第2章 有理数的运算
一、选择题
1.﹣1的倒数是( )
A. B. C. D.
2.“珍爱地球,人与自然和谐共生”是今年世界地球日的主题,旨在倡导公众保护自然资源.全市现有自然湿地28700公顷,人工湿地13100公顷,这两类湿地共有( )
A.4.18×105公顷 B.4.18×104公顷
C.4.18×103公顷 D.41.8×102公顷
3.a为有理数,定义运算符号▽:当a>﹣2时,▽a=﹣a,当a<﹣2时,▽a=a;当a=﹣2时,▽a=0.根据这种运算,则▽[4+▽(2﹣5)]的值为( )
A.7 B.﹣7 C.1 D.﹣1
4.已知a、b是有理数,|a|=﹣a,|b|=b,且|a|>|b|>0,用数轴上的点来表示a,b,正确的是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图,将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形,第①幅图中★的个数为a1,第②幅图中★的个数为a2,第③幅图中★的个数为a3…,以此类推,第幅图中★的个数为an,则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
6.下列情景描述的结果与25相符的是 (填写所有正确选项的序号)
①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数;
②把一团和好的面,揉搓成一根长条后,连续拉扣5次得到的面条根数;
③细胞分裂时,由1个分裂成2个,由2个分裂成4个,以此类推,一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数.
7.如果|﹣m|=3,n2=49,|m﹣n|=n﹣m,那么代数式m+n= .
8.任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和,如:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…按此规律,若m3分裂后,其中有一个奇数是117,则m的值是 .
三、解答题
9.计算:
(1);
(2).
10.某地生产的一种绿色蔬菜,在市场上若直接销售,每吨利润为1000元,经粗加工后销售,每吨利润可达4500元,经精加工后销售,每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨.该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工16吨;如果进行精加工,每天可加工6吨,但两种加工方式不能同时进行.受季节等条件限制,公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕.为此,公司研制了三种方案:
方案一:将蔬菜全部进行粗加工.
方案二:将其中60吨蔬菜进行精加工,其余粗加工,能否在规定时间内加工完成,如果能,作为可行方案.
方案三:尽可能多的对蔬菜进行精加工,没来得及进行加工的蔬菜,在市场上直接出售.
你认为选择哪种方案获利最多?为什么?
11.阅读材料,并回答问题:
对于某种满足交换律的运算,如果存在一个确定的有理数n,使得任意有理数a和它进行这种运算后的结果都等于a本身,那么n叫做这种运算下的单位元.如果两个有理数进行这种运算后的结果等于单位元,那么这两个有理数互为逆元.
由上述材料可知:
(1)有理数在加法运算下的单位元是 ,在乘法运算下的单位元是 ;在加法运算下,3的逆元是 ,在乘法运算下,某个数没有逆元,这个数是 .
(2)在有理数范围内,我们定义一种新的运算:x*y=x+y﹣xy,例如3*2=3+2﹣3×2=﹣1.
①求在这种新的运算下的单位元;
②在这种新的运算下,求有理数2023的逆元.
第2章 有理数的运算
参考答案与试题解析
一、选择题
1.﹣1的倒数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】倒数:乘积是1的两数互为倒数.据此解答即可.
【解答】解:﹣1的倒数是.
故选:C.
【点评】本题考查了倒数,掌握倒数的定义是解答本题的关键.
2.“珍爱地球,人与自然和谐共生”是今年世界地球日的主题,旨在倡导公众保护自然资源.全市现有自然湿地28700公顷,人工湿地13100公顷,这两类湿地共有( )
A.4.18×105公顷 B.4.18×104公顷
C.4.18×103公顷 D.41.8×102公顷
【答案】B
【分析】利用科学记数法把大数表示为a×10n(1≤a<10,n为整数)的形式.
【解答】解:28700+13100=4.18×104.
故选:B.
【点评】本题考查了科学记数法,做题关键要掌握用科学记数法表示大数.
