数，则 .
【答案】-1
【解析】【解答】解：根据题意得 （2a＋1）＋1＝0．
解之得 a＝ 1．
∴ （-1）2019=-1
故答案为： 1．
【分析】两数互为相反数，则和为0．列方程求解．
13．在数轴上把表示-5的点A沿数轴移动6个单位后得到点B，则点B所表示的数为 .
【答案】1或-11
【解析】【解答】将表示-5的点沿数轴向右移动6个单位后得到点B所表示的数为1；
将表示-5的点沿数轴向左移动6个单位后得到点B所表示的数为-11，
故答案为:1或-11
【分析】分两种情况：将表示-5的点沿数轴向右移动6个单位或将表示-5的点沿数轴向左移动6个单位，据此分别解答即可.
14．绝对值大于3且小于6的整数是
【答案】±4，±5
【解析】【解答】解：绝对值大于3且小于6的整数有4，5，-4，-5，
故答案为：±4，±5．
【分析】 大于3小于6的整数绝对值是4或5，因为互为相反数的两个数的绝对值相等，所以绝对值大于3且小于6的所有整数有4，5，-4，-5．
15．若x与3互为相反数，则 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵x与3互为相反数，
，
.
故答案为：6．
【分析】根据相反数的性质求出x的值，再代入计算即可。
16． 的相反数是 .
【答案】
【解析】【解答】解： ，而 的相反数为 ，
故答案为： .
【分析】先根据绝对值的意义计算，再根据相反数的定义解答.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．把下列各数填入表示它所在的集合里.
-18；；3.1762；0；2001；；3.95%
（1）正数{…}
（2）负数{…}
（3）整数{…}
（4）有理数{…}
【答案】（1），3.1762，0.2001，3.95%
（2）-18，
（3）-18；0；2001
（4）-18；；3.1762；0；2001；；3.95%
【解析】【解答】解：
（1）正数{；3.1762；2001；3.95%} ；
（2）负数{-18；} ；
（3）整数{-18；0；2001} ；
（4）有理数{-18；；3.1762；0；2001；；3.95%} .
【分析】按照有理数的分类进行填写.正整数、负整数和0组成整数，注意0既不是正数，也不是负数.整数和分数统称为有理数.
18．已知a，b为有理数，且他们在数轴上的位置如图所示．
（1）试判断a，b的正负性；
（2）在数轴上标出a，b相反数的位置；
（3）根据数轴化简：|a|＝ ；|b|＝ ；|﹣a|＝ ；
|﹣b|＝ ．
（4）若|a|＝2，|b|＝3.5，求a﹣b的值．
【答案】（1）解：根据数轴的性质可得， 在0的右边， 在0的左边，所以 ，
故答案为： ，
（2）解：根据相反数的性质，如下图：
（3）a；-b；a；-b
（4）解：∵
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
【解析】【解答】解：（3）由（2）可得 ， ， ，
∴ ， ， ，
【分析】（1）根据所给的数轴判断求解即可；
（2）根据相反数的性质求解即可；
（3）根据 ， ， ， 计算求解即可；
（4）先求出 ， ，再求出 ， ，最后代入计算求解即可。
19．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C所对应数的和是m．
（1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为 ， ，m的值为 ；
（2）若点B为原点，AC＝6，求m的值．
（3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．
【答案】（1）﹣3；﹣1；﹣4
（2）解：∵点B为原点，AC＝6，AB＝2BC，AB+BC=AC，∴AB=4，BC=2，
∴点A所对应的数为﹣4，点C所对应的数为2，
∴m=﹣4+2+0＝﹣2；
（3）解：∵原点O到点C的距离为8，
∴点C所对应的数为±8，
∵OC＝AB，
∴AB＝8，
当点C对应的数为8，
∵AB＝8，AB＝2BC，
∴BC＝4，
∴点B所对应的数为4，点A所对应的数为﹣4，
∴m＝4﹣4+8＝8；
当点C所对应的数为﹣8，
∵AB＝8，AB＝2BC，
∴BC＝4，
∴点B所对应的数为﹣12，点A所对应的数为﹣20，
∴m＝﹣20﹣12﹣8＝﹣40．
【解析】【解答】解：（1）∵点C为原点，BC＝1，
∴B所对应的数为﹣1，
∵AB＝2BC，
∴AB＝2，
∴点A所对应的数为﹣3，
∴m＝﹣3﹣1+0＝﹣4；
故答案为：﹣3，﹣1，﹣4；
【分析】（1）根据数轴上的点对应的数即可作答；
（2）根据数轴上原点的位置确定其它点对应的数即可作答；
（3）根据原点在点C的右边先确定点C对应的数，进而确定点B、点A所表示的数即可作答．
20．观察数轴，回答下列问题：
（1）有没有最大或最小的整数？有没有最小的自然数？有没有最小的正整数和最大的负整数？如果有，请写出来.
