浙教版2025年九年级上册第1章《二次函数》单元测试卷 含解析

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025年九年级上册第1章《二次函数》单元测试卷
满分120分 时间120分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（共30分）
1．下列关系式中，属于二次函数的是（为自变量）（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线y=x2+2x﹣3的最小值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
3．下列函数中，当时，y的值随x的值增大而增大的是( )
A． B． C． D．
4．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（　　）
A．y=﹣x2+2x+3 B．y=x2+2x+3 C．y=﹣x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
5．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
6．抛物线C1：y=x2+1与抛物线C2关于X轴对称，则抛物线C2的解析式为（ ）
A．y=-x2 B．y=-x2+1 C．y=x2-1 D．y=-x2-1
7．如图，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
8．二次函数y＝的图象如图.当y>0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3
9．已知某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
10．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1．其中正确结论的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（共18分）
11．将二次函数化为的形式，则 ．
12．如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x= ．
13．抛物线（为常数）与坐标轴交点的个数是 ．
14．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为 -，其中正确的结论个数有 （填序号）
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，平移后的抛物线的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ．

16．如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B，C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线交于点E，则的值是 ．
三、解答题（共72分）
17．（8分）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
18．（8分）已知二次函数的图象经过点．
(1)求b、c的值；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在所给坐标系中画出该函数的图象；
(3)该函数的图象经过怎样的平移得到的图象？
19．（8分）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴，
确定，，，的符号；
求证：；
当取何值时，，当取何值时．
20．（8分）如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

21．（8分）已知直线l：y=kx和抛物线C：y=ax2+bx+1．
（1）当k=1，b=1时，抛物线C：y=ax2+bx+1的顶点在直线l：y=kx上，求a的值；
（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点；
（i）求此抛物线的解析式；
（ii）若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ∥y轴且与直线y=2交于点Q，O为原点，
求证：OP=PQ．
22．（10分）已知：红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
(2)求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
(3)该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
23．（10分）已知y关于x的二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）．
（1）当a=-2，b=-4时，求该函数图象的顶点坐标；
（2）在（1）条件下，P（m，t）为该函数图象上的一点，若P关于原点的对称点P′也落在该函数图象上，求m的值；
（3）当函数的图象经过点（1，0）时，若A（，y1），B（，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C B D C D B C
1．A
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义“形如（为常数，）的函数”即可求解．
【详解】解：A、，是二次函数，符合题意；
B、，不是二次函数，不符合题意；
C、，不是二次函数，不符合题意；
D、，当时，不是二次函数，不符合题意；
故选：A ．
2．D
【分析】把y=x2+2x﹣3配方变成顶点式，求出顶点坐标即可得抛物线的最小值.
【详解】∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∵a=1＞0，
∴开口向上，有最低点，有最小值为﹣4．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数最值的求法：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，熟练掌握并灵活运用适当方法是解题关键.
3．B
【分析】本题考查二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质，根据三种函数的增减性逐一判断选项即可
【详解】解：二次函数：当时，y的值随x的值增大而减小，所以A选项错误；
一次函数中，所以当 时，y的值随x的值增大而增大，所以B选项正确；
一次函数中 ，所以当时，y的值随x的值增大而减小，所以C选项错误；
反比例函数 中，所以当时，y的值随x的值增大而减小，所以D选项错误．
故选B．
4．C
【分析】由抛物线的对称轴为直线x＝ 1设解析式为y＝a（x＋1）2＋k，将（ 3，0）、（0，3）代入求出a、k的值即可得．
【详解】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝ 1，过点（ 3，0）、（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x＋1）2＋k，
将（ 3，0）、（0，3）代入，得：
，
解得：
，
则抛物线解析式为y＝ （x＋1）2＋4＝ x2 2x＋3，
故选C．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，解题的关键是根据题意设出合适的二次函数解析式．
5．B
【详解】解：将的图象向左平移2个单位后得函数的函数图象，
将的图象向下平移3个单位得到的函数图象，
∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选：B．
6．D
【分析】画出图形后可根据开口方向决定二次项系数的符号，开口度是二次函数系数的绝对值；抛物线与y轴的交点为常数项进行解答.
