第5章 一元一次方程（新课预习.培优卷）（含解析）-2025-2026学年七年级上册数学浙教版（2024）

第5章 一元一次方程
一、选择题
1．如果2x+6＝a的解与﹣2x+5＝4﹣3x的解相同，则a的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．小刚从家跑步到学校，每小时跑12km，会迟到5分钟；若骑自行车，每小时骑15km，则可早到10分钟．设他家到学校的路程是x km，则根据题意列出方程是（　　）
A． B．
C．105 D．
3．如图，每个圆纸片的面积都是30，圆纸片A与B，B与C，C与A的重叠面积分别为6，8，5，三个圆纸片覆盖的总面积为73，则图中阴影部分面积为（　　）
A．54 B．56 C．58 D．69
4．如图，长方形ABCD是由6个正方形组成，其中有两个一样大的正方形，且最小正方形边长为1，则长方形ABCD的边长DC为（　　）
A．19 B．16 C．13 D．10
二、填空题
5．对于任意实数a、b定义一种新运算“△”如下：a△b＝a2+2ab，例如2△3＝22+2×2×3＝16，若4△x＝1△（2x），则x＝　 　 ．
6．古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 　 　 斤．
7．有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元时减20元，大于等于90元时减30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是 　 　 元．
三、解答题
8．解方程：
（1）；
（2）．
9．定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“反对方程”．
（1）若关于x的方程2x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝　 　 ．
（2）若关于x的方程2x﹣3＝d与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值．
（3）已知关于x的一元一次方程x+5＝7x+m的解为x，那么关于y的一元一次方程（m﹣5）（y+2）+7的解为 　 　 ．（请直接写出答案）
10．杭州市居民生活用天然气执行阶梯价格，具体如下表：
月用气量（单位：立方米） 价格（单位：元/立方米）
30以下（含30） 2.5
超出30且不超过50部分 2.8
超出50部分 3.5
注：不足1立方米记为1立方米．
冬季来临之前，居民小刘开始记录家里燃气使用情况，请根据小刘的记录解决问题：
（1）①10月份用气量为30立方米．需要交气费多少钱？
②11月份用气量为40立方米，需要交气费多少钱？
（2）12月份交了117元的气费，请计算他家12月份用了多少立方米的天然气．
（3）1月天气寒冷，小刘家开启燃气取暖，燃气量将会增加．小刘预估1月他家使用天然气的平均价格为3.3元/m3，那么小刘家预估用气是多少立方米？
第5章 一元一次方程
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如果2x+6＝a的解与﹣2x+5＝4﹣3x的解相同，则a的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】首先计算出方程﹣2x+5＝4﹣3x的解，再把x的值代入方程2x+6＝a，解出a即可．
【解答】解：﹣2x+5＝4﹣3x，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入2x+6＝a中得：2×（﹣1）+6＝a，
解得：a＝4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同解方程，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
2．小刚从家跑步到学校，每小时跑12km，会迟到5分钟；若骑自行车，每小时骑15km，则可早到10分钟．设他家到学校的路程是x km，则根据题意列出方程是（　　）
A． B．
C．105 D．
【答案】D
【分析】设他家到学校的路程是xkm，根据时间＝路程÷速度结合上课时间不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设他家到学校的路程是xkm，
依题意，得：．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．如图，每个圆纸片的面积都是30，圆纸片A与B，B与C，C与A的重叠面积分别为6，8，5，三个圆纸片覆盖的总面积为73，则图中阴影部分面积为（　　）
A．54 B．56 C．58 D．69
【答案】C
【分析】根据图形可知：三个圆纸片覆盖的总面积+A与B的重叠面积+B与C的重叠面积+C与A的重叠面积﹣A、B、C共同重叠面积＝每个圆纸片的面积×3，由此等量关系列方程求出A、B、C共同重叠面积，从而求出图中阴影部分面积．
【解答】解：设三个圆纸片重叠部分的面积为x，
则73+6+8+5﹣x＝30×3，
得x＝2．
所以三个圆纸片重叠部分的面积为2．
图中阴影部分的面积为73﹣（6+8+5﹣2×2）＝58．
故选：C．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出式子，再求解．
4．如图，长方形ABCD是由6个正方形组成，其中有两个一样大的正方形，且最小正方形边长为1，则长方形ABCD的边长DC为（　　）
A．19 B．16 C．13 D．10
【答案】C
【分析】根据题意，可以先设两个一样大的正方形的边长为x，然后即可表示出CD和AB，再根据AB＝CD，即可列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：设其中两个一样大的正方形的边长为x，
则CD＝x+x+（x+1）＝3x+1，AB＝（x+1+1）+（x+1+1+1）＝2x+5，
∵AB＝CD，
∴2x+5＝3x+1，
解得x＝4，
∴CD＝3x+1＝3×4+1＝12+1＝13，
故选：C．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
二、填空题
5．对于任意实数a、b定义一种新运算“△”如下：a△b＝a2+2ab，例如2△3＝22+2×2×3＝16，若4△x＝1△（2x），则x＝　　 ．
【答案】．
【分析】根据新定义运算，得到关于x的一元一次方程，然后求解即可．
【解答】解：根据新定义运算规则可得：
4△x＝42+2×4x＝16+8x，
1△（2x）＝12+2×1×2x＝1+4x，
由题意可得：1+4x＝16+8x，
