第3章 实数（新课预习.培优卷）（含解析）-2025-2026学年七年级上册数学浙教版（2024）

第3章 实数
一、选择题
1．如图，实数1在数轴上的对应点可能是（　　）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
2．下列式子中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若a是的平方根，b是的立方根，则ab的值是（　　）
A．4 B．4或﹣4 C．6或2 D．6
4．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（　　）
A．a＝0，b＝3 B．a＝1，b＝2 C．a＝4，b＝1 D．a＝9，b＝0
5．将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是（　　）
A．19 B．﹣19 C． D．
二、填空题
6．已知|x﹣4|0，那么x+y＝　 　 ．
7．定义新运算“☆”：a☆b，则2☆（3☆5）＝　 　 ．
8．规定（a）表示小于a的最大整数，如（3）＝2，．现将37进行如下操作：37（）＝6（）＝2（）＝1．类似地，只需要进行4次操作，就能变成1的所有正整数中，最小的正整数为 　 　 ．
9．在长方形纸片上有一条数轴，小周裁剪了10个单位长度（﹣2到8）的一条线段，如图，其中A点表示的数为﹣1，B点表示的数为3，点C表示的数为1.5，小周先将纸片对折，再将对折后的纸片沿某点折叠后使得点A与点B重合，经过两次折叠后数轴上与点C重合的点所表示的数是 　 　 ．
三、解答题
10．已知一个正数m的两个平方根是2a+1和a﹣7，求m的值．
11．在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，再用“+，﹣，×，÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数．
12．如图1，这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为27．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）如图2．把图1中的正方形ABCD放到数轴上，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为　 　 ．
13．我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，用＜x＞表示实数x的小数部分，如[3.14]＝3，＜3.14＞＝0.14；，．
（1）　 　 ，　 　 ．
（2）如果，，求的平方根．
（3）求的值．
第3章 实数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，实数1在数轴上的对应点可能是（　　）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】C
【分析】先确定的范围，再推出的范围，从而得解．
【解答】解：∵，
∴，
∴在数轴上的对应点可能是C．
故选：C．
【点评】此题考查了实数与数轴，估算出的大小是解本题的关键．
2．下列式子中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、2，正确；
B、原式，错误；
C、原式＝|﹣3|＝3，错误；
D、原式＝6，错误，
故选：A．
【点评】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
3．若a是的平方根，b是的立方根，则ab的值是（　　）
A．4 B．4或﹣4 C．6或2 D．6
【答案】B
【分析】先由a是的平方根，b是的立方根得出a和b的值，再分类计算ab即可．
【解答】解：∵a是的平方根，即a为4的平方根，
∴a＝±2，
∵b是的立方根，即b为8的立方根，
∴b＝2，
∴当a＝2，b＝2时，ab＝4；
当a＝﹣2，b＝2时，ab＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了立方根：若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作．也考查了平方根和算术平方根．熟练掌握相关概念及基础计算是解题的关键．
4．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（　　）
A．a＝0，b＝3 B．a＝1，b＝2 C．a＝4，b＝1 D．a＝9，b＝0
【答案】D
【分析】对于每个选项，先判断a，b的大小，若a＜b，结果；若a＞b，结果．
【解答】解：A选项，∵0＜3，
∴，故该选项不符合题意；
B选项，∵1＜2，
∴1，故该选项不符合题意；
C选项，∵4＞1，
∴2﹣1＝1，故该选项不符合题意；
D选项，∵9＞0，
∴3，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了实数的运算，体现了分类讨论的数学思想，掌握若a＜b，结果；若a＞b，结果是解题的关键．
5．将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是（　　）
A．19 B．﹣19 C． D．
【答案】A
【分析】观察发现，第n行有（2n﹣1）个数，且每行最后一个数字的绝对值等于行数，奇数行的最后一个为正，偶数行的最后一个为负，据此可求得答案．
【解答】解：观察发现，第n行有（2n﹣1）个数，且每行最后一个数字的绝对值等于行数，奇数行的最后一个为正，偶数行的最后一个为负，
∴第19行有2×19﹣1＝37个数，
∴第19行的第37个数是19．
故选：A．
【点评】本题考查了找规律在平方根中的应用，找到题目中数字的排列规律是解题的关键．
二、填空题
6．已知|x﹣4|0，那么x+y＝　﹣4　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据非负数的性质列出关于x、y的方程组，求出x、y的值，代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：∵|x﹣4|0，
∴，
解得，