【详解】通过画图可知，关于x轴对称的两个函数解析式的开口方向改编，开口度不变，二次项系数互为相反数；与y轴的交点互为相反数，因此常数项也互为相反数，故答案为y＝﹣x2－1，选D.
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，根据画图可以得到抛物线关于x轴对称的特点：二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数.
7．C
【分析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【详解】A. 由一次函数y=kx+b的图象可得：a>0,b>0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,对称轴x= <0，错误；
B. 由一次函数y=ax+b的图象可得：a>0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，错误；
C. 由一次函数y=ax+b的图象可得：a>0,b<0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上,对称轴x= >0，正确；
D. 由一次函数y=ax+b的图象可得：a<0,b<0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误.
故答案选C.
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题的关键是熟练的掌握一次函数与二次函数的图象与系数的关系.
8．D
【详解】试题分析：有图象知：当y>0时，图象是在x轴是上方的部分，所以自变量x的取值范围是x＜－1或x＞3.故选D.
考点：二次函数的图象与自变量的取值范围.
9．B
【分析】将题目中的函数表达式化为顶点式，从而可以求得h取得最大值时对应的t的值，本题得以解决．
【详解】h=-t2+20t+1=-(t-4)2+41t=4时，h取得最大值，此时h=41.
故答案选：B.
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.
10．C
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系逐一判断即可
【详解】解：①由抛物线对称轴为直线，从而，则，故①正确；
②抛物线开口向下，与轴相交与正半轴，则，而，因而，故②错误；
③方程的解，即是与直线的交点的横坐标，
从图象可得，抛物线顶点为，则抛物线与直线有且只有一个交点，
故方程有两个相等的实数根，故③正确；
④由抛物线对称性，与轴的一个交点，根据对称轴为，可知另一个交点坐标为（ 2，0），故④错误；
⑤由图象可知，当1＜x＜4时，y1＞y2，故⑤正确；
故正确的有①③⑤，共计3个
故选C
【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．
11．
【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握配方法是解决本题的关键．
利用配方法整理即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12．3
【详解】试题分析：先求出抛物线的对称轴方程，根据对称性即可求出x的值．
解：∵抛物线的解析式为y=ax2 2ax+1，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∵图象经过点A( 1,7)、B(x,7)，
∴A、B两点关于对称轴x=1对称，
∴x=3，
故答案为：3.
13．2或3个/3或2个
【分析】先令y=0，得出关于x的一元二次方程，由△＞0得方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个不同的交点，与y轴有一个交点．
【详解】解：当k=0时，
∵抛物线y=2x2+2（k-1）x-k（k为常数），
∴当y=0时，0=2x2+2（k-1）x-k，
∴△=[2（k-1）]2-4×2×（-k）=4k2+4＞0，
∴0=2x2+2（k-1）x-k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y=2x2+2（k-1）x-k（k为常数）与x轴有两个交点，
∴抛物线y=2x2+2（k-1）x-k（k为常数）与y轴有一个交点，
所以，抛物线（为常数）与坐标轴交点有3个，
当k=0时，抛物线经过原点，只有2个交点，
故答案为：2或3．
【点睛】本题考查抛物线与x、y轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．①③④
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置以及与y轴交点位置判定①，由图象上横坐标为3的点在x轴上方判定②，根据点A的位置判定③，把－ 代入方程ax2+bx+c=0 (a≠0)判定④．
【详解】由图象可知抛物线开口向下，可得a＜0，
由抛物线的对称轴在y轴的右侧，说明a、b异号，可得b＞0，
抛物线与y轴的交点在x轴下方，可得c＜0，所以abc＞0，
即①正确；
当x=3时，y=ax2+bx+c=9a+3b+c＞0，所以②错误；
已知C（0，c），OA=OC， 可得A（﹣c，0），
由图知，A在1的左边
∴﹣c＜1 ，即c＞－1，
即③正确；
把－ 代入方程ax2+bx+c="0" (a≠0)，得ac﹣b+1=0，
把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，
即ac﹣b+1=0，
所以关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个根为－ ，
即④正确；
故答案选C．
【点睛】本题考查利用函数图象解决问题，数形结合思想的应用是解决问题的关键．
15．4
【分析】确定出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：如图，，
平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，
．
故答案为：4．

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．
16．/
【分析】设A点坐标为，利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出的长度，再根据轴，利用的解析式求出D点的坐标，然后利用求出点E的坐标，从而得到的长度，然后求出比值即可得解．
【详解】解：设A点坐标为，，
则，解得，
∴点B，
∴点C，
∵轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，
∴点D的坐标为，
∵，
∴点E的纵坐标为3a，
∴点E的坐标为，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．
17．（1） ；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2
【详解】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），
∴ ，
解得 ；
（2）∵该二次函数为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．
∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2.