解得．
故答案为：．
【点评】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是理解题意，正确列出一元一次方程．
6．古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 　　 斤．
【答案】．
【分析】可设原有生丝为x斤，根据比值是一定的，列出方程计算即可求解．
【解答】解：设原有生丝为x斤，
x：12＝30：（30﹣3），
解得x．
故原有生丝为斤．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到等量关系是解题关键．
7．有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元时减20元，大于等于90元时减30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是 　100或85　 元．
【答案】100或85．
【分析】设所购商品的标价是x元，①所购商品的标价小于90元时；②所购商品的标价大于90元时，列方程求解即可．
【解答】解：设所购商品的标价是x元，
①所购商品的标价小于90元时，
x﹣20+x＝150，
解得x＝85；
②所购商品的标价大于90元时，
x﹣20+x﹣30＝150，
解得x＝100，
故所购商品的标价是100元或85元，
故答案为：100或85．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
三、解答题
8．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）x＝﹣3；
（2）x＝5．
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1），
3（2﹣x）﹣18＝2x﹣（2x+3），
6﹣3x﹣18＝2x﹣2x﹣3，
﹣3x﹣2x+2x＝﹣3﹣6+18，
﹣3x＝9，
x＝﹣3；
（2），
5x﹣10＝3+2x+2，
5x﹣2x＝3+2+10，
3x＝15，
x＝5．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键．
9．定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“反对方程”．
（1）若关于x的方程2x﹣3＝0与方程3x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝　2　 ．
（2）若关于x的方程2x﹣3＝d与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值．
（3）已知关于x的一元一次方程x+5＝7x+m的解为x，那么关于y的一元一次方程（m﹣5）（y+2）+7的解为 　y＝﹣4　 ．（请直接写出答案）
【答案】（1）2；（2）﹣1或﹣5；（3）y＝﹣4．
【分析】（1）求出方程2x﹣3＝0的“反对方程”并与方程3x﹣c＝0对比即可得到c的值；
（2）先求出方程2x﹣3＝d的“反对方程”，再分别求方程2x﹣3＝d与其“反对方程”的解，根据它们的解都是整数来确定整数d的值；
（3）把第一个方程整理成一元一次方程的一般形式，将x代入并去分母；将第二个方程整理成与前者相同的形式，对比系数可以得到关于y的一元一次方程，求出y的值即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程2x﹣3＝0的“反对方程”为3x﹣2＝0，
∴3x﹣2＝3x﹣c，
∴c＝2，
故答案为：2．
（2）关于x的方程2x﹣3＝d的解为x，
将2x﹣3＝d整理，得2x﹣（d+3）＝0，其“反对方程”为（d+3）x﹣2＝0，解为x，
∵和都是整数，
∴d+3＝±2，解得d＝﹣1或﹣5．
（3）整理x+5＝7x+m，得（7）x+（5﹣m）＝0，将x代入，
得（7）+2（m﹣5）＝0①；
整理（m﹣5）（y+2）+7，得（7）﹣（m﹣5）（y+2）＝0②；
比对①和②，得﹣（y+2）＝2，解得y＝﹣4，
故答案为：y＝﹣4．
【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握它的解法是本题的关键．
10．杭州市居民生活用天然气执行阶梯价格，具体如下表：
月用气量（单位：立方米） 价格（单位：元/立方米）
30以下（含30） 2.5
超出30且不超过50部分 2.8
超出50部分 3.5
注：不足1立方米记为1立方米．
冬季来临之前，居民小刘开始记录家里燃气使用情况，请根据小刘的记录解决问题：
（1）①10月份用气量为30立方米．需要交气费多少钱？
②11月份用气量为40立方米，需要交气费多少钱？
（2）12月份交了117元的气费，请计算他家12月份用了多少立方米的天然气．
（3）1月天气寒冷，小刘家开启燃气取暖，燃气量将会增加．小刘预估1月他家使用天然气的平均价格为3.3元/m3，那么小刘家预估用气是多少立方米？
【答案】（1）①10月份用气量为30立方米．需要交气费75元；
②11月份用气量为40立方米，需要交气费103元；
（2）他家12月份用了45立方米的天然气；
（3）小刘家预估用气是220立方米．
【分析】（1）①用月用气量乘以价格即可；
②把30立方米气费加上超出30且不超过50部分的10立方米气费相加即可；
（2）设他家12月份用了x立方米的天然气，根据交了117元的气费得：30×2.5+2.8（x﹣30）＝117，即可解得答案；
（3）设小刘家预估用气是y立方米，根据使用天然气的平均价格为3.3元/m3得：3.3y＝30×2.5+（50﹣30）×2.8+3.5（y﹣50），可解得答案．
【解答】解：（1）①∵30×2.5＝75（元），
∴10月份用气量为30立方米．需要交气费75元；
②∵30×2.5+（40﹣30）×2.8＝75+28＝103（元），
∴11月份用气量为40立方米，需要交气费103元；
（2）∵30×2.5+（50﹣30）×2.8＝75+56＝131（元），
∴12月份交了117元的气费，用气量小于50立方米，
设他家12月份用了x立方米的天然气，
根据题意得：30×2.5+2.8（x﹣30）＝117，
解得x＝45，
∴他家12月份用了45立方米的天然气；
（3）设小刘家预估用气是y立方米，
根据题意得：3.3y＝30×2.5+（50﹣30）×2.8+3.5（y﹣50），
解得y＝220，
∴小刘家预估用气是220立方米．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
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