3.a为有理数,定义运算符号▽:当a>﹣2时,▽a=﹣a,当a<﹣2时,▽a=a;当a=﹣2时,▽a=0.根据这种运算,则▽[4+▽(2﹣5)]的值为( )
A.7 B.﹣7 C.1 D.﹣1
【答案】D
【分析】根据符号▽的含义,以及有理数的混合运算的运算方法,求出算式▽[4+▽(2﹣5)]的值是多少即可.
【解答】解:▽[4+▽(2﹣5)]
=▽[4+▽(﹣3)]
=▽[4+(﹣3)]
=▽1
=﹣1
故选:D.
【点评】此题主要考查了定义新运算,以及有理数的混合运算,要熟练掌握,注意明确有理数混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号,要先做括号内的运算.
4.已知a、b是有理数,|a|=﹣a,|b|=b,且|a|>|b|>0,用数轴上的点来表示a,b,正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】由绝对值的定义确定a、b的符号以及绝对值,再在数轴上表示出来即可.
【解答】解:由于|a|=﹣a,|b|=b,即a为非正数,b为非负数,
又∵|a|>|b|>0,
∴a<0,b>0,且|a|>|b|,
在数轴上表示a、b大致如下:
故选:C.
【点评】本题考查绝对值,数轴表示数,理解绝对值的定义,掌握数轴表示数的方法是正确解答的前提.
5.如图,将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形,第①幅图中★的个数为a1,第②幅图中★的个数为a2,第③幅图中★的个数为a3…,以此类推,第幅图中★的个数为an,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据图形分别写出相应的a1,a2,a3,…,不难发现其规律,再利用规律求解即可.
【解答】解:由题意得:a1=2=1×2,
a2=6=2×3,
a3=12=3×4,
a4=20=4×5,
…,
则an=n(n+1),
则
=n()
=n(1)
.
故选:D.
【点评】本题主要考查规律型:图形的变化类,解答的关键是则所给的图形分析清楚所存在的规律.
二、填空题
6.下列情景描述的结果与25相符的是 ②③ (填写所有正确选项的序号)
①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数;
②把一团和好的面,揉搓成一根长条后,连续拉扣5次得到的面条根数;
③细胞分裂时,由1个分裂成2个,由2个分裂成4个,以此类推,一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数.
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意分别计算各个选项的结果即可得出结论.
【解答】解:①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数为1+2+4+8+16=31条,故①不符合题意;
②把一团和好的面,揉搓成一根长条后,连续拉扣5次得到的面条根数为25,故②符合题意;
③细胞分裂时,由1个分裂成2个,由2个分裂成4个,以此类推,一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数为25,故③符合题意;
故答案为:②③.
【点评】本题主要考查有理数的乘方,熟练掌握有理数乘方的知识是解题的关键.
7.如果|﹣m|=3,n2=49,|m﹣n|=n﹣m,那么代数式m+n= 10或4 .
【答案】10或4.
【分析】先根据题意分析出m与n的值,再代入式子进行计算即可.
【解答】解:由题可知,m=±3,n=±7,
又知|m﹣n|=n﹣m,
则m﹣n为负数,
故m=±3,n=7,
则m+n=10或4.
故答案为:10或4.
【点评】本题考查有理数的乘方和绝对值,熟练掌握相关的知识点是解题的关键.
8.任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和,如:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…按此规律,若m3分裂后,其中有一个奇数是117,则m的值是 11 .
【答案】11.
【分析】观察可知,分裂成的奇数的个数与底数相同,然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式,再求出奇数117的是从3开始的第58个数,然后确定出58所在的范围即可得解.
【解答】解:∵底数是2的分裂成2个奇数,底数为3的分裂成3个奇数,底数为4的分裂成4个奇数,
∴m3“分裂“成m个奇数,
∴到m3的奇数的个数为:2+3+4+…+m,
∵2n+1=117,n=58,
∴奇数117是从3开始的第58个奇数,
∵54,65,
∴第58个奇数是底数为11的数的立方分裂的奇数的其中一个,
即m=11.
故答案为:11.
【点评】本题考查了数字变化规律,有理数的混合运算,观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键,还要熟练掌握求和公式.
