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浙教版（2024）八上第一章《三角形的初步知识》单元核心考点综合训练
第一部分 单元核心考点分类训练
核心考点1 三角形的有关概念及性质
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拔】根据直角三角形的定义，找出图中的直角三角形即可解决问题．
【解答】解：因为∠BAC＝90°，
所以△ABC是直角三角形．
因为AD是BC边上的高，
所以∠ADB＝∠ADC＝90°，
所以△ABD、△AED、△ACD都是直角三角形，
所以图中的直角三角形共有4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，能根据所给条件找出图中的所有直角三角形是解题的关键．
2．如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 100° ．
【思路点拔】由CD是边AB上的高，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，可求得∠CAB、∠CBA的度数，因为AE是∠CAB的平分线，可得∠EAB的度数，根据三角形内角和定理，可得∠AEB的度数．
【解答】解：∵CD是边AB上的高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∵∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝50°，∠CBD＝90°﹣∠BCD＝60°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ACD＝40°，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠EAB∠CAB＝20°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，关键是掌握三角形内角和定理，角平分线的定义．
3．两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于点M，若BC∥EF，则∠DMC的大小为 110° ．
【思路点拔】延长ED交CB的延长线于点G，利用三角形内角和定理可得求出∠E，∠C的度数，再利用平行线的性质可求出∠G的度数，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：延长ED交CB的延长线于点G，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵∠EDF＝100°，∠F＝40°，
∴∠E＝180°﹣∠F﹣∠EDF＝40°，
∵EF∥BC，
∴∠E＝∠G＝40°，
∴∠DMC＝180°﹣∠C﹣∠G＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．
核心考点2 全等三角形的性质与判定
4．如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【思路点拔】利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE＝∠ACB＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
5．如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB．
【思路点拔】证明△ADE≌△CFE（SAS），得出∠ADE＝∠CFE，得到CF∥AB．
【解答】证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE＝∠CFE，
∴CF∥AB．
【点评】本题考查了平行线的判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
核心考点3 尺规作图
6．下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′； （3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【思路点拔】由作图可知，OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，结合全等三角形的判定可得答案．
【解答】解：由作图可知，OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，
∴△C′O′D′≌△COD（SSS），
∴判定△C′O′D′≌△COD的依据是SSS．
故选：A．
【点评】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．
7．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
【思路点拔】根据作图痕迹判断出线段BD是三角形ABC的高即可．
【解答】解：由作图可知BD⊥AC，故线段BD是△ABC的高．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形的角平分线，直线和高，三角形的中位线等知识，解题的关键是读懂图象信息．
8．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝ 10 °．
【思路点拔】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
由作图知，AF平分∠BAC，
∴∠BAF∠BAC＝50°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝50°，
∴∠BAD＝40°，
∴∠DAF＝∠BAF﹣∠BAD＝10°，
故答案为：10．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键．
第二部分：单元测试模拟训练（共13小题）
9．用一根小木棒与两根长度分别为3cm、5cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（ ）
A．9cm B．7cm C．2cm D．1cm
【思路点拔】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求第三根木条的取值范围．
【解答】解：设第三根木棒长为x cm，由三角形三边关系定理得5﹣3＜x＜5+3，
所以x的取值范围是2＜x＜8，
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．
10．下列可以作为命题“若x＞y，则x2＞y2”是假命题的反例是（ ）
A．x＝﹣2，y＝﹣1 B．x＝2，y＝﹣1 C．x＝﹣1，y＝﹣2 D．x＝2，y＝1
【思路点拔】此题主要考查了利用举反例说明一个命题错误，要证明一个例题不成立，可以通过举反例：即符合命题条件，但不符合命题结论．
【解答】解：∵当x＝﹣1，y＝﹣2时，（﹣2）2＞（﹣1）2，而﹣2＜﹣1，
∴x＞y，但是x2＜y2，
∴x＝﹣1，y＝﹣2是假命题的反例．
其他选项不能说明；
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，正确记忆相关知识点是解题关键．
11．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，那么∠A的度数为（ ）
A．60° B．80° C．70° D．50°
【思路点拔】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，难度适中．
12．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．100°