（2）不小于－3的负整数有哪些？
（3）比－3小5的数是什么？比－3大5的数是什么？
（4）－2和6的正中间的数是什么？
【答案】（1）解：没有最大的整数，也没有最小的整数，最小的自然数是0，最小的正整数是1，最大的负整数是-1；
（2）解：不小于-3的负整数有-3，-2，-1；
（3）解：-3-5=-8，-3+5=2，
比-3小5的数是-8，比-3大5的数是2；
（4）解： -2和6中间的数是2.
【解析】【分析】（1）根据有理数的分类，直接写出即可；
（2）不小于就是大于等于的意思，进而根据数轴直接写出即可；
（3）根据题意列出算式计算即可；
（4）根据数轴直接写出即可.
21．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索
（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是 ．
（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
【答案】（1）7
（2）-5、﹣4、﹣3、-2、-1、0、1、2
（3）解：|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3，
理由：当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3，
当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3，
当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3，
故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．
【解析】【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7，
故答案为：7；
（2）当x＞2时，
|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得，故此种情况不存在；
当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，
故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是-5、﹣4、﹣3、-2、-1、0、1、2；
当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x-3＝7，解得与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在；
故答案为：-5、﹣4、﹣3、-2、-1、0、1、2；
【分析】（1）|5-(-2)|＝|5+2|，据此计算；
（2）分x＞2、-5≤x≤2、x＜-5，结合绝对值的非负性进行求解即可；
（3）当x＞6时，|x-3|+|x-6|＝x-3+x-6＝2x-9＞3；同理可求出3≤x≤6、x＜3对应的式子的最小值，据此解答.
22．如图，在数轴上，点分别表示数1、.
（1）求的取值范围；
（2）试判断数轴上表示数的点落在“点的左边”、“线段上”还是“点的右边”？并说明理由.
【答案】（1）解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得
解得
（2）解：由，得
解得
数轴上表示数的点在点的右边；
作差，得
由，得
∴.
数轴上表示数的点在点的左边.
表示数的点在线段上.
【解析】【分析】（1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，解不等式即可；
（2）根据不等式的性质，得到点在A点的右边，根据作差法，可得点在B点的左边.
23．在抗击疫情的过程中，医院的救护车加满油后沿南北方向抢救病人，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶路程记录如下（单位：）：，，，，，，，．
（1）请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
（2）若救护车每千米耗油，油箱容量为，求救护车当天抢救过程至少还需补充多少升油？
（3）救护过程中，救护车离出发地A最远处有多远？
【答案】（1）北，
（2）升
（3）千米
24．有理数a和b的对应点在数轴上的位置如图所示。
（1）大小比较：a，-a，b，-b，用“<”连接。
（2）化简：|a+b|-|a-b|-2|b-1|。
【答案】（1）解：根据数轴上点的特点可得a<-b（2）解：根据数轴给出的数据可得a+b<0，a-b<0，b-1<0，
则|a+b|-|a-b|-2|b-1|=-a-b-(b-a)-2(1-b)=-a-b-b+a-2+2b=-2．
【解析】【分析】（1）根据数轴求出 a<-b（2）先求出 a+b<0，a-b<0，b-1<0， 再化简即可。
25．如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a-30|+(b+6)2=0.点O是数轴原点。
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，线段AB的长为 。
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC=2BC，则点C在数轴上表示的数为 。
（3）现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到O点时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？
【答案】（1）30；﹣6；36
（2）6或﹣42
（3）解：①当点Q未出发，P、Q两点相距4个单位长度，
此时t×1=4，所以t=4；
②点P用了6秒移动到O点时，点Q才从B点出发。当点Q在点P后面，P、Q两点相距4个单位长度，此时3(t﹣6)= t﹣4，所以t=7；
③点P用了6秒移动到O点时，点Q才从B点出发。当点Q在点P前面，P、Q两点相距4个单位长度，此时3(t﹣6)= t+4，所以t=11；
所以t=4或t=7或t=11。
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b表示的数，然后将点A和点B表示在数轴上，容易求出线段AB的长；
（2）分两种情况讨论：①若点C在线段AB上，则点C为线段AB的三等分点，此时BC=AB=12，易得点C在数轴上表示的数为6；②若点C在线段AB的延长线上，则点B为线段AC的中点，此时BC=AB=36，易得点C在数轴上表示的数为-42.
（3）先求出t秒后点P、Q所对应的数分别是t、3（t-3），然后分三种情况分别列出方程解出t的值即可：①当点Q未出发（0＜t≤6）时，P、Q之间的距离即为点P移动的距离；②点p用了6秒移动到O点（t＞6）时，点Q才开始从B点出发。当点Q在点P的后面时，点Q表示的数比点P表示的数小4；③点P用了6秒移动到O点（t＞6）时，点Q才开始从B点出发。当点Q在点P的前面时，点Q表示的数比点P表示的数大4。
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