∴x+y＝4﹣8＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知非负数之和等于0时，各项都等于0是解答此题的关键．
7．定义新运算“☆”：a☆b，则2☆（3☆5）＝　3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据新定义求出3☆5，再计算2☆4即可．
【解答】解：∵3☆54；
∴2☆（3☆5）＝2☆43．
故答案为：3．
【点评】本题考查了实数的运算，读懂新定义的运算是解题的关键．
8．规定（a）表示小于a的最大整数，如（3）＝2，．现将37进行如下操作：37（）＝6（）＝2（）＝1．类似地，只需要进行4次操作，就能变成1的所有正整数中，最小的正整数为 　677　 ．
【答案】677．
【分析】由题意只需把程序反过来操作，即可得到答案．
【解答】解：把程序反过来操作为：1＝（）←2＝（）←5＝（）←26＝（）←677，
由此可得：进行4次操作，就能变成1的所有正整数中，最小的正整数为 677．
故答案为：677．
【点评】本题考查新定义问题，估计无理数的大小，关键是明白：规定（a）表示小于a的最大整数．
9．在长方形纸片上有一条数轴，小周裁剪了10个单位长度（﹣2到8）的一条线段，如图，其中A点表示的数为﹣1，B点表示的数为3，点C表示的数为1.5，小周先将纸片对折，再将对折后的纸片沿某点折叠后使得点A与点B重合，经过两次折叠后数轴上与点C重合的点所表示的数是 　0.5或4.5或5.5　 ．
【答案】0.5或4.5或5.5．
【分析】根据实数与数轴的关系及中点的坐标公式求解．
【解答】解：∵折痕点为对应点所连线段的中点，
∴第一次对折的折痕点为：3，
∴第一次对折后与C重合的点为：3+（3﹣1.5）＝4.5，
∴第二次折痕点为：1，
∴第一次对折后与C重合的点为：1×2﹣1.5＝0.5或5×2﹣4.5＝5.5，
故答案为：0.5或4.5或5.5．
【点评】本题考查了实数与数轴，掌握中点坐标公式是解题的关键．
三、解答题
10．已知一个正数m的两个平方根是2a+1和a﹣7，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个数互为相反数列出方程，再解方程求出a，进一步求得m的值．
【解答】解：由题意得2a+1+a﹣7＝0，
解得a＝2，
∴2a+1＝5，
∴m＝52＝25．
【点评】本题考查了平方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，这两个数互为相反数．
11．在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，再用“+，﹣，×，÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据有理数、无理数的定义准确的选出无理数和有理数，然后再根据法则计算即可．答案不唯一．
【解答】解：（﹣6）（）+3＝15，
或（﹣6）（）﹣3＝9等等．
【点评】此题主要考查了实数的分类和实数的运算，掌握分类方法和运算法则是解题的关键．
12．如图1，这是一个由27个同样大小的立方体组成的三阶魔方，体积为27．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）如图2．把图1中的正方形ABCD放到数轴上，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为　　 ．
【答案】（1）3；（2）面积是5，边长是；（3）．
【分析】（1）根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长；
（2）根据魔方的棱长为3，所以小立方体的棱长为1，用正方形的面积减去四个直角三角形的面积即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长；
（3）根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数．
【解答】解：（1）．
答：这个魔方的棱长为3．
（2）因为魔方的棱长为3．
所以小立方体的棱长为1，
所以阴影部分的面积为3×32×1×4＝5，
即边长为．
答：阴影部分面积是5，边长是．
（3）由图可得A表示﹣1，AD，
∴点D在数轴上表示的数为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是立方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长．
13．我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，用＜x＞表示实数x的小数部分，如[3.14]＝3，＜3.14＞＝0.14；，．
（1）　3　 ，　3　 ．
（2）如果，，求的平方根．
（3）求的值．
【答案】（1）3，3；
（2）±2；
（3）210．
【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数的大小即可；
（2）根据，，求出a、b的值，再计算的平方根即可；
（3）根据[a]的意义求出[]，[]，[]，……[]的值，再进行计算即可．
【解答】解：（1）∵，即34，
∴的整数部分是3，小数部分为3，
即[]＝3，3，
故答案为：3，3；
（2）∵，即23，
∴的整数部分是2，小数部分为2，
即[]＝2，2，
∵，
∴a2，
∵，即67，
∴的整数部分是6，小数部分为6，
即[]＝6，6，
∵[]＝b，
∴b＝6，
∴2+64
∴的平方根为±2；
（3）由[a]的定义可知，
[]＝1，[]＝1，[]＝1，[]＝2，[]＝2，[]＝2，[]＝2，[]＝2，[]＝3，[]＝3……[]＝7，
∴[]，[]，[]，……[]
＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7
＝3+10+21+36+55+78+7
＝210．
【点评】本题考查估算无理数的大小，平方根，掌握平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键．
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