【思路点拔】首先证明△ABC≌△DFE，根据全等三角形的性质可得∠1＝∠BAC，再根据余角的定义可得∠BAC+∠2＝90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．
【解答】解：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠1＝∠BAC，
∵∠BAC+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
13．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【思路点拔】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．
【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE（∠BAC+∠ABC）＝45°，
∴∠APB＝135°，故①正确．
∴∠BPD＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，
∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，
∴△APH≌△FPD，
∴PH＝PD，故③正确．
∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到BC、AC的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，
∴CP平分∠ACB，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．
14．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 AD＝CD（答案不唯一） ．（不添加辅助线）
【思路点拔】由已知AB＝BC，及公共边BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两边对应相等，根据全等三角形的判定定理，有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添加∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．
【解答】解：添加的条件是∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．
①∠ABD＝∠CBD．
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS）；
②AD＝CD．
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS）．
故答案为：AD＝CD（答案不唯一）．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．如图，AP1为△ABC边BC上的中线，AP2为△AP1C边P1C上的中线，AP3为△AP2C边P2C上的中线，…按此规律，APn+1为△APnC边PnC上的中线．若△ABC的面积为1，则△AP2024C的面积为 ．
【思路点拔】根据三角形的中线性质，可得△AP1C的面积为：，△AP2C的面积为：，……，进而即可得到答案．
【解答】解：由题意可得：△AP1C的面积为：，
同理△AP2C的面积为：，……，
△APnC的面积为：，
则△AP2024C的面积为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若，则AD的长为 ．
【思路点拔】延长AC交BE的延长线于点F．利用全等三角形的性质证明AD＝2BE即可．
【解答】解：延长AC交BE的延长线于点F．
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAH，
∵AE⊥BF，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°，
∴∠F+∠CAE＝90°，∠ABE+∠BAD＝90°，
∴∠F＝∠ABE，
∴AF＝AB，
∴BE＝EF，
∵∠ACD＝∠DEB＝90°，∠ADC＝∠EDB，
∴∠CAD＝∠CBF，
∵∠ACD＝∠BCF＝90°，CA＝CB，
△ACD≌△BCF（ASA），
∴AD＝BF＝2BE．
故答案为：．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
17．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DEBD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 64 ．
【思路点拔】由△ABF≌△BDE，求出BF，DF的长，再由面积公式求得即可．
【解答】解：如图所示，连接AF，
∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∵∠ABD＝∠C，
∵∠E＝∠C，
∵∠ABD＝∠E，
在△ABF与△BED中，
，
∴△ABF≌△BED（SAS），
∴S△ABF＝S△BDE，
∵，
∵BF20＝8，
∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12，
∴S△AFDAD DF12×16＝96，
∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD，
∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64．
故答案为：64．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝ 4∠BPC﹣360° ．
【思路点拔】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BAC＝2∠BPC﹣180°；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝2∠BAC，进而得出∠BOC和∠BPC的数量关系．
【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（ ∠ABC∠ACB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠BAC）
＝90°∠BAC，
即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；
如图，连接AO．
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC
＝2（2∠BPC﹣180°）
＝4∠BPC﹣360°，
故答案为：4∠BPC﹣360°．
【点评】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．
19．如图，△ABC中，∠A＝110°．
（1）用无刻度的直尺和圆规求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到AC、BC两边的距离也相等（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若∠ABP＝10°，求∠BPC的度数．
【思路点拔】（1）作BC的垂直平分线MN，∠ACB的平分线CF，直线MN交CF于点P，点P即为所求；
（2）由∠A，∠ABP的度数，求出∠ACB+∠PBC，证明∠ACP＝∠PCB＝∠PBC即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求；
（2）∵∠A＝110°，
∴∠ABC+∠ACB＝70°，
