2.3.2 等腰三角形的性质定理 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
第二章 特殊三角形
2.3.2 等腰三角形的性质定理
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
1、经历利用等腰三角形的性质加深对轴对称的认识；
2、掌握等腰三角形三线合一的性质；
3、会利用等腰三角形的性质定理进行简单的推理、判断、计算和作图.
02
新知导入
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
03
新知探究
如何画等腰三角形的顶角平分线？
1.以顶点为圆心，任意长度为半径画弧，交两边于两点a,b
2.分别以a,b为圆心，同一长度为半径画弧，交于一点
3.将交点与顶点连接并延长，即为角平分线
03
新知探究
合作学习
如何画等腰三角形底边上的中线？
1.先大致确定底边的中点，以B点为圆心，画一段圆弧（半径要大于BC的一半），再以C点为圆心，以相同的半径再画一段圆弧
2.连接两个圆弧的交点D、E，交底边于点H(点H即是中点）
3.连接AH，AH即是等腰三角形底边上的中线
03
新知讲解
如何画等腰三角形底边上的高线？
1.先找到等腰三角形的底边BC和顶点A
2.把三角板的一条直角边与BC重叠，把三角板沿BC平移，使三角板的另一条直角边通过顶点A
3.沿着三角形的另一条直角边，从顶点A画一条垂线段交BC于点D，AD即是等腰三角形底边上的高
03
新知讲解
合作学习
A
B
C
D
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线. 将△ABD沿AD对折，你发现了什么？
△ABD与△ACD完全重合
找出图中所有相等的线段和相等的角.
03
新知讲解
A
B
C
D
相等的线段 相等的角
　
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
03
新知讲解
大胆猜想
A
B
C
D
1、BD=CD，AD为底边上的中线.
2、∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高.
3、∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线.
猜想：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.
03
新知讲解
验证猜想
已知：等腰三角形△ABC中，AC=BC,∠CAB=∠CBA。
证：1.若CD是顶角平分线，则∠ACD=∠BCD
又∵AC=BC, ∠CAB=∠CBA
∴△ADC≌△BDC（ASA）
∴AD=BD,∠CAB=∠CBA=即CD⊥AB
∴CD也是底边上的高和中线
03
新知讲解
已知：等腰三角形△ABC中，AC=BC,∠CAB=∠CBA。
证：2.若CD是底边上的高，则CD⊥AB
∴∠CDA=∠CDB
又∵CD=DC（公共边），∠CAB=∠CBA
∴△ADC≌△BDC（AAS）
∴AD=BD,∠ACD=∠BCD即D是AB中点，CD平分∠ACB
∴CD也是底边上的中线和顶角平分线
03
新知讲解
已知：等腰三角形△ABC中，AC=BC,∠CAB=∠CBA。
证：3.若CD是底边上的中线，则D是AB的中点
∴AD=BD
又∵AC=BC, ∠CAB=∠CBA
∴△ADC≌△BDC（SAS）
则∠ACD=∠BCD，∠CAB=∠CBA=即CD⊥AB
∴CD也是顶角平分线和底边上的高
03
新知讲解
提炼概念
等腰三角形性质定理2
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一.
03
新知讲解
几何语言
A
B
C
D
1
2
在△ABC中，AB=AC时，
(1)∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.
(2)∵AD是中线，∴ AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.
(3)∵AD是角平分线，∴ AD⊥BC，BD=CD.
03
新知讲解
例3
证明：延长AD，交BC于点E.∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD（角平分线的定义），
而AD=AD（公共边），∠ADB=∠ADC（已知），
∴ △ABD≌△ACD （ASA），
已知：如图,AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC，求证：AD⊥BC.
E
∴ AB=AC（全等三角形的对应边相等），
∴ △ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义），
∵ AE是等腰三角形ABC顶角的平分线，
∴ AE⊥BC （等腰三角形三线合一）, 即AD⊥BC.
新课探究
例4
h
a
分析 要作出等腰三角形ABC，关键是作出顶点A.
设底边BC上的高线为AD，根据“等腰三角形三线合一”的性质，AD也是底边BC上的中线.因此，只要作BC的垂直平分线l，然后在l上截取 DA=h，连结AB，AC，就得到所求作的等腰三角形.
已知线段a, h, 用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,
底边BC边上的高线长为h.
03
新知讲解
作法:
1. 作线段BC=a.
2. 作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D.
3. 在直线l上截取DA=h, 连结AB, AC.
△ABC就是所求作的等腰三角形.
B
C
D
· A
l
03
新知讲解
归纳概念
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
因为图中的三角尺是等腰三角形.当重锤线经过三角尺斜边（底边）的中点时，重锤线（底边上的中线）与底边上的高叠合（等腰三角形三线合一），即三角尺的斜边与重锤线垂直，可以确定三角尺的斜边与横梁是水平的。否则梁就不是水平。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 等腰三角形的“三线合一”指的是( )
A. 中线、高线、角平分线互相重合
B. 腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合
C. 顶角的平分线、 中线、高线互相重合
D. 顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
2.在△ABC中,AB=AC,点D在BC上.
(1)如果AD⊥BC,那么∠BAD=∠　　　　,BD=　　　　;
(2)如果∠BAD=∠CAD,BC=6 cm,那么∠BDA=　　　　°,BD=　　　　cm;
(3)如果BD=CD,那么∠BAD=∠　　　　,AD⊥　　　　.
CAD
CD
90
3
CAD
BC
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
3.已知：如图，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于O点.
求证：AB⊥CD.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
.
证明：∵在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD（SSS）.∴∠CAB=∠DAB，
∴AO是△ADC的顶角平分线，
又∵AC=AD，∴△ADC为等腰三角形（定义），
∴AO⊥CD（等腰三角形三线合一），即AB⊥CD.
AC=AD（已知），
BC=BD（已知），
AB=AB（公共边），
05
课堂小结
等腰三角形的性质定理
文字叙述
几何语言
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
定理1 等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）.
定理2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、高线互相重合（简称等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC，∠1=∠2， ∴AD⊥BC，BD=CD.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的动点(点D与点B,C不重合),△ABD和△ACD的面积分别表示为S1和S2,下列条件不能说明AD是△ABC角平分线的是(　　)
D
A.BD=CD
B.∠ADB=∠ADC
C.S1=S2
D.AD=BC
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
2.已知:如图，在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,E是AB
上一点,且DE=AE.求证:DE//AC.
解：∵△ABC为等腰三角形，AD是BC上的中线
∴AD为顶角∠BAC的平分线
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵DE=AE
∴∠BAD＝∠ADE ∴∠CAD＝∠EDA
∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行）
06
作业布置
【综合拓展类作业】
3.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？（并用直尺与圆规画出相应的等腰三角形）
Thanks!
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