18．(1)，3；
(2)画图见解析，顶点坐标为，对称轴为；
(3)向左平移2个单位，再向上平移1个单位.
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式；二次函数的平移．
（1）把代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）把二次函数的解析式配成顶点式，然后确定顶点坐标和对称轴，再画出函数图象；
（3）把顶点移到原点即可．
【详解】（1）将代入，
得，
解得：；
（2）∵二次函数，
∴顶点坐标为，对称轴是直线
画图如下：
（3）将该函数的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的图象．
19．（1），，，；（2）详见解析；（3）当时，；当或时，．
【分析】（1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点确定c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号；
（2）根据图象和x=-1的函数值确定a-b+c与0的关系；
（3）抛物线在x轴上方时y＞0；抛物线在x轴下方时y＜0．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴的上方，
∴，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴；
证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为，
∴当时，；
根据图象可知，
当时，；当或时，．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.
20．(1) ；（2）点P的坐标为（2，-3）
【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；
（2）设抛物线与x轴的另一交点为C，根据（1）所得的函数解析式即可求得A、B、C的坐标；在△ABP中，AB的长为定值，若三角形的周长最小，那么AP+BP的长最小；由于A、C关于抛物线的对称轴对称，若连接BC，那么BC与对称轴的交点即为所求的P点，可先求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的对称轴方程，即可求得P点的坐标．
【详解】解：（1）根据题意，将点A（-1， 0）和点B（0，-5）代入解析式得
解得 ，
∴二次函数的表达式为，
（2）令y=0，得二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标C（5, 0）.
由于P是对称轴上一点，
连结AB，由于，
要使△ABP的周长最小，只要最小
由于点A与点C关于对称轴对称，连结BC交对称轴于点P，则= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得的最小值为BC
因而BC与对称轴的交点P就是所求的点
设直线BC的解析式为，根据题意，可得解得
所以直线BC的解析式为
因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得
所求的点P的坐标为（2，-3）
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定以及轴对称性质的应用，能够正确的确定P点的位置时解答此题的关键．
21．（Ⅰ）a=﹣；（Ⅱ）（i）y=﹣ x2+1；（ii）证明见解析.