∵MN垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠PCB＝∠PBC，
∵∠PBA＝10°，
∴∠ACB+∠PBC＝3∠PCB＝70°﹣10°＝60°，
∴∠PBC＝∠PCB＝20°，
∴∠BPC＝180°﹣20°﹣20°＝140°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE＝15cm，OE＝8cm．
（1）试说明：OE＝BD；
（2）求DE的长．
【思路点拔】（1）由直角三角形的性质证出∠COE＝∠B，利用AAS证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD＝15cm，DE＝OD﹣OE＝7cm．
【解答】解：（1）∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
又∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE＝BD；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD＝15cm，
∴DE＝OD﹣OE＝7cm．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键．
21．（1）如图，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A1处，试探究∠1、∠2与∠A的关系，说明理由；
（2）如图2，若∠1＝140°，∠2＝80°，作∠ABC的平分线BN，与∠ACB的外角平分线CN交于点N，求∠BNC的度数；
（3）如图3，若点A1落在△ABC内部，作∠ABC，∠ACB的平分线交于点A1，请直接写出此时∠1，∠2，∠BA1C满足的数量关系．
【思路点拔】（1）由折叠的性质得∠AED＝∠A1ED，∠ADE＝∠A1DE，再根据平角的定义得到，，根据三角形外角的性质可得，由此即可得出结论；
（2）先根据（1）的结论求出∠A＝30°，再由角平分线的定义和三角形外角的性质推出∠BNC∠A＝15°；即可；
（3）先推出，∠AED＝∠A1ED＝90°﹣∠2，再由三角形外角的性质推出，利用角平分线的定义和三角形内角和定理推出即可得到结论．
【解答】解：（1）∠1＝2∠A+∠2；理由如下：
由折叠的性质可知∠AED＝∠A1ED，∠ADE＝∠A1DE，
∴，∠2＝2∠AED﹣180°，
∴，
∵∠A+∠AED＝∠EDB＝∠1+∠A1DE，
∴，
∴∠1＝2∠A+∠2；
（2）∵∠1＝2∠A+∠2，∠1＝140°，∠2＝80°，
∴∠A＝30°，
∵∠ABC的平分线BN，与∠ACB的外角平分线CN交于点N，
∴，
∵∠A+∠ABC＝∠ACH，
∴∠A+2∠NBC＝2∠NCH，
又∵∠N+∠NBC＝∠NCH，
∴∠A+2∠NBC＝2∠N+2∠NBC，
∴∠BNC∠A＝15°；
（3）∠1+∠2＝4∠BA1C﹣360°；理由如下；
由折叠的性质可知∠AED＝∠A1ED，∠ADE＝∠A1DE，
∴，
，
∵∠A+∠ADE＝∠CED＝∠A1ED+∠2，
∴，
∴，
∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点A1，
∴，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴，
∴，
∴，
∴∠1+∠2＝4∠BA1C﹣360°．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版（2024）八上第一章《三角形的初步知识》单元核心考点综合训练
第一部分 单元核心考点分类训练
核心考点1 三角形的有关概念及性质
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 ．
3．两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于点M，若BC∥EF，则∠DMC的大小为 ．
核心考点2 全等三角形的性质与判定
4．如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
5．如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB．
核心考点3 尺规作图
6．下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′； （3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
7．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
8．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝ °．
第二部分 单元测试模拟训练（共13小题）
9．用一根小木棒与两根长度分别为3cm、5cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（ ）
A．9cm B．7cm C．2cm D．1cm
10．下列可以作为命题“若x＞y，则x2＞y2”是假命题的反例是（ ）
A．x＝﹣2，y＝﹣1 B．x＝2，y＝﹣1 C．x＝﹣1，y＝﹣2 D．x＝2，y＝1
11．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，那么∠A的度数为（ ）
A．60° B．80° C．70° D．50°
12．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．100°
13．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
14．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（不添加辅助线）
15．如图，AP1为△ABC边BC上的中线，AP2为△AP1C边P1C上的中线，AP3为△AP2C边P2C上的中线，…按此规律，APn+1为△APnC边PnC上的中线．若△ABC的面积为1，则△AP2024C的面积为 ．
16．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD，交AD的延长线于点E．若，则AD的长为 ．
17．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DEBD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 ．
18．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝ ．
19．如图，△ABC中，∠A＝110°．
（1）用无刻度的直尺和圆规求作一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到AC、BC两边的距离也相等（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，若∠ABP＝10°，求∠BPC的度数．
20．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得CE＝15cm，OE＝8cm．
（1）试说明：OE＝BD；
（2）求DE的长．
21．（1）如图，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A1处，试探究∠1、∠2与∠A的关系，说明理由；
（2）如图2，若∠1＝140°，∠2＝80°，作∠ABC的平分线BN，与∠ACB的外角平分线CN交于点N，求∠BNC的度数；
（3）如图3，若点A1落在△ABC内部，作∠ABC，∠ACB的平分线交于点A1，请直接写出此时∠1，∠2，∠BA1C满足的数量关系．