三、解答题
9.计算:
(1);
(2).
【答案】(1);
(2)﹣1.
【分析】(1)将原式变形后逆用乘法分配律计算即可;
(2)先算乘方并把最后一项利用乘法分配律展开,再算绝对值,然后算乘法,最后算加减即可.
【解答】解:(1)原式
=()
;
(2)原式=﹣|﹣16|﹣(﹣8)﹣(242424)
=﹣16+8﹣(8﹣18+3)
=﹣16+8﹣(﹣7)
=﹣16+8+7
=﹣1.
【点评】本题考查有理数的混合运算,熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
10.某地生产的一种绿色蔬菜,在市场上若直接销售,每吨利润为1000元,经粗加工后销售,每吨利润可达4500元,经精加工后销售,每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨.该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工16吨;如果进行精加工,每天可加工6吨,但两种加工方式不能同时进行.受季节等条件限制,公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕.为此,公司研制了三种方案:
方案一:将蔬菜全部进行粗加工.
方案二:将其中60吨蔬菜进行精加工,其余粗加工,能否在规定时间内加工完成,如果能,作为可行方案.
方案三:尽可能多的对蔬菜进行精加工,没来得及进行加工的蔬菜,在市场上直接出售.
你认为选择哪种方案获利最多?为什么?
【答案】见试题解答内容
【分析】要判定哪一种方案获利最多,只要求出每种方案获利多少,再进行比较就可以解决问题.
【解答】解:选择第二种方案获利最多.
方案一:因为每天粗加工6吨,140吨可以在15天内加工完.
总利润W1=4500×140=630000(元)
方案二:因为精加工60吨蔬菜需要60÷6=10天,(140﹣60)÷16=5天,刚好能在规定时间内加工完成.
总利润W2=60×7500+80×4500=810000(元)
方案三:因为每天精加工6吨,15天可以加工90吨,其余50吨直接销售.
总利润W3=90×7500+50×1000=725000(元)
综合以上三种方案的利润情况,知W1<W3<W2,所以第二种方案获利最多.
【点评】考查了有理数的混合运算,选择获利最多方案,用到的关系式为每吨获利×吨数=总获利,注意精加工和粗加工每吨获利不同.
11.阅读材料,并回答问题:
对于某种满足交换律的运算,如果存在一个确定的有理数n,使得任意有理数a和它进行这种运算后的结果都等于a本身,那么n叫做这种运算下的单位元.如果两个有理数进行这种运算后的结果等于单位元,那么这两个有理数互为逆元.
由上述材料可知:
(1)有理数在加法运算下的单位元是 0 ,在乘法运算下的单位元是 1 ;在加法运算下,3的逆元是 ﹣3 ,在乘法运算下,某个数没有逆元,这个数是 0 .
(2)在有理数范围内,我们定义一种新的运算:x*y=x+y﹣xy,例如3*2=3+2﹣3×2=﹣1.
①求在这种新的运算下的单位元;
②在这种新的运算下,求有理数2023的逆元.
【答案】(1)0、1、﹣3、0;
(2)①0;
②.
【分析】(1)根据阅读材料中的定义解答问题;
(2)①根据新定义,列出等式,解出即可;
②在①的基础上求出有理数m的逆元,即可求出有理数2023的逆元.
【解答】解:(1)∵0加任何数都等与它本身,
∴有理数在加法运算下的单位元是0,
∵1乘以任何数都等与它本身,
∴乘法运算下的单位元是1,
∴在加法运算下,3的逆元是﹣3,
在乘法运算下,某个数没有逆元,这个数是0,
故答案为:0、1、﹣3、0;
(2)①设a是新的运算下的单位元,
根据题意,得x*a=x+a﹣ax=x,
解得a=0,
∴在这种新的运算下的单位元是0;
②设m的逆元是n,
m*n=m+n﹣mn=0,
解得n(m≠1),
∴任意有理数m的逆元是n(m≠1)
∴有理数2023的逆元是.
【点评】本题考查新定义理解,有理数的运算,整式运算,分式运算,理解新定义是解题的关键.
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