【分析】（1）可用a表示出抛物线的顶点坐标,再代入直线方程可求得a的值,
（2）（i）由于k为任意非零实数,可取k=1和k=2,再联立两解析式消去y,得到的一元二次方程有两个相等的实数根可得到两个关于a、b的方程,可求得a、b的值,即可求得拋物线解析式; （ii）设出P点坐标,连接OP,过P作PQ⊥直线y=2,作PD⊥x轴于点D,可分别表示出OP和PQ,可证明其相等
【详解】解：（1）将k=1，b=1代入得：抛物线的解析式为y=ax2+x+1，直线的解析式为y=x．
∵y=ax2+x+1=a（x+ ）2+1﹣ ，
∴抛物线的顶点为（﹣ ，1﹣ ）．
∵抛物线的顶点在直线y=x上，
∴﹣ =1﹣ ，
解得：a=﹣ ．
（2）（i）将直线y=kx向上平移k2+1个单位，所得直线的解析式为y=kx+k2+1．
∵无论非零实数k取何值，直线与抛物线都只有一个交点，
∴方程kx+k2+1=ax2+bx+1有两个相等的实数根，即ax2+（b﹣k）x﹣k2=0有两个相等的实数根，
∴△=（b﹣k）2+4ak2=（4a+1）k2﹣2bk+b2=0．
∵无论非零实数k取何值时，（4a+1）k2﹣2bk+b2=0恒成立，
∴4a+1=0且b=0，
∴a=﹣ ，b=0．
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+1．
（ii）证明：根据题意，画出图象如图所示：
设点P的坐标为（x，﹣ x2+1）则点Q的坐标为（x，2），D（x，0）．
∴PD=|﹣ x2+1|，OD=|x|，QP=2﹣（﹣ x2+1）= x2+1．
在Rt△OPD中，依据勾股定理得：OP= = = x2+1．
∴OP=PQ
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用,涉及待定系数法、二次函数的性质、一元二次方程根的判别式、勾股定理等知识点.在(1)中求得二次函数的顶点坐标是解题的关键,在(Ⅱ)①中取k的特殊值得到关于a、b的二元一次方程组,求得a、b的值是解题的关键,在②中用P点的坐标分别表示出PD、OP的长是解题的关键.
22．(1)60吨
(2)
(3)定价210元
(4)不对，详解见解析
【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨．
（2）根据利润=每件的利润×销售额，可以求出函数的解析式．
（3）把（2）中求出的函数解析式转化为顶点式就可以求出售价和利润的最大值．
（4）假设当月利润最大，x为210元．而根据题意x为160元时，月销售额w最大，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：（吨）；
（2）由题意：
化简得：；
（3），
建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨210元；
（4）我认为，小静说的不对．
理由：当月利润最大时，x为210元，
而对于月销售额来说，
当x为160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
【点睛】本题考查把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用，根据题意准确表示函数并化简是解题的关键．
23．（1）（1，﹣4）；（2）m=±1；（3）见解析.
【详解】分析：（1）将a、b的值代入函数解析式即可；
（2）根据（1）中的结论，即可求得m的值；
（3）根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的数学思想即可求得y1与y2的大小．
详解：（1）当a=-2，b=-4时，
y=-2x2+4x+2=-2（x-1）2+4，
∴该函数图象的顶点坐标是（1，4），对称轴为直线x=1；
（2）点Q（m，t）关于原点对称的点的坐标P是（-m，-t），
则，
解得，m=±1；
（3）∵函数的图象经过点（1，0），
∴0=a-b+2，
∴b=a+2，
∵y=ax2-bx+2，
∴函数的对称轴为直线x=，
当a＞0时，＜+＜+，
∵+-=，+-（+）=，A（，y1），B（+，y2）是该函数图象上的两点，
∴y2＞y1，
当a＜0时，+＜+＜，
∵-（+）=-，+-（+）=-，A（，y1），B（+，y2）是该函数图象上的两点，
∴y1＞y2．
点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、关于原点对称的点的坐标，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
24．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MN＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）存在，当m＝时，△BNC的面积最大，最大值为
【分析】（1）直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长；
（3）根据题（1）（2）的结论，列出关于m的表达式，再利用函数的性质求解的最大值即可.
【详解】（1）抛物线经过点两点，代入得：
，解得：
则抛物线的解析式为；
（2）由抛物线可知，
因此，设直线BC的解析式为：
代入得
解得：
则直线BC的解析式：
已知点M的横坐标为m，且轴，则；
则
故MN的长为；
（3）存在点M，使的面积最大
如图，过点M作轴于点D
则
即
由二次函数的性质可知：当时，随m的增大而增大；当时，随m的增大而减小
则当时，的面积最大，最大值为.

【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，以及二次函数图象的性质，较难的是题（3），求出的面积关于m的表达式是